2019年10月10日

高校数学「場合の数」「連続するとき」

高校数学「場合の数」「連続するとき」

男子4人、女子3人が1列に並ぶとき、女子3人が連続して並ぶ場合の数を求めよ。

「連続して」という場合は、その連続している部分を「1人」「1つ」として考えます。

解説はこのページ下


この書籍も参考にしてください。


まずは、女子3人を1人とみなして、男子4人とあわせて合計5人を並べる場合の数を考えます。

5人を一列に並べるので、5!(5の階乗)ですね。


1人とみなした女子3人はもちろん本当は3人なので、その3人の並べ方も考慮しなければいけません。

3人の並べ方は3!です。


5!の並べ方のそれぞれの女子は3!の並べ方があるので、5!と3!は同時に起こることです。つまり、かけ算をします。
よって、求める場合の数は

 5!×3!
=5×4×3×2×1×3×2×1
=720通り


次の問題→両端が決まっているとき


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2019年10月07日

高校数学「因数分解」「3乗」

高校数学「因数分解」「3乗」

x^3+125を因数分解せよ。

x^3はもちろんxの3乗です。

125は・・・5の3乗ですね!

ということは、a^3+b^3の形になっています。

3乗の公式のページでも解説しているように、この形ならば、

a^3+b^3=(a+b)(a^2−ab+b^2)

という公式で因数分解することができます。

x^3+125=x^3+5^3だから、a=x,b=5を代入して、

x^3+125=(x+5)(x^2−5x+25)


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高校数学「因数分解」「複2次式」

高校数学「因数分解」「複2次式」

x^4+x^2+1を因数分解せよ。

xの4次式になっています。
そんなときはたいてい、xの2乗をひとかたまりと見なして、X=x^2とおけば解決!ですね!
置き換えてみると、

x^4+x^2+1=X^2+X+1

あとは普通に因数分解すれば・・・と考えてみても、この場合は、合う数字の組み合わせがありません。
掛けて1,足して1の数は、普通に思いつく数では存在しません。

「もしX^2+2X+1なら因数分解できるのにな〜」

と思った人もいると思います。
その通りです!

X^2+2X+1ならできるなら、そうしてしまえばいいのです(笑)
・・・とは言っても、もちろん、勝手に数を変えてしまってはいけません。
式の値が変化しないように、Xを2Xに変えたならば、その増えた分を差し引かないといけないのです。
つまり、

=X^2+2X+1−X

とします。
こうすれば、因数分解して

=(X+1)^2−X

となりますね。
ここでXをx^2に戻してみると、

=(x^2+1)^2−x^2

今度はかっこの中身をA=x^2+1とおけば、

=A^2−x^2

これは「2乗ひく2乗」の公式で因数分解できますね。

=(A+x)(A−x)

Aをもとに戻して、

=(x^2+1+x)(x^2+1−x)

一応これで完成です。
これで特に問題ありませんが、順番を直して、

=(x^2+x+1)(x^2−x+1)

このようにすれば、式の見た目的にもよいです。


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2019年10月05日

高校数学「2次関数」「判別式」「異なる2つの負の解」D

高校数学「2次関数」「判別式」「異なる2つの負の解」D

2次方程式x^2−kx+k+3=0が異なる2つの負の解をもつような定数kの値の範囲を求めよ。

ここまでの記事で、@判別式より、D>0のときk<−2,k>6であり、A軸よりk<0でありB境界線よりx>−3であることがわかりました。

あとはこれらの範囲の共通範囲を答えれば、それが正解です。

改めて整理すると、

@判別式より、k<−2,k>6
A軸よりk<0
B境界線よりk>−3

これらの共通範囲は・・・

−3<k<−2


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高校数学「2次関数」「判別式」「異なる2つの負の解」C

高校数学「2次関数」「判別式」「異なる2つの負の解」C

2次方程式x^2−kx+k+3=0が異なる2つの負の解をもつような定数kの値の範囲を求めよ。

ここまでの記事で、@判別式より、D>0のときk<−2,k>6であり、A軸よりk<0であることがわかりました。

この記事では3つめの条件、

境界線f(0)>0

について考えます。(なぜf(0)>0なのかはこちら)

