高校数学「指数・対数」不等式２x+1＞３x

高校数学「指数・対数」不等式２^x+1＞３^x

■　問題

次の不等式を解け。

２^x+1＞３^x


解答解説はこのページ下に


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■　解答解説

前回の問題と同様に、まずは両辺を対数にしてみましょう！

底を２とする対数にすると、

ｌｏｇ₂２^x+1＞ｌｏｇ₂３^x

これで計算できる(変形できる)ところをやってみると、

(ｘ＋１)ｌｏｇ₂２＞ｘｌｏｇ₂３
　　　　ｘ＋１＞ｘｌｏｇ₂３

これはｘについての不等式なので、ｘについて解きます。
移項してまとめていきましょう！

ｘ−ｘｌｏｇ₂３＞−１
ｘｌｏｇ₂３−ｘ＜１
ｘ(ｌｏｇ₂３−１)＜１

両辺をｌｏｇ₂３−１で割りたいところですが、その前に一応符号を確認します。
ｌｏｇ₂３＞ｌｏｇ₂２だから、ｌｏｇ₂３＞１です。
ということは、ｌｏｇ₂３−１＞０つまり、正の数ですね。
ならば、両辺を割っても不等号の向きは変わりません。

両辺をｌｏｇ₂３−１で割ると、

ｘ＜１／(ｌｏｇ₂３−１)

これが今回の不等式の解です！


◆関連項目
５^1-x＝２^x+1のとき
対数の公式、指数・対数まとめ


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高校数学「指数・対数」５1-x＝２x+1

高校数学「指数・対数」５^1-x＝２^x+1

■　問題

次の方程式を解け。

５^1-x＝２^x+1


解答解説はこのページ下に


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■　解答解説

与式の両辺は底がそろっていないので、そのままでは計算できません。
ならば底をそろえれば・・・ということで、両辺を対数にしてみましょう！
底を２とする対数にすると、

ｌｏｇ₂５^1-x＝ｌｏｇ₂２^x+1

このようになります。
両辺に同じことをしたのだから、イコールは維持されています。
これで計算できる(変形できる)ところをやってみると、

(１−ｘ)ｌｏｇ₂５＝ｘ＋１

これはｘについての方程式なので、ｘについて解きます。
まずはカッコを外して、

ｌｏｇ₂５−ｘｌｏｇ₂５＝ｘ＋１

移項してまとめると、

−ｘ−ｘｌｏｇ₂５＝１−ｌｏｇ₂５
　ｘ＋ｘｌｏｇ₂５＝ｌｏｇ₂５−１
ｘ(１＋ｌｏｇ₂５)＝ｌｏｇ₂５−１

両辺を１＋ｌｏｇ₂５で割ると、

ｘ＝(ｌｏｇ₂５−１)／(ｌｏｇ₂５＋１)

これがｘの値だから、与式の解です。


次の問題→不等式の場合


◆関連項目
対数の公式、指数・対数まとめ


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高校数学「三角関数」ｓｉｎαが与えられてｓｉｎ２α，ｃｏｓ２αを求める問題

