2024年01月23日

三角比の表

三角比の表

角 / 正弦(sin) / 余弦(cos) / 正接(tan)
0 / 0.0000 / 1.0000 / 0.0000

1 / 0.0175 / 0.9998 / 0.0175
2 / 0.0349 / 0.9994 / 0.0349
3 / 0.0523 / 0.9986 / 0.0524
4 / 0.0698 / 0.9976 / 0.0699
5 / 0.0872 / 0.9962 / 0.0875
6 / 0.1045 / 0.9945 / 0.1051
7 / 0.1219 / 0.9925 / 0.1228
8 / 0.1392 / 0.9903 / 0.1405
9 / 0.1564 / 0.9877 / 0.1584
10 / 0.1736 / 0.9848 / 0.1763

11 / 0.1908 / 0.9816 / 0.1944
12 / 0.2079 / 0.9781 / 0.2126
13 / 0.2250 / 0.9744 / 0.2309
14 / 0.2419 / 0.9703 / 0.2493
15 / 0.2588 / 0.9659 / 0.2679
16 / 0.2756 / 0.9613 / 0.2867
17 / 0.2924 / 0.9563 / 0.3057
18 / 0.3090 / 0.9511 / 0.3249
19 / 0.3256 / 0.9455 / 0.3443
20 / 0.3420 / 0.9397 / 0.3640

21 / 0.3584 / 0.9336 / 0.3839
22 / 0.3746 / 0.9272 / 0.4040
23 / 0.3907 / 0.9205 / 0.4245
24 / 0.4067 / 0.9135 / 0.4452
25 / 0.4226 / 0.9063 / 0.4663
26 / 0.4384 / 0.8988 / 0.4877
27 / 0.4540 / 0.8910 / 0.5095
28 / 0.4695 / 0.8829 / 0.5317
29 / 0.4848 / 0.8746 / 0.5543
30 / 0.5000 / 0.8660 / 0.5774

31 / 0.5150 / 0.8572 / 0.6009
32 / 0.5299 / 0.8480 / 0.6249
33 / 0.5446 / 0.8387 / 0.6494
34 / 0.5592 / 0.8290 / 0.6745
35 / 0.5736 / 0.8192 / 0.7002
36 / 0.5878 / 0.8090 / 0.7265
37 / 0.6018 / 0.7986 / 0.7536
38 / 0.6157 / 0.7880 / 0.7813
39 / 0.6293 / 0.7771 / 0.8098
40 / 0.6428 / 0.7660 / 0.8391

41 / 0.6561 / 0.7547 / 0.8693
42 / 0.6691 / 0.7431 / 0.9004
43 / 0.6820 / 0.7314 / 0.9325
44 / 0.6947 / 0.7193 / 0.9657
45 / 0.7071 / 0.7071 / 1.0000
46 / 0.7193 / 0.6947 / 1.0355
47 / 0.7314 / 0.6820 / 1.0724
48 / 0.7431 / 0.6691 / 1.1106
49 / 0.7547 / 0.6561 / 1.1504
50 / 0.7660 / 0.6428 / 1.1918

51 / 0.7771 / 0.6293 / 1.2349
52 / 0.7880 / 0.6157 / 1.2799
53 / 0.7986 / 0.6018 / 1.3270
54 / 0.8090 / 0.5878 / 1.3764
55 / 0.8192 / 0.5736 / 1.4281
56 / 0.8290 / 0.5592 / 1.4826
57 / 0.8387 / 0.5446 / 1.5399
58 / 0.8480 / 0.5299 / 1.6003
59 / 0.8572 / 0.5150 / 1.6643
60 / 0.8660 / 0.5000 / 1.7321

61 / 0.8746 / 0.4848 / 1.8040
62 / 0.8829 / 0.4695 / 1.8807
63 / 0.8910 / 0.4540 / 1.9626
64 / 0.8988 / 0.4384 / 2.0503
65 / 0.9063 / 0.4226 / 2.1445
66 / 0.9135 / 0.4067 / 2.2460
67 / 0.9205 / 0.3907 / 2.3559
68 / 0.9272 / 0.3746 / 2.4751
69 / 0.9336 / 0.3584 / 2.6051
70 / 0.9397 / 0.3420 / 2.7475