f(0)=0−0+k+3
  =k+3>0
     k>−3

2次関数のグラフが原点の上を通るときはk>−3というわけですね。


次の記事→まとめ


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高校数学「2次関数」「判別式」「異なる2つの負の解」B

高校数学「2次関数」「判別式」「異なる2つの負の解」B

2次方程式x^2−kx+k+3=0が異なる2つの負の解をもつような定数kの値の範囲を求めよ。

前回の記事で、D>0のときk<−2,k>6であることがわかりました。

続いて、

A軸x<0

について考えます。(なぜ軸<0なのかはこちら)

軸の方程式は、頂点を通るy軸に平行な直線です。

x=−b/2aで求めることができます。
a=1,b=−kを代入すると、x=−(−k)/2・1=k/2

軸x<0なので、k/2<0すなわち、k<0


次の記事→
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高校数学「2次関数」「判別式」「異なる2つの負の解」A

高校数学「2次関数」「判別式」「異なる2つの負の解」A

2次方程式x^2−kx+k+3=0が異なる2つの負の解をもつような定数kの値の範囲を求めよ。

前回の記事で、「異なる2つの負の解」を持つためには、

@判別式D>0
A軸x<0
B境界線f(0)>0

の3つの条件を満たす必要があることがわかりました。


では実際にこの問題を解いていきましょう!

まずは判別式を用いて、「異なる2つの実数解をもつ」ときのkの値を調べます。

D=b^2−4acに、a=1,b=−k,c=k+3を代入して、

D=(−k)^2−4×1×(k+3)
 =k^2−4k−12
 =(k+2)(k−6)>0

よって、k<−2,k>6


次の記事→軸は負の値


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高校数学「2次関数」「判別式」「異なる2つの負の解」

高校数学「2次関数」「判別式」「異なる2つの負の解」

2次方程式x^2−kx+k+3=0が異なる2つの負の解をもつような定数kの値の範囲を求めよ。

前回の記事では、「異なる2つの正の解」だったので、

@判別式D>0
A軸x>0
B境界線f(0)>0

でしたが、今回は「異なる2つの負の解」です。
負の解であることから、少し条件が変わります。

正だろうが負だろうが、「異なる2つの解」であることには変わりないので、まず@は変わらず、判別式D>0です。

負の解であるためには、グラフが全体としてマイナス側になければいけないので、軸x<0である必要があります。ここは変わりました。

2つの解が同符号であるためには、グラフが原点より上を通るので、f(0)>0です。これは変わりません。

つまり、今回の問題では

@判別式D>0
A軸x<0
B境界線f(0)>0

を満たすkの値の範囲を求めればOK!です。


次の記事→判別式の値は正の数


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2019年10月02日

高校数学「2次関数」「判別式」C

高校数学「2次関数」「判別式」C

2次方程式x^2+2kx+k+6=0が異なる2つの正の解をもつような定数kの値の範囲を求めよ。

@の記事で、判別式を用いて、異なる2つの解を持つときのkの値の範囲は「k<−2,k>3」であることを求めました。
そしてAの記事で、軸>0であるときのkの値の範囲が「k<0」であることを求めました。
さらに条件を限定するために、Bの記事で、原点より上を通る。という条件から、k>−6を求めました。

これら3つの範囲を全て満たしているとき、「異なる2つの正の解をもつ」ということができます。


k<−2,k>3
k<0
k>−6

これらの共通範囲は・・・

−6<k<−2

ですね!