高校数学「三角関数」ｓｉｎαが与えられてｓｉｎ２α，ｃｏｓ２αを求める問題

■問題

ｓｉｎα＝−１／３のとき、ｓｉｎ２α，ｃｏｓ２αを求めよ。ただし、π＜α＜(３／２)πとする。


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■解答解説

与えられているサインの角度はαで、求めるサインとコサインの角度は２αだから、２倍角の公式を使って２αの場合の値を求めます。

ｓｉｎ２α＝２ｓｉｎαｃｏｓα
ｃｏｓ２α＝ｃｏｓ²α−ｓｉｎ²α

ですね。
今のところｓｉｎαのみがわかっているので、まずはｃｏｓαを出していきます。

三角関数の相互関係よりｓｉｎ²α＋ｃｏｓ²α＝１だから、
ｃｏｓ²α＝１−(−１／３)²
　　　＝１−１／９
　　　＝８／９
ｃｏｓα＝±２√２／３

π＜α＜(３／２)πより、ｃｏｓα＝−２√２／３

これでコサインの値がわかったので、あとは２倍角の公式に代入していけばＯＫです！

ｓｉｎ２α＝２×(−１／３)×(−２√２／３)
　　　　＝４√２／９

ｃｏｓ２α＝(−２√２／３)²−(−１／３)²
　　　　＝８／９−１／９
　　　　＝７／９

これで完成です！

ちなみに、ｃｏｓ２α＝１−２ｓｉｎ²αの形に代入して解くこともできます。
解答はもちろんどちらでも同じですし、手間もあまり変わらないので、特に条件がなければ好きな方でＯＫです！
機会があればこの「別解」も記事にしたいと思います。


◆関連項目
加法定理、２倍角の公式
三角関数の相互関係
三角関数まとめ


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高校数学「三角関数」２直線のなす角�A

高校数学「三角関数」２直線のなす角�A

■問題

ｙ＝ｘとｙ＝(２＋√３)ｘのなす角θを求めよ。ただし、０＜θ＜π／２とする。


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■解答解説

２直線のなす角を求めるときは、タンジェントの加法定理を使います。

ｔａｎθ＝ｙ／ｘだから、タンジェントはｘ方向に１進んだときのｙの増加量を表しています。
これはつまり直線の傾きと同じです。

今回の２直線はｙ＝ｘとｙ＝(２＋√３)ｘだから、ｔａｎα＝１，ｔａｎβ＝２＋√３と置いてみます。

そして、２直線の傾きから２直線のなす角がわかるので、ｔａｎ(α−β)を計算すると２直線のなす角がわかる。という流れです。

加法定理よりｔａｎ(α−β)＝(ｔａｎα−ｔａｎβ)／(１＋ｔａｎαｔａｎβ)で、これにタンジェントの値を代入して計算します。

ｔａｎ(α−β)＝{１−(２＋√３}／{１＋１×(２＋√３)}
　　　　　＝(１−２−√３)／(１＋２＋√３)
　　　　　＝(−１−√３)／(３＋√３)
　　　　　＝(−１−√３)(３−√３)／(３²−√３²)
　　　　　＝(−３＋√３−３√３＋３)／(９−３)
　　　　　＝(−２√３)／６
　　　　　＝−√３／３

よって、α−β＝(５／６)π

α−βの値は(５／６)πですが、２直線のなす角はπ／２より小さい値で表すので、π／６となります。


前の問題→ｙ＝−３ｘとｙ＝２ｘのなす角θ


ちょっと応用問題→なす角がわかっていて、式を求める問題


◆関連項目
加法定理
三角関数まとめ


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高校数学「三角関数」原点を通り、ｙ＝ｘとのなす角が３０°の直線の方程式

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■問題

原点を通り、ｙ＝ｘとのなす角が３０°の直線の方程式を求めよ。


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■解答解説

２直線のなす角を求めるときは、タンジェントの加法定理を使います。

ｔａｎθ＝ｙ／ｘだから、タンジェントはｘ方向に１進んだときのｙの増加量を表しています。
これはつまり直線の傾きと同じです。

そして、２直線の傾きから２直線のなす角がわかるので、ｔａｎ(α−β)を計算すると２直線のなす角がわかる。という流れです。

今回の問題では、なす角３０°がわかっています。
ｙ＝ｘの上側に３０°の場合と下側に３０°の場合があります。
つまり、α−β＝３０°の場合とβ−α＝３０°の場合があります。

まずはｔａｎ(α−β)＝３０°の場合をやってみます。
ｔａｎ３０°＝１／√３だから、ｔａｎ(α−β)＝１／√３で方程式をつくればＯＫです！

ｔａｎ(α−β)＝(ｔａｎα−ｔａｎβ)／(１＋ｔａｎαｔａｎβ)に、ｙ＝ｘよりｔａｎα＝１を代入すると、

ｔａｎ(α−β)＝(１−ｔａｎβ)／(１＋１×ｔａｎβ)
　　　　　＝(１−ｔａｎβ)／(１＋ｔａｎβ)