71 / 0.9455 / 0.3256 / 2.9042
72 / 0.9511 / 0.3090 / 3.0777
73 / 0.9563 / 0.2924 / 3.2709
74 / 0.9613 / 0.2756 / 3.4874
75 / 0.9659 / 0.2588 / 3.7321
76 / 0.9703 / 0.2419 / 4.0108
77 / 0.9744 / 0.2250 / 4.3315
78 / 0.9781 / 0.2079 / 4.7046
79 / 0.9816 / 0.1908 / 5.1446
80 / 0.9848 / 0.1736 / 5.6713

81 / 0.9877 / 0.1564 / 6.3138
82 / 0.9903 / 0.1392 / 7.1154
83 / 0.9925 / 0.1219 / 8.1443
84 / 0.9945 / 0.1045 / 9.5144
85 / 0.9962 / 0.0872 / 11.4301
86 / 0.9976 / 0.0698 / 14.3007
87 / 0.9986 / 0.0523 / 19.0811
88 / 0.9994 / 0.0349 / 28.6363
89 / 0.9998 / 0.0175 / 57.2900
90 / 1.0000 / 0.0000 / −

三角比(数学1)まとめ三角関数(数学2)まとめ
えまじゅくブログインデックス記事


↓三角方程式などの三角関数の問題の解き方がマスターできるテキストです↓

10秒でわかる高校数学2B「三角関数」の考え方

「久しぶりの三角関数、分かりやすく直感で問題の解く方向が分かり楽しかった」などのコメントいただいています。ありがとうございます!
ラベル:数学
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2024年01月20日

高校数学「三角比」a=√7,b=4,c=3の△ABCの面積

高校数学「三角比」a=√7,b=4,c=3の△ABCの面積

◆問題

a=√7,b=4,c=3の△ABCの面積を求めよ。


↓解答解説はお知らせの下に↓

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◆解答解説

高校数学「三角比」a=√7,b=4,c=3の△ABCの面積

三角形の面積は、S=(1/2)bc・sinAで求めることができます。
このb,c,Aはかならずこの組合せでなければいけないわけではなく、「2辺とそのはさむ角」ならOKです。

今回の問題では、サインの値や角度がひとつもわかっていないので、

まずは余弦定理でコサインを求める
→コサインからサインを求める
→面積の公式に代入する

このような流れでやっていきます。

A,B,Cのどれでもいいのですが、先ほど書いた公式に合わせて、cosAを求めるところからやっていきます。

2=b2+c2−2bc・cosAに、a=√7,b=4,c=3を代入して、

(√7)2=42+c2−2×4×3×cosA

あとはcosAについて解いていきます。

     7=16+9−24cosA
24cosA=25−7
24cosA=18
  cosA=18/24=3/4

コサインがわかれば、相互関係を使ってサインを求めることができます。

sin2A+cos2A=1にcosA=3/4を代入して、

sin2A+(3/4)2=1
sin2A+9/16=1
     sin2A=1−9/16
     sin2A=7/16
           sinA=√7/4

サインがわかったので、面積の公式に代入していきます。

S=(1/2)bc・sinAに、b=4,c=3,sinA=√7/4を代入して、

S=(1/2)×4×3×√7/4
 =3√7/2


◆関連項目
∠A=60°,b=4,c=6の三角形ABCの面積
三角比まとめ

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ラベル:数学
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2024年01月18日

