■問題
０でない複素数ｚ＝ｒ(ｃｏｓθ＋ｉｓｉｎθ)に、α＝√２＋√２ｉを掛けた点αｚはどのような点か？
つまり、αｚを計算して、複素数の積の図形的意味を説明します。
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■解説
複素数の積の図形的意味については、一般に以下のことが言えます。
| α＝ｒ0(ｃｏｓθ0＋ｉｓｉｎθ0)とするとき、 αｚ＝ｒ0(ｃｏｓθ0＋ｉｓｉｎθ0)ｚの表す点αｚは、点ｚを原点のまわりにθ0だけ回転し、さらに、原点からの距離をｒ0倍した点である。 |
要するに、積の極形式を計算して、もとの複素数との変化を見ればいいよ！ってことです。
αｚを計算してみましょう！
そのためにまずはαを極形式に直します。
α＝√２＋√２ｉだから、ｒ＝√(√２2＋√２2)＝√４＝２なので、
α＝２{√２／２＋(√２／２)ｉ}＝２{ｃｏｓ(π／４)＋ｉｓｉｎ(π／４)}
積の極形式より、
αｚ＝２ｒ{ｃｏｓ(θ＋π／４)＋ｉｓｉｎ(θ＋π／４)}
αｚの式はこのようになります。
つまりｚをどのように移動したか？というと、「原点からの距離を２倍してπ／４だけ回転した」と言えます！
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ラベル：数学