この式の値が１／√３だから、

(１−ｔａｎβ)／(１＋ｔａｎβ)＝１／√３

両辺に√３(１＋ｔａｎβ)をかけると、

√３(１−ｔａｎβ)＝１＋ｔａｎβ
√３−√３・ｔａｎβ＝１＋ｔａｎβ
−√３・ｔａｎβ−ｔａｎβ＝１−√３
(√３＋１)ｔａｎβ＝−１＋√３
　　　　ｔａｎβ＝(√３−１)／(√３＋１)
　　　　ｔａｎβ＝(√３−１)²／(３−１)
　　　　ｔａｎβ＝(３−２√３＋１)／２
　　　　ｔａｎβ＝(４−√３)／２＝２−√３

ｔａｎβ＝２−√３ということは、求める直線の傾きが２−２√３です。

求める直線は原点を通る直線だから、

ｙ＝(２−√３)ｘ

これは、ｔａｎ(α−β)によって求めた直線です。

ｔａｎ(β−α)についても同様にやれば、ｔａｎ(β−α)＝３０°より、ｔａｎβ＝２＋√３が得られます。
この場合はｙ＝(２＋√３)ｘですね。

まとめると、求める直線は

ｙ＝(２±√３)ｘ


基本問題→ｙ＝−３ｘとｙ＝２ｘのなす角θ


◆関連項目
加法定理
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高校数学「三角関数」２直線のなす角�@

高校数学「三角関数」２直線のなす角�@

■問題

ｙ＝−３ｘとｙ＝２ｘのなす角θを求めよ。ただし、０＜θ＜π／２とする。


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■解答解説

２直線のなす角を求めるときは、タンジェントの加法定理を使います。

ｔａｎθ＝ｙ／ｘだから、タンジェントはｘ方向に１進んだときのｙの増加量を表しています。
これはつまり直線の傾きと同じです。

今回の２直線はｙ＝−３ｘ，ｙ＝２ｘだから、ｔａｎα＝−３，ｔａｎβ＝２と置いてみます。

そして、２直線の傾きから２直線のなす角がわかるので、ｔａｎ(α−β)を計算すると２直線のなす角がわかる。という流れです。

加法定理よりｔａｎ(α−β)＝(ｔａｎα−ｔａｎβ)／(１＋ｔａｎαｔａｎβ)で、これにタンジェントの値を代入して計算します。

ｔａｎ(α−β)＝(−３−２)／(１−３×２)
　　　　　＝−５／(−５)
　　　　　＝１

よって、α−β＝π／４

つまり２直線のなす角はπ／４となります。


次の問題→ｙ＝ｘとｙ＝(２＋√３)ｘのなす角θ


ちょっと応用問題→なす角がわかっていて、式を求める問題


◆関連項目
加法定理
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高校数学「図形と方程式」直線２ｘ＋３ｙ＝０に垂直な直線