高校数学「三角比」A=60°,c=3√2,外接円の半径R=3のとき、残りの辺と角

高校数学「三角比」A=60°,c=3√2,外接円の半径R=3のとき、残りの辺と角

◆問題

△ABCにおいて、A=60°,c=3√2,外接円の半径R=3のとき、残りの辺と角を求めよ。


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◆解答解説

数学1Aの三角比のノーマルな問題です。
いくつか角や辺が与えられて、残りの値を求めるときは、正弦定理や余弦定理を使います。

今回の問題では、外接円の半径がわかっているので、まずは正弦定理を使いましょう!

a/sinA=2Rに、A=60°,R=3を代入して、

a/sin60°=2×3
 a/(√3/2)=6
      a=6×√3/2=3√3

c/sinC=2Rに、c=3√2,R=3を代入して、

(3√2)/sinC=6
     3√2=6sinC
    sinC=(3√2)/6=√2/2

よって、C=45°

A+B+C=180°だから、B=180°−60°−45°=75°

これで3つの角が全てわかりました。
辺もa,cの2つがわかっています。

75°のサインの値は(数1の範囲では)出すことが難しいので、aかcで余弦定理を使って、残りのbを出していきましょう!
例えば、cosAを使えば、

2=b2+c2−2bc・cosA
(3√3)2=b2+(3√2)2−2b・3√2・cos60°
27=b2+18−2b・3√2・1/2

これでbについての2次方程式ができました。
あとは普通に解いていきます。
まずは移項して、

2−3√2・b−9=0

因数分解はできなそうなので、解の公式で解きます。

b=[−(−3√2)±√{(−3√2)2−4×1×(−9)}]/2×1
 ={3√2±√(18+36)}/2
 =(3√2±√54)/2
 =(3√2±3√6)/2

b>0だから、b=(3√2+3√6)/2=3(√2+√6)/2

よって、a=3√3,b=3(√2+√6)/2,B=75°,C=45°


◆関連項目
b=15,c=15√3,A=30°の△ABCの残りの辺の長さと角の大きさ
三角比まとめ

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2024年01月14日

高校数学「三角比」b=15,c=15√3,A=30°の△ABCの残りの辺の長さと角の大きさ

高校数学「三角比」b=15,c=15√3,A=30°の△ABCの残りの辺の長さと角の大きさ

◆問題

△ABCにおいて、b=15,c=15√3,A=30°のとき、残りの辺の長さと角の大きさを求めよ。


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◆解答解説

数学1Aの三角比のノーマルな問題です。
いくつか角や辺が与えられて、残りの値を求めるときは、正弦定理や余弦定理を使います。
この場合は、「2辺とそのはさむ角」がわかっているので、まずは余弦定理を使ってみましょう!

2=b2+c2−2bc・cosAに、b=15,c=15√3,A=30°を代入して、

2=152+(15√3)2−2×15×15√3・cos30°
 =225+225×3−2×225√3×√3/2
 =225×4−225×3 ←2で約分して、√32=3
 =225