まとめると、2次方程式が異なる2つの正の解をもつためには、

@判別式D>0
A軸x>0
B境界線f(0)>0

以上3つの条件を全て満たせばよい。ということができます。


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高校数学「2次関数」「判別式」B

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2次方程式x^2+2kx+k+6=0が異なる2つの正の解をもつような定数kの値の範囲を求めよ。

@の記事で、判別式を用いて、異なる2つの解を持つときのkの値の範囲は「k<−2,k>3」であることを求めました。
そしてAの記事で、軸>0であるときのkの値の範囲が「k<0」であることを求めました。

ここまでの条件だけでは、まだ、「異なる2つの正の解」でない場合を含んでいます。
この記事では、残り一つの条件について解説します。


「異なる2つの解」をもち、「頂点または軸>0」を満たしても、解が2つとも正の数の場合と片方違う場合があります。
その違いはなんでしょうか?

それは、

「原点より上を通るか?」「原点より下を通るか?」

です。

原点より上を通れば、2つの解は同符号
原点より下を通れば、2つの解は異符号

となります。

この問題では、2つの解は正の数なので、「原点より上」という条件で式を作ります。

原点より上ならば、「x=0のときy>0」ですね。
与式に代入してみましょう!

0^2+2k・0+k+6>0
          k>−6


あとは、@,A,Bで求めたkの範囲の共通点を求めればOK!ですね!


続きはこちら


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高校数学「2次関数」「判別式」A

高校数学「2次関数」「判別式」A

2次方程式x^2+2kx+k+6=0が異なる2つの正の解をもつような定数kの値の範囲を求めよ。

@の記事で、判別式を用いて、異なる2つの解を持つときのkの値の範囲は「k<−2,k>3」であることを求めました。

この記事では、「異なる2つの正の解」の範囲となるように、この範囲を限定していくことを考えます。


2次方程式が「正の解」を持つためには、y=x^2+2kx+k+6を考えた場合、この放物線が全体としてプラス側になければいけません。
「全体としてプラス」であることを数式で表すには・・・

「頂点はプラス側にある」すなわち、「軸>0」

ですね!

グラフをイメージして、D>0ならば頂点がプラス側にある場合は、必ずx軸の正の部分と交わることを理解しておいてください。

軸の方程式はx=−b/2aなので、これにa=1,b=2kを代入すると、

x=−2k/2・1=−k

つまり、軸の方程式はx=−kです。

「軸がプラス側」だから、x=−k>0よって、k<0


・・・これで完成!といきたいところですが、軸がプラスというだけでは、解が2個とも正の数になるとは限りません。

もう一つ満たす必要がある条件があります。それは・・・?


続きはこちら


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高校数学「2次関数」「判別式」@

高校数学「2次関数」「判別式」@

2次方程式x^2+2kx+k+6=0が異なる2つの正の解をもつような定数kの値の範囲を求めよ。

まずは「異なる2つの解」と考えて、判別式D=b^2−4acを用います。

D>0のとき、2次方程式は異なる2つの解を持ちます。

まずはこの条件を満たすkの値の範囲を求めてみましょう!

D=b^2−4acに、a=1,b=2k,c=k+6を代入して、

D=(2k)^2−4×1×(k+6)
 =4k^2−4k−24>0
     k^2−k−6>0
    (k+2)(k−3)>0
よって、k<−2,k>3

これが、異なる2つの解を持つときのkの範囲です。

これだけではもちろん、「異なる2つの正の解」にはなりませんね。


続きはこちら


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2019年09月30日

高校数学「因数分解」「文字を含むたすき掛け」

高校数学「因数分解」「文字を含むたすき掛け」

次の式を因数分解せよ。
3x^2+y^2−4xy−x+3y−4


この場合、慣れてない人は、「共通する文字や数字もなく、いろいろな種類の項があるので何もできることがない!」と思いがちですが、そんなときはまずはxについて項べきの順に整理するとよいです。

まず整理すると、

3x^2−4xy−x+y^2+3y−4

となります。


解説の続きはこのページ下に




江間淳の書籍

与式を項べきの順に整理すると

=3x^2−4xy−x+y^2+3y−4

となりました。

ここからxの次数が等しいもの同士をまとめていきます。
xの2乗の項は3x^2だけ、xの項は−4xyと−x、残りは定数と考えて、

=3x^2+(−4y−1)x+(y^2+3y−4)