高校数学「図形と方程式」直線２ｘ＋３ｙ＝０に垂直な直線

◆問題

点Ａ(−１，３)、直線ｌ：２ｘ＋３ｙ＝０に関して、次の直線の方程式を求めよ。

(1) Ａを通りｌに平行な直線

(2) Ａを通りｌに垂直な直線


↓解答解説はお知らせの下に↓

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◆解答解説

いわゆる「平行条件」「垂直条件」を考えます。
もとの直線の傾きを使って、求める直線の傾きを表すことができます。

平行条件は「傾きが等しい」つまり「ｍ＝ｍ'」です。
垂直条件は「傾きを掛けたら−１」つまり「ｍｍ'＝−１」です。

というわけで、まずはもとの直線の式を変形してみましょう！

２ｘ＋３ｙ＝０
　　　３ｙ＝−２ｘ
　　　　ｙ＝−(２／３)ｘ

つまり、ｍ＝−２／３です。

今回は垂直な直線を求めたいので、垂直条件ｍｍ'＝−１を使って傾きを求めます。
求める直線の傾きをｍ'とすると、(−２／３)・ｍ'＝−１より、ｍ'＝３／２です。

通る点はＡ(−１，３)だから、直線の式ｙ−ｙ1＝ｍ(ｘ−ｘ1)に代入して、

ｙ−３＝(３／２){ｘ−(−１)}
　　ｙ＝(３／２))ｘ＋３／２＋３
　　ｙ＝(３／２)ｘ＋９／２

これで終わりでもちろんＯＫですが、ａｘ＋ｂｙ＋ｃ＝０の形に直せば以下のようになります。

　　　　　２ｙ＝３ｘ＋９
−３ｘ＋２ｙ−９＝０
　３ｘ−２ｙ＋９＝０


(1)に戻る→Ａを通りｌに平行な直線


◆関連項目
平行条件、垂直条件
図形と方程式まとめ


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高校数学「図形と方程式」直線２ｘ＋３ｙ＝０に平行な直線

高校数学「図形と方程式」直線２ｘ＋３ｙ＝０に平行な直線

◆問題

点Ａ(−１，３)、直線ｌ：２ｘ＋３ｙ＝０に関して、次の直線の方程式を求めよ。

(1) Ａを通りｌに平行な直線


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◆解答解説

いわゆる「平行条件」「垂直条件」を考えます。
もとの直線の傾きを使って、求める直線の傾きを表すことができます。

平行条件は「傾きが等しい」つまり「ｍ＝ｍ'」です。
垂直条件は「傾きを掛けたら−１」つまり「ｍｍ'＝−１」です。

というわけで、まずはもとの直線の式を変形してみましょう！

２ｘ＋３ｙ＝０
　　　３ｙ＝−２ｘ
　　　　ｙ＝−(２／３)ｘ

つまり、ｍ＝−２／３です。

今回は平行な直線を求めたいので、このまま傾き−２／３を使います。
通る点はＡ(−１，３)だから、直線の式ｙ−ｙ1＝ｍ(ｘ−ｘ1)に代入して、

ｙ−３＝(−２／３){ｘ−(−１)}
　　ｙ＝−(２／３)ｘ−２／３＋３
　　ｙ＝−(２／３)ｘ＋７／３

これで終わりでもちろんＯＫですが、ａｘ＋ｂｙ＋ｃ＝０の形に直せば以下のようになります。

　　　　　３ｙ＝−２ｘ＋７
２ｘ＋３ｙ−７＝０


次の問題→垂直な場合


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平行条件、垂直条件
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高校数学「図形と方程式」点(２，−３)と直線ｙ＝３ｘ−４の間の距離

高校数学「図形と方程式」点(２，−３)と直線ｙ＝３ｘ−４の間の距離

◆問題

点(２，−３)と直線ｙ＝３ｘ−４の間の距離を求めよ。


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◆解答解説

他の方法も可能ですが、基本的には点と直線の距離の公式を使います。

ｄ＝|ａｘ₁＋ｂｙ₁＋ｃ|／√(ａ²＋ｂ²)

ですね。
点と直線が与えられているので、それぞれ代入して計算するだけですが、今回のように、直線がｙ＝ａｘ＋ｂの形で表されているときは、ａｘ＋ｂｙ＋ｃ＝０の形に直す必要があります。

ｙ＝３ｘ−４を移項して、
−３ｘ＋ｙ＋４＝０
　３ｘ−ｙ−４＝０

今度こそ「あとは代入するだけ」です。

ｄ＝|３・２−１・(−３)−４|／√{３²＋(−１)²}
　＝|６＋３−４|／√(９＋１)
　＝５／√１０
　＝５√１０／１０
　＝√１０／２


前の問題→点(２，１)と直線ｘ＋２ｙ−３＝０の間の距離


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点と直線の距離
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高校数学「図形と方程式」点(２，１)と直線ｘ＋２ｙ−３＝０の間の距離

高校数学「図形と方程式」点(２，１)と直線ｘ＋２ｙ−３＝０の間の距離

◆問題

点(２，１)と直線ｘ＋２ｙ−３＝０の間の距離を求めよ。


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◆解答解説

他の方法も可能ですが、基本的には点と直線の距離の公式を使います。

ｄ＝|ａｘ₁＋ｂｙ₁＋ｃ|／√(ａ²＋ｂ²)