よって、a=15

1組の角と対辺がわかったので、次は正弦定理を使ってみます。

  a/sinA=b/sinB
15/sin30°=15/sinB
    sinB=sin30°
よって、B=30°

さらにCも正弦定理で・・・とやっても構いませんが、△ABCなので、A+B+C=180°だから、

C=180°−30°−30°
 =120°

というわけで、まとめると、

a=15,B=30°,C=120°


◆関連項目
∠A=60°,b=4,c=6の三角形ABCの面積
三角比まとめ

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2024年01月10日

高校数学「図形と方程式」円周上の点Pにおける接線

高校数学「図形と方程式」円周上の点Pにおける接線

◆問題

2+y2=5の円周上の点P(1,−2)における接線の方程式を求めよ。


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◆解答解説

2+y2=5の円周上の点P(1,−2)における接線の方程式を求めよ。

原点を中心とする円x2+y2=r2の周上の点(a,b)における接線の方程式は、

★ ax+by=r2

で求めることができます。

今回の問題では、r2=5,(a,b)=(1,−2)だから、求める接線の方程式は、

1x−2y=5
 x−2y=5


◆関連項目
円の方程式円の外部から引いた接線の方程式
図形と方程式まとめ


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2024年01月09日

高校数学「図形と方程式」kの値にかかわらず通る定点の座標

高校数学「図形と方程式」kの値にかかわらず通る定点の座標

◆問題
kを定数とする。直線(1+k)x−(1−3k)y=−5k−1は、kの値にかかわらず定点を通る。その定点の座標を求めよ。


↓解答解説はお知らせの下に↓

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◆解答解説

「定点を通る」などの条件の場合、kを含む項と含まない項に分けて、恒等式の考え方を用います。

まずはカッコを外してイコールゼロにします。

(1+k)x−(1−3k)y=−5k−1
 x+kx−y+3ky=−5k−1

移項して、

kx+3ky+5k+x−y+1=0

kでくくると、

k(x+3y+5)+(x−y+1)=0

与式はこのように変形できます。
kの値にかかわらず式が成り立つということは、カッコの中身がそれぞれゼロですね。
つまり、

x+3y+5=0,x−y+1=0

これらを同時に満たすx,yの値が、求める定点の座標です。

  x+3y+5=0
−)x− y+1=0
――――――――――
    4y+4=0
      4y=−4
       y=−1

x−(−1)+1=0
   x+2=0
     x=−2

よって、求める定点の座標は(−2,−1)


◆関連項目
図形と方程式まとめ


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2024年01月04日

高校数学「複素数と方程式」2次方程式の2つの解の比が3:4であるとき

高校数学「複素数と方程式」2次方程式の2つの解の比が3:4であるとき

◆問題

2次方程式x2−mx+12=0の2つの解の比が3:4であるとき、定数mの値と2つの解を求めよ。


解答解説はお知らせの下


★★ お知らせ ★★

AE個別学習室(えまじゅく)水戸教室では、学校の授業の補習、定期テスト対策、大学入試共通テスト、私立大学入試、国公立2次試験などの対策授業も行っています。
マンツーマンの授業なので「ゼロからのスタートの人は中学の復習から」「基本ができている人は応用問題の解き方中心に」など、ひとりひとりの状況に合わせて授業を行います。
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◆解答解説

解の比が3:4だから、2つの解を例えば、3a,4aと表すことができます。

解と係数の関係より、α+β=−b/a,αβ=c/aだから、

3a+4a=−(−m)/1=m
3a×4a=12/1=12

あとはこれらを簡単にして、連立方程式を解きます。

7a=m

12a2=12より、a2=1
これを解くとa=±1

a=1のとき、2つの解はx=3,4でm=7となります。
このとき2次方程式は、x2−7x+12

a=−1のとき、2つの解はx=−3,−4でm=−7となります。
このとき2次方程式は、x2+7x*12


◆関連項目
方程式(数学2)まとめ


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2023年12月31日

高校数学「複素数と方程式」(1+i)x2−(1+2i)x−2=0を満たすxの値

高校数学「複素数と方程式」(1+i)x2−(1+2i)x−2=0を満たすxの値

◆問題

次の等式を満たす実数xの値を求めよ。

(1) x2−2ix+3(2i−3)=0

(2) (1+i)x2−(1+2i)x−2=0


この記事では(2)を解説します。
解答解説はお知らせの下


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◆解答解説

こういった式の場合、実部と虚部に分けて両辺の比較をします。
つまり、iを含まない部分と含む部分に分けます。
(1)と同様にやっていきましょう!

(2) (1+i)x2−(1+2i)x−2=0
2+x2i−x−2xi−2=0
2−x−2+(x2−2x)i=0
(x+1)(x−2)+x(x−2)i=0
よって、(x+1)(x−2)=0,x(x−2)=0