まずは定数部分を普通に因数分解します。

=3x^2+(−4y−1)x+(y−1)(y+4)

xの2乗の項に係数があるので、今度はこの式をxの2次式とみなして、たすきがけをします。

 1   −(y−1) = −3y+3
   ×
 3   −(y+4) =  −y−4
―――――――――――――――――――
 3  (y−1)(y+4)  −4y−1

このようになるので、

={x−(y−1)}{3x−(y+4)}
=(x−y+1)(3x−y−4)


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2019年09月12日

高校数学「式の展開」

高校数学「式の展開」

(2x−y+1)^2を計算せよ。

項は3つだし2乗だから、「とにかくがんばる」でも大丈夫ですが、公式を使えるようにした方が後々役立ちます。

(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca

ですね。

今回の問題では、a=2x,b=−y,c=1を代入して、

 (2x−y+1)^2
=(2x)^2+(−y)^2+1^2+2・2x・(−y)+2・(−y)・1+2・1・2x
=4x^2+y^2+1−4xy−2y+4x

これで終わりでも構いませんが、次数の高い順に並べ替えると、

=4x^2+y^2−4xy+4x−2y+1


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2019年09月03日

解答(点と直線の距離を使う場合)★高校数学「図形と方程式」「円」「直線」「接線」

解答(点と直線の距離を使う場合)★高校数学「図形と方程式」「円」「直線」「接線」

円x^2+y^2=15と直線y=2x+kが接するとき、定数kの値と接点の座標を求めよ。

問題ページはこちら

この記事では、点と直線の距離の公式を使って解いた場合を解説します。

ax+by+c=0の形の1次関数と点(x1,y1)との距離は

d=|ax1+by1+c|/√(a^2+b^2)

で表されます。

直線と円の中心との距離が、円の半径に等しいとき、円と直線は接する。ということができますね。

円の式は、x^2+y^2=15なので、中心は原点(0,0)です。(半径は√15)
直線の式はy=2x+kなので、移項して、2x−y+k=0とします。
この形で、(点と直線の距離)=(半径)で方程式を解けば、kの値が出る。というわけです。
やってみましょう!

d=|2・0−0+k|/√{2^2+(−1)^2}
 =±k/√(4+1)
 =±k/√5

半径は√15なので、

±k/√5=√15
  ±k=√15×√5
  ±k=√75
   k=±5√3

ということで、接するときのkの値は±5√3です。
つまり接線の方程式は、y=2x±5√3であることがわかりました。

あとは円との共有点を求めれば完成です。

k=5√3のとき、y=2x+5√3これが円と共有点を持つので、連立方程式で解きます。

    x^2+(2x+5√3)^2=15
x^2+4x^2+20√3x+75=15
   5x^2+20√3x+60=0
     x^2+4√3x+12=0
        (x+2√3)^2=0
よって、x=−2√3
y=2x+5√3に代入すると、y=√3

k=−5√3のときも同様にすると、x=2√3,y=−√3が得られます。

よって、
k=5√3のとき、接点(−2√3,√3)
k=−5√3のとき、接点(2√3,−√3)


判別式を使った場合は、別の記事で解説します。


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2019年09月02日

解答(判別式を使う場合)★高校数学「図形と方程式」「円」「直線」「接線」

解答(判別式を使う場合)★高校数学「図形と方程式」「円」「直線」「接線」

円x^2+y^2=15と直線y=2x+kが接するとき、定数kの値と接点の座標を求めよ。

問題ページはこちら

この記事では、判別式を使って解いた場合を解説します。

「円と直線が接する」場合、円と直線の式を合成して、判別式D=0で解くことでkの値を求めることができます。
2次関数と直線の位置関係を考えるときに、判別式を使えたのと同じイメージですね。

まずは合成してみましょう!