ですね。
点と直線が与えられているので、それぞれ代入して計算するだけです。

ｄ＝|１・２＋２・１−３|／√(１²＋２²)
　＝|２＋２−３|／√(１＋４)
　＝１／√５
　＝√５／５


次の問題→点(２，−３)と直線ｙ＝３ｘ−４の間の距離


◆関連項目
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高校数学「図形と方程式」点Ａ(−１，２)に関して、点Ｐ(２，−５)と対称な点Ｑの座標

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◆問題

点Ａ(−１，２)に関して、点Ｐ(２，−５)と対称な点Ｑの座標を求めよ。


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◆解答解説

点Ａ(−１，２)に関して、点Ｐ(２，−５)と対称な点Ｑの座標を求めよ。

「点Ａに関して、点Ｐと点Ｑが対称」ならば、「ＡはＰＱの中点」になります。
中点は２点の座標の平均ですね。

Ｑの座標はわかっていないので、文字で置いて式を立てると良いでしょう！

Ｑ(ｘ，ｙ)とすると、

ｘ座標
(２＋ｘ)／２＝−１
　　２＋ｘ＝−２
　　　　ｘ＝−４

ｙ座標
(−５＋ｙ)／２＝２
　　−５＋ｙ＝４
　　　　　ｙ＝９

というわけで、求める座標はＱ(−４，９)


◆関連項目
平行四辺形の対角線の交点等
図形と方程式まとめ


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高校数学「図形と方程式」平行四辺形の対角線の交点の座標�A

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◆問題

３点Ａ(−２，５)，Ｂ(１，２)，Ｃ(４，３)と点Ｄを頂点にもつ平行四辺形について、次の問いに答えよ。

(1) 対角線の交点Ｐの座標を求めよ。

(2) 点Ｄの座標を求めよ。


↓(2)の解答解説はお知らせの下に↓


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◆解答解説

(1)で、点Ｐの座標を３パターン求めました。

平行四辺形ＡＢＣＤのとき、Ｐ(１，２)
平行四辺形ＡＤＢＣのとき、Ｐ(−１／２，７／２)
平行四辺形ＡＢＤＣのとき、Ｐ(５／２，５／２)

ですね。
(2)では、それぞれの場合のＤの座標を求めます。

平行四辺形の対角線はそれぞれの中点で交わるので、Ｄと対角の中点がこのＰになればＯＫです。

ＡＢＣＤの場合は、前の記事で求めたように(１，６)です。

Ｄ(ｘ，ｙ)とおいて、残り２パターンを求めていきましょう！

(i) 平行四辺形ＡＤＢＣのとき
ＤはＡＢに関してＣと対象な位置にくるので、ＣＤの中点が対角線の交点Ｐになります。

ｘ座標
(４＋ｘ)／２＝−１／２
　　４＋ｘ＝−１
　　　　ｘ＝−５

ｙ座標
(３＋ｙ)／２＝７／２
　　３＋ｙ＝７
　　　　ｙ＝４

よって、この場合のＤの座標は(−５，４)です。

(ii) 平行四辺形ＡＢＤＣのとき
ＤはＢＣに関してＡと対象な位置にくるので、ＡＤの中点が対角線の交点Ｐになります。

ｘ座標
(−２＋ｘ)／２＝５／２
　　−２＋ｘ＝５
　　　　　ｘ＝７

ｙ座標
(５＋ｙ)／２＝５／２
　　５＋ｙ＝５
　　　　ｙ＝０

よって、この場合のＤの座標は(７，０)です。


この問題の最初に戻る→平行四辺形ＡＢＣＤの場合


◆関連項目
点Ａ(−１，２)に関して、点Ｐ(２，−５)と対称な点Ｑの座標
図形と方程式まとめ


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高校数学「図形と方程式」平行四辺形の対角線の交点の座標�@