(x+1)(x−2)=0よりx=−1,2
x(x−2)=0よりx=0,2

これらに共通する解が求めるxの値だから、

x=2


(1)に戻る→2−2ix+3(2i−3)=0


◆関連項目
高次方程式まとめ


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2023年12月30日

高校数学「複素数と方程式」x^2−2ix+3(2i−3)=0を満たすxの値

高校数学「複素数と方程式」x2−2ix+3(2i−3)=0を満たすxの値

◆問題

次の等式を満たす実数xの値を求めよ。

(1) x2−2ix+3(2i−3)=0


解答解説はお知らせの下


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◆解答解説

こういった式の場合、実部と虚部に分けて両辺の比較をします。
つまり、iを含まない部分と含む部分に分けます。

(1) x2−2ix+3(2i−3)=0
2−2ix+6i−9=0
2−9+(−2x+6)i=0

この両辺はもちろん等しいので、実部と虚部それぞれがゼロになります。
すなわち

2−9=0,−2x+6=0

このような式を作ることができます。
それぞれ解くと、

(x+3)(x−3)=0よって、x=±3
−2x+6=0より、x=3

これらを共に満たすxの値が求める解です。
つまり、

x=3


次の問題→(2) (1+i)x2−(1+2i)x−2=0


◆関連項目
高次方程式まとめ


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2023年12月29日

高校数学「高次方程式」1の3乗根を使った式の値

高校数学「高次方程式」1の3乗根を使った式の値

◆問題

1の3乗根のうち虚数のものの1つをωとするとき、次の値を求めよ。

(1) ω2+ω+1

(2) ω6+ω3+1

(3) ω8+ω4


解答解説はお知らせの下


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◆解答解説

ωはつまり、x3=1の解のうちの1つです。
普通に解いてみると、

3−1=0
(x−1)(x2+x+1)=0
よって、x−1=0,x2+x+1=0です。

このうちx2+x+1=0の解の1つがωです。
2次方程式なので、普通に解の公式で解くと、

x={−1±√(12−4×1×1)}/(2×1)
 =(−1±√3i)/2

例えばω=(−1+√3i)/2とすると、ω2=(−1−√3i)/2となります。
だから、ω2+ω=(−1−√3i)/2+(−1+√3i)/2=−1です。

そして、ωは1の3乗根でもあるので、ω3=1です。

これらを利用して、それぞれの式の値を求めていきます。

(1) ω2+ω+1
=−1+1=0

(2) ω6+ω3+1
=1+1+1=3

(3) ω8+ω4
=ω2+ω
=−1


◆関連項目
高次方程式まとめ


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2023年12月28日

高校数学「積分」基本的な定積分の計算A

高校数学「積分」基本的な定積分の計算A

■ 問題

次の定積分を求めよ。

(3) ∫[0〜1](x2−2x)dx+∫[1〜3](x2−2x)dx

(4) ∫[-2〜4](x2+2x)dx+∫[-2〜4](2x2−x)dx


解答解説はこのページ下です。





■ 解答解説

複数の定積分を含む式の場合、基本的には、「それぞれ計算して最後に合計」で問題ありません。
がしかし、積分は計算が面倒になることが多いので、積分の計算法則を利用して、できるだけ簡単に書き直してから計算した方がよいです。

(3) ∫[0〜1](x2−2x)dx+∫[1〜3](x2−2x)dx

この場合、積分する式が同じで、区間が連続しているので、1つの積分にまとめることができます。
0から1と1から3だから、0から3にまとめることができる。というわけですね。