直線の式を円の式に代入して、

    x^2+(2x+k)^2=15
x^2+4x^2+4kx+k^2=15
5x^2+4kx+k^2−15=0

kを定数とみなして、xの2次方程式ができました。
これを判別式に代入して、「接する」条件のD=0で解けば求めるkの値が出るというわけです。

D=(4k)^2−4・5・(k^2−15)
 =16k^2−20k^2+300
 =−4k^2+300=0
      −4k^2=−300
        k^2=75
         k=±√75
          =±5√3

ということで、接するときのkの値は±5√3です。

5x^2+4kx+k^2−15=0にk=5√3を代入すると、

5x^2+4・5√3・x+75−15
5x^2+20√3・x+60=0
    x^2+4√3+12=0
      (x+2√3)^2=0
よって、x=−2√3

y=2x+kに、k=5√3,x=−2√3を代入すると、
y=2・(−2√3)+5√3
 =−4√3+5√3
 =√3

つまり、k=5√3のとき、x=−2√3,y=√3であることがわかりました。

k=−5√3のときも同様にすると、5x^2−2x√3・x+60=0より(x−2√3)^2=0だからx=2√3。
y=2x+kにk=−5√3,x=2√3を入れるとy=−√3が得られます。

ということで、

k=5√3のとき、接点(−2√3,√3)
k=−5√3のとき、接点(2√3,−√3)


点と直線の距離を使った場合は、別の記事で解説します。


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高校数学「図形と方程式」「円」「直線」「接線」

高校数学「図形と方程式」「円」「直線」「接線」

円x^2+y^2=15と直線y=2x+kが接するとき、定数kの値と接点の座標を求めよ。

円と直線の位置関係に関する問題です。
「円と直線が接する」条件は、2通りあります。

ひとつは判別式。
もう一つは点と直線の距離。

どっちを使っても、もちろん同じ答えになるので、まずは自分が得意な方でやってみてください。

解答解説は・・・

判別式を使う場合
点と直線の距離を使う場合


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2019年09月01日

高校数学「指数不等式」の続き

高校数学「指数不等式」の続き

次の不等式を解け。
(1/9)^x−(1/3)^x−6<0

前回の記事で、t=(1/3)^xとすれば、

(1/9)^x={(1/3)^2}^x={(1/3)^x}^2=t^2

などと表せることを述べました。
この記事ではその続きをやってみます。

tで置き換えると、与式は

t^2−t−6<0

と書き換えることができます。
これは普通に2次不等式ですね。
ならば、普通に解けばOKです。

(t+2)(t−3)<0

(t+2)(t−3)=0のとき、t=−2,3で、不等号は<0なので、放物線を描いた場合の横軸の下側が求める範囲となります。
つまり、

−2<t<3

ですね。
ここでtをもどしてみると、

−2<(1/3)^x<3

底>0だから、真数条件より(1/3)^x>0なので、0<(1/3)^x<3

(1/3)^(-1)=3だから、x>−1


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2019年08月30日

高校数学「指数不等式」

高校数学「指数不等式」

次の不等式を解け。
(1/9)^x−(1/3)^x−6<0

このような場合は指数方程式と同様に、式の一部を文字でおくとわかりやすくなります。

t=(1/3)^xとすれば、

(1/9)^x={(1/3)^2}^x={(1/3)^x}^2=t^2

ですね。

続きはこちら


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2019年08月29日

解答★意外と解けない高校数学「指数方程式」

解答★意外と解けない高校数学「指数方程式」

次の方程式を解け。
4^x−3・2^(x+1)−16=0

問題ページはこちら

では解説です。

式をよく見てみると、4^xや2^xなどがあります。
ここから、「2^xについての方程式と考えればいいかも?」と推測します。

4^x=(2^2)^x=(2^x)^2

なので、2^x=tとおけば、tについての2次方程式になりそうです。

ついでに書いておくと、2^(x+1)=(2^x)・(2^1)=2・2^x=2tですね。ということは・・・

4^x−3・2^(x+1)−16=0
  t^2−3・2t−16=0
    t^2−6t−16=0
     (t+2)(t−8)=0
t=−2,8

よって、2^x=−2,8

2は何乗しても正の数なので、−2になることはありません。つまり、

2^x=8
2^x=2^3
 x=3

これで完成ですね!


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