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◆問題

３点Ａ(−２，５)，Ｂ(１，２)，Ｃ(４，３)と点Ｄを頂点にもつ平行四辺形について、対角線の交点Ｐの座標を求めよ。


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◆解答解説

前回の問題とちょっとだけ違います。
前回は「平行四辺形ＡＢＣＤ」だったので、Ａ→Ｂ→Ｃ→Ｄの順に１周する順番に４つの点が並びます。

今回は「Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄを頂点とする平行四辺形」なので、順番は確定していません。

Ａ，Ｂ，Ｃは決まっていて、△ＡＢＣの位置は決まっているので、Ｄの位置によって３通りの平行四辺形が考えられます。

まず、前回の問題でもやったように、「平行四辺形ＡＢＣＤ」だった場合は、ＤはＡＣに関してＢと対象な位置にあり、(１，２)でした。

この問題では、あと２通りのＤの位置も求める必要があります。

(i) 平行四辺形ＡＤＢＣのとき
ＤはＡＢに関してＣと対象な位置にくるので、対角線の交点ＰはＡＢの中点になります。

ｘ座標
(−２＋１)／２＝−１／２

ｙ座標
(５＋２)／２＝７／２

この場合のＰの座標は(−１／２，７／２)です。

(ii) 平行四辺形ＡＢＤＣのとき
ＤはＢＣに関してＡと対象な位置にくるので、対角線の交点ＰはＢＣの中点になります。

ｘ座標
(１＋４)／２＝５／２

ｙ座標
(２＋３)／２＝５／２

この場合のＰの座標は(５／２，５／２)です。


次の問題→Ｄの座標


◆関連項目
点Ａ(−１，２)に関して、点Ｐ(２，−５)と対称な点Ｑの座標
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高校数学「図形と方程式」平行四辺形ＡＢＣＤの対角線の交点とＤの座標

高校数学「図形と方程式」平行四辺形ＡＢＣＤの対角線の交点とＤの座標

◆問題

３点Ａ(−２，５)，Ｂ(１，２)，Ｃ(４，３)を頂点にもつ平行四辺形ＡＢＣＤについて、対角線ＡＣとＢＣの交点Ｐと点Ｄの座標を求めよ。


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◆解答解説

まず、中学数学でも登場した平行四辺形の性質を思い出してください。

もちろん「対辺がそれぞれ平行」「対辺がそれぞれ等しい」「対角がそれぞれ等しい」という性質はありますが、そのほかに、

★対角線がそれぞれの中点で交わる

という性質がありましたね。

だから、今回の問題の点Ｐは、ＡＣの中点であり、ＢＤの中点でもあります。

ということは、ＡＣの中点を求めればＰがわかり、ＰがわかればＤがわかる。という流れになります。

まずはＡＣの中点を求めてみましょう！
中点は、重心と同様に、座標の平均です。

ｘ座標
(−２＋４)／２＝２／２＝１

ｙ座標
(５＋３)／２＝８／２＝４

よって、Ｐ(１，４)

ＢＤの中点もＰになります。
Ｄは今のところわからないので、(ｘ，ｙ)とおくと、

(１＋ｘ)／２＝１，(２＋ｙ)＝４

このような式ができます。
あとはそれぞれ解けばＯＫ！

(１＋ｘ)／２＝１
　　１＋ｘ＝２
　　　　ｘ＝１

(２＋ｙ)／２＝４
　　２＋ｙ＝８
　　　　ｙ＝６

よって、求める点Ｄの座標は(１，６)です！


ちなみに、この問題では「平行四辺形ＡＢＣＤ」と言っているので、Ｄの位置はこの１ヶ所に決まります。
「Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄを頂点にもつ平行四辺形」ならば、Ｄの位置は他の可能性もあります。


次の問題→Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄを頂点とする場合


◆関連項目
点Ａ(−１，２)に関して、点Ｐ(２，−５)と対称な点Ｑの座標
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高校数学「図形と方程式」△ＡＢＣの重心の座標