=∫[0〜3](x2−2x)dx

あとは普通に計算します。

=[(1/3)x3−x2][0〜3]
=(1/3)・33−32−0
=9−9
=0


(4) ∫[-2〜4](x2+2x)dx+∫[-2〜4](2x2−x)dx

この場合は、積分の区間が全く同じです。
そんなときは、まず最初に式のみをまとめることができます。

=∫[-2〜4](x2+2x+2x2−x)dx
=∫[-2〜4](3x2+x)dx

これで1つの定積分にまとめることができました。
あとは普通に計算します。

=[x3+(1/2)x2][-2〜4]
=43+(1/2)・42−{(−2)3+(1/2)・(−2)2}
=64+8−(−8+2)
=72+6
=78


◆関連項目
基本的な定積分の計算@
微分積分(数学2)まとめ

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2023年12月21日

高校数学「数列」一般項が等比数列の和の数列

高校数学「数列」一般項が等比数列の和の数列

■ 問題

次の数列の第k項ak、初項から第n項までの和Snを求めよ。

1,1+2,1+2+22,1+2+22+23,……


解答解説はこのページ下に。


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■ 解答解説

数列を確認すると、それぞれの項が数列の和になっています。

例えば第3項は、1+2+22ですね。
これは、初項1,公比2の等比数列の第3項までの和とみることができます。

ならば第k項は、初項1,公比2の第k項までの和ですね。
つまり、

k=1(2k−1)/(2−1)
 =2k−1

そして、この数列の第n項までの和は、これを一般項とする数列の和です。
つまり、

  n
n=Σ(2k−1)
  k=1

この式が表すのは、第k項が2kで表される数列と、一般項が−1の数列の和です。
kの数列はつまり、初項が2,公比が2の数列だから、

n=2(2n−1)/(2−1)+(−1)n
 =2・2n−2−n
 =2n+1−n−2





◆関連項目
Σの基本的な計算@
Σの公式等比数列
数列まとめ


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2023年12月19日

高校数学「数列」約数の和

高校数学「数列」約数の和

■ 問題

7の正の約数全ての和を求めよ。


解答解説はこのページ下に。


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■ 解答解説

7の約数は、

1,3,32,33,34,35,36,37

ですね。
これらの和を求める問題です。

これらの数を数列とみなせば、初項1,公比3の等比数列と見ることができますね。
項数は8だから、求める和は、等比数列の和の公式に代入して、

S8=1(38−1)/(3−1)
 =(6561−1)/2
 =6560/2
 =3280

よって、37の正の約数の和は3280





◆関連項目
Σの基本的な計算@
Σの公式等比数列
数列まとめ


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2023年12月18日

高校数学「数列」24,a,b,……が等差数列であり…

高校数学「数列」24,a,b,……が等差数列であり…

■ 問題

24,a,b,……が等差数列であり、a,b,8,……が等比数列であるとき、a,bの値を求めよ。


解答解説はこのページ下


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■ 解答解説

等差数列と等比数列の複合的な問題です。
等差数列はある項と次の項の差が一定であり、等比数列はある項と次の項の比が一定である。ことを利用して式を立てます。

24,a,bが等差数列ということは、2a=24+bという式が成り立ちます。

そして、a,b,8が等比数列ということは、b2=8aが成り立ちます。

これでa,bについての式が2つできたので、これらを連立して解けばOK!ですね!

2a=24+bより、b=2a−24
これをb2=8aに代入して、

(2a−24)2=8a

まずは両辺を4で割ると、

(a−12)2=2a
2−24a+144=2a
2−26a+144=0
(a−8)(a−18)=0
よって、a=8,18

あとはそれぞれの場合のbの値を求めます。

a=8のとき、b=−8
a=18のとき、b=12





◆関連項目
Σの公式等差数列
数列まとめ


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2023年12月16日

高校数学「数列」Σの基本的な計算A

高校数学「数列」Σの基本的な計算A

■ 問題

次の和を求めよ。
  n
B Σ(k3−k)
  k=1

  n
C Σ2・3k-1
  k=1


解答解説はこのページ下に。
「そもそもΣの公式がわからないよ!」という人は、まずはこちらをご覧ください


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■ 解答解説

Σの公式を使った基本的な問題です。
それぞれ公式を使って書き直すだけですが、解答は普通は因数分解した形で答えます。
そのために、共通因数でくくることを優先して変形していきます。

  n
B Σ(k3−k)
  k=1
={(n/2)(n+1)}2−(n/2)(n+1)
=(n/2)(n+1){(n/2)(n+1)−1}
=(n/4)(n+1){n(n+1)−2}
=(n/4)(n+1)(n2+n−2)
=(n/4)(n+1)(n+2)(n−1)

  n
C Σ2・3k-1
  k=1
これは等比数列なので、普通に等比数列の和の公式を使います。
初項2,公比3なので、

=2(3n−1)/(3−1)
=2(3n−1)/2
=3n−1





◆関連項目
Σの基本的な計算@
Σの公式等比数列
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2023年12月14日

高校数学「数列」Σの基本的な計算@

高校数学「数列」Σの基本的な計算@

■ 問題

次の和を求めよ。
  n
@ Σ(2k+3)
  k=1

  n
A Σ(k2+k)
  k=1


解答解説はこのページ下に。
「そもそもΣの公式がわからないよ!」という人は、まずはこちらをご覧ください


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■ 解答解説

Σの公式を使った基本的な問題です。
それぞれ公式を使って書き直すだけですが、解答は普通は因数分解した形で答えます。
そのために、共通因数でくくることを優先して変形していきます。

  n
@ Σ(2k+3)
  k=1
=2・(n/2)(n+1)+3n
=n(n+1)+3n
=n2+n+3n
=n2+4n
=n(n+4)

  n
A Σ(k2+k)
  k=1
=(1/6)n(n+1)(2n+1)+(1/2)n(n+1)

この場合も、いったん展開してまとめても構わないのですが、3次式になってしまうので、この時点で共通因数でくくる方が良いです。
(1/6)n(n+1)でくくります。

=(1/6)n(n+1){(2n+1)+3}
=(1/6)n(n+1)(2n+4)
=(1/6)n(n+1)・2(n+2)
=(1/3)n(n+1)(n+2)





◆関連項目
Σの公式等差数列
数列まとめ


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2023年12月13日

高校数学「積分」放物線y=2x2+3xと直線y=x+1で囲まれた図形の面積A

高校数学「積分」放物線y=2x2+3xと直線y=x+1で囲まれた図形の面積A

■ 問題

放物線y=2x2+3xと直線y=x+1で囲まれた図形の面積を求めよ。


解答解説はこのページ下です。





■ 解答解説

以前の記事で、普通に定積分を計算した場合の解き方を掲載しました。
この記事では、簡単な公式を使った場合を解説します。
放物線と直線で囲まれた図形の面積は、

S=(a/6)(β−α)3

で求めることができます。
aは2次関数y=ax2+bx+cのaで、α,βは放物線と直線の交点のx座標で、α<βです。

交点は連立方程式なので、解いてみると、

2x2+3x=x+1
2x2+2x−1=0

x=[−2±√{22−4×2×(−1)}]/(2×2)
 ={−2±√(4+8)}/4
 =(−2±√12)/4
 =(−2±2√3)/4
 =(−1±√3)/2