高校数学「図形と方程式」△ＡＢＣの重心の座標

◆問題

３点Ａ(４，７)，Ｂ(２，１)，Ｃ(−３，−２)を頂点とする△ＡＢＣの重心の座標を求めよ。


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◆解答解説

三角形の重心は、要するに三角形の真ん中の点です。
真ん中だから、頂点の座標を平均すると重心の座標がわかります。

３点の座標はＡ(４，７)，Ｂ(２，１)，Ｃ(−３，−２)だから、ｘ座標とｙ座標それぞれを平均します。

ｘ座標
(４＋２−３)／３＝３／３＝１

ｙ座標
(７＋１−２)／３＝６／３＝２

というわけで、求める重心の座標は(１，２)


◆関連項目
図形と方程式まとめ


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高校数学「２次関数」公式を使った対称移動

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◆問題

２次関数ｙ＝２ｘ²−４ｘ＋４のグラフを次のように移動するとき、移動後の放物線の方程式を求めよ。

(1) ｘ軸に関して対称移動

(2) ｙ軸に関して対称移動

(3) 原点に関して対称移動


前回までの記事で、頂点を移動する方法での解答解説は全て掲載しました。
今回は公式を使った対称移動でやってみましょう！


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◆解答解説

(1) ｘ軸に関して対称移動の場合は、ｙを−ｙで置き換えることで移動後の式を求めることができます。
つまり、

−ｙ＝２ｘ²−４ｘ＋４
　ｙ＝−２ｘ²＋４ｘ−４

(2) ｙ軸に関して対称移動の場合は、ｘを−ｘで置き換えればＯＫです。
つまり、

ｙ＝２(−ｘ)²−４(−ｘ)＋４
ｙ＝２ｘ²＋４ｘ＋４

(3) 原点に関して対称移動の場合は、縦も横も対称移動することになるので、ｘ，ｙをそれぞれ−ｘ，−ｙで置き換えます。

−ｙ＝２(−ｘ)²−４(−ｘ)＋４
−ｙ＝２ｘ²＋４ｘ＋４
　ｙ＝−２ｘ²−４ｘ−４


というわけで、３問ともに頂点を移動する方法と同じ式を求めることができましたね！


この問題の最初に戻る→(1) ｘ軸に関して対称移動


◆関連項目
平行移動する場合
２次関数まとめ


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高校数学「２次関数」原点に関して対称移動

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◆問題

２次関数ｙ＝２ｘ²−４ｘ＋４のグラフを次のように移動するとき、移動後の放物線の方程式を求めよ。

(1) ｘ軸に関して対称移動

(2) ｙ軸に関して対称移動

(3) 原点に関して対称移動


↓(3)の解答解説はお知らせの下↓


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◆解答解説

対称移動の場合も、平行移動の場合と同様に、頂点の移動と考えることができます。
というわけで与式を平方完成して頂点を求めてみましょう！

ｙ＝２ｘ²−４ｘ＋４
　＝２(ｘ²−２ｘ)＋４
　＝２(ｘ²−２ｘ＋１−１)＋４
　＝２(ｘ−１)²−２＋４
　＝２(ｘ−１)²＋２

よって頂点の座標は(１，２)

これを原点に関して対称に移動するならば、移動後の座標は(−１，−２)となります。
原点に関して対称ならば、グラフの向きは反対向きになります。
というわけで、求める方程式は、

ｙ＝−２(ｘ＋１)²−２

これで終わりでも問題ありませんが、さらに展開して整理すると次のようになります。

ｙ＝−２(ｘ²＋２ｘ＋１)−２
　＝−２ｘ²−４ｘ−２−２
　＝−２ｘ²−４ｘ−４


次のページ→公式を使った解き方


◆関連項目
平行移動する場合
２次関数まとめ


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高校数学「２次関数」ｙ軸に関して対称移動

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◆問題

２次関数ｙ＝２ｘ²−４ｘ＋４のグラフを次のように移動するとき、移動後の放物線の方程式を求めよ。

(1) ｘ軸に関して対称移動

(2) ｙ軸に関して対称移動


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◆解答解説

対称移動の場合も、平行移動の場合と同様に、頂点の移動と考えることができます。
というわけで与式を平方完成して頂点を求めてみましょう！

ｙ＝２ｘ²−４ｘ＋４
　＝２(ｘ²−２ｘ)＋４
　＝２(ｘ²−２ｘ＋１−１)＋４
　＝２(ｘ−１)²−２＋４
　＝２(ｘ−１)²＋２

よって頂点の座標は(１，２)