よって、α=(−1−√3)/2,β=(−1+√3)/2となります。

先ほどの公式に、a=2,α=(−1−√3)/2,β=(−1+√3)/2を代入すると、

S=(2/6){(−1+√3)/2−(−1−√3)/2}3
 =(1/3){(−1+√3)/2+(1+√3)/2}3
 =(1/3)・√33
 =(1/3)・3√3
 =√3

というわけで、普通に定積分を計算した場合よりも、かなり簡単に計算することができました。


◆関連項目
y=x2+x−4とy=3x−1で囲まれた図形の面積
微分積分(数学2)まとめ

江間淳の書籍はこちら
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2023年12月12日

高校数学「数列」等差数列の和が63になるとき

高校数学「数列」等差数列の和が63になるとき

■ 問題

初項3,公差2の等差数列において、和が63になるときの項数を求めよ。


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■ 解答解説

和について考えるので、まずは等差数列の和の公式を使います。

Sn=(n/2){2a+(n−1)d}

これに、a=3,d=2を代入すると、

Sn=(n/2){2×3+(n−1)×2}
 =(n/2)(6+2n−2)
 =(n/2)(2n+4)
 =n2+2n

和が63になる場合を考えるので、これがイコール63となります。

2+2n=63
2+2n−63=0
(n+9)(n−7)=0
よって、n=−9,7

n>0だから、n=7

つまり、第7項までの和が63となることがわかりました。





◆関連項目
等差数列
数列まとめ


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2023年12月10日

高校数学「数列」初項が70,公差が−4の等差数列の和が最大になるとき

高校数学「数列」初項が70,公差が−4の等差数列の和が最大になるとき

■ 問題

初項が70,公差が−4の等差数列がある。初項から第何項までの和が最大になるか求めよ。


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適切な時期に適切な対策をすれば、どんな目標でも達成可能です。志望校を諦める前に、まずは一度ご相談ください。


■ 解答解説

和について考えるので、まずは等差数列の和の公式を使います。

Sn=(n/2){2a+(n−1)d}

これに、a=70,d=−4を代入すると、

Sn=(n/2){2×70+(n−1)(−4)}
 =(n/2)(140−4n+4)
 =(n/2)(144−4n)
 =72n−2n2

第n項までの和は表すことができました。
あとはコレの最大値を考えます。

nについての2次式なので、2次関数の最大のやり方と同様のことを考えます。
つまり、平方完成して頂点を求める。ということですね!

Sn=−2n2+72n
 =−2(n2−36n)
 =−2{(n−18)2−182}
 =−2(n−18)2−2×(−324)
 =−2(n−18)2+648

というわけで、Snは、n=18のとき最大値648となります。

今回の問題では、最大になるときの項数のみを聞いているので、解答は「第18項」です。





◆関連項目
等差数列
数列まとめ


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2023年12月06日

高校数学「積分」放物線y=2x^2+3xと直線y=x+1で囲まれた図形の面積

高校数学「積分」放物線y=2x2+3xと直線y=x+1で囲まれた図形の面積

■ 問題

放物線y=2x2+3xと直線y=x+1で囲まれた図形の面積を求めよ。


解答解説はこのページ下です。





■ 解答解説

放物線と直線の間の図形の面積を考えます。

この放物線は下に凸なので、放物線が下、直線が上となります。
つまり面積は、「直線−放物線で定積分」で求めることができます。

積分の区間を求めるために、まずはこれら2つの関数の共有点を求めましょう。
関数の交点なら連立方程式ですね。

2x2+3x=x+1
2x2+2x−1=0

x=[−2±√{22−4×2×(−1)}]/(2×2)
 ={−2±√(4+8)}/4
 =(−2±√12)/4
 =(−2±2√3)/4
 =(−1±√3)/2

つまり、(−1−√3)/2から(−1+√3)/2の区間で定積分をすればOKです。
ただし、そのまま計算すると大変なので、とりあえずこれらの値をα,βとして、式を整理してから計算してみます。

S=∫[α〜β]{x+1−2x2−3x}dx
 =∫[α〜β]{−2x2−2x+1}dx
 =[−(2/3)x3−x2+x][α〜β]
 =−(2/3)β3−β2+β−{−(2/3)α3−α2+α}
 =−(2/3)(β3−α3)−(β2−α2)+(β−α)}

ここで、β−αなどを計算しておきます。

β−α=(−1+√3)/2−(−1−√3)/2=√3
β+α=(−1+√3)/2+(−1−√3)/2=−1
βα={(−1+√3)/2}×{(−1−√3)/2}=(1−3)/4=−1/2
β2−α2=(β+α)(β−α)=−√3
β2+α2=(β+α)2−2βα=1+1=2
β3−α3=(β−α)(β2+βα+α2)=√3(2−1/2)=3√3/2

これらをそれぞれ代入すると、

 =−(2/3)×3√3/2−(−√3)+√3
 =−√3+2√3
 =√3

正直にやったので計算が大変でしたが、このように放物線と直線の間の面積は、もっと簡単に出せる公式があります。
それについてはこちらの記事をご覧ください。


◆関連項目
y=x2+x−4とy=3x−1で囲まれた図形の面積
微分積分(数学2)まとめ

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