これをｙ軸に関して対称に移動するならば、移動後の座標は(−１，２)となります。
ｙ軸に関して対称ならば、グラフの向きは変わらず下に凸ですね。
というわけで、求める方程式は、

ｙ＝２(ｘ＋１)²＋２

これで終わりでも問題ありませんが、さらに展開して整理すると次のようになります。

ｙ＝２(ｘ²＋２ｘ＋１)＋２
　＝２ｘ²＋４ｘ＋２＋２
　＝２ｘ²＋４ｘ＋４


次の問題→原点に関して対称


◆関連項目
平行移動する場合
２次関数まとめ


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高校数学「２次関数」ｘ軸に関して対称移動

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◆問題

２次関数ｙ＝２ｘ²−４ｘ＋４のグラフを次のように移動するとき、移動後の放物線の方程式を求めよ。

(1) ｘ軸に関して対称移動


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◆解答解説

対称移動の場合も、平行移動の場合と同様に、頂点の移動と考えることができます。
というわけで与式を平方完成して頂点を求めてみましょう！

ｙ＝２ｘ²−４ｘ＋４
　＝２(ｘ²−２ｘ)＋４
　＝２(ｘ²−２ｘ＋１−１)＋４
　＝２(ｘ−１)²−２＋４
　＝２(ｘ−１)²＋２

よって頂点の座標は(１，２)

これをｘ軸に関して対称に移動するならば、移動後の座標は(１，−２)となります。
そして縦方向に移動するので、グラフの向きも変わります。
というわけで、求める方程式は、

ｙ＝−２(ｘ−１)²−２

これで終わりでも問題ありませんが、さらに展開して整理すると次のようになります。

ｙ＝−２(ｘ²−２ｘ＋１)−２
　＝−２ｘ²＋４ｘ−２−２
　＝−２ｘ²＋４ｘ−４


次の問題→ｙ軸に関して対称移動


◆関連項目
平行移動する場合
２次関数まとめ


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高校数学「２次関数」２つの放物線が一致するように平行移動する場合

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◆問題

２次関数ｙ＝ｘ²−３ｘ＋２のグラフをｘ軸方向にａ，ｙ軸方向にｂだけ平行移動すると、ｙ＝ｘ²＋ｘ＋１と一致する。このようなａ，ｂの値を求めよ。


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◆解答解説

２次関数の平行移動は、頂点の移動と考えることができます。
放物線の形は、場所が変わっても変わらないので、頂点の位置が一致すれば２つのグラフが一致する。というわけです。

まずはそれぞれの関数の頂点を出してみましょう！

ｙ＝ｘ²−３ｘ＋２
　＝(ｘ²−３ｘ＋９／４−９／４)＋２
　＝(ｘ−３／２)²−９／４＋２
　＝(ｘ−３／２)²−１／４
よって、頂点は(３／２，−１／４)

ｙ＝ｘ²＋ｘ＋１
　＝(ｘ＋ｘ＋１／４−１／４)＋１
　＝(ｘ＋１／２)²−１／４＋１
　＝(ｘ＋１／２)²＋３／４
よって、頂点は(−１／２，３／４)

(３／２，−１／４)を平行移動して(−１／２，３／４)と一致させるのだから・・・

ｘ軸方向に−２，ｙ軸方向に１移動すればいいですね！

よって、ａ＝−２，ｂ＝１


◆関連項目
放物線の基本的な平行移動
２次関数まとめ
ｙ＝(１／２)ｘ^2のグラフを平行移動したもので、頂点がｘ軸上にあり、点(３，８)を通る２次関数の式を求めよ。


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