高校数学「確率統計」硬貨を５００回投げて、表の回数が２２０回以上２７０回以下の確率

高校数学「確率統計」硬貨を５００回投げて、表の回数が２２０回以上２７０回以下の確率

◆問題

１枚の硬貨を５００回投げて、そのうち表の出る回数が２２０回以上２７０回以下である確率を求めよ。


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◆解答解説

硬貨を投げて表が出る場合を考えるのだから、確率は１／２です。
試行回数が５００回と多いので、正規分布を使って計算することを目指します。
それには平均と標準偏差が必要ですね。ということで、まずはこれらを求めます。

平均Ｅ(Ｘ)＝５００×１／２＝２５０＝ｍ
分散Ｖ(Ｘ)＝５００×(１／２)×(１−１／２)＝１２５
標準偏差σ(Ｘ)＝√１２５＝５√５

ですね。

Ｚ＝(Ｘ−ｍ)／σだから、Ｚ＝(Ｘ−２５０)／５√５となります。

２２０回以上２７０回以下の確率を求めたいので、

　Ｐ(２２０≦Ｘ≦２７０)
＝Ｐ((２２０−２５０)／５√５≦Ｚ≦(２７０−２５０)／５√５)
＝Ｐ(−３０／５√５≦Ｚ≦２０／５√５)
＝Ｐ(−６√５／５≦Ｚ≦４√５／５)
＝Ｐ(０≦Ｚ≦６√５／５)＋Ｐ(０≦Ｚ≦４√５／５)

√５≒２．２３６とすると、６√５／５＝２．６８３２，４√５／５＝１．７８８８です。

正規分布表の値を読み取ると、

＝０．４９６３＋０．４６３３
＝０．９５９６


正規分布表はこちら
平方根の表はこちら


◆確率統計まとめ


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高校数学「確率統計」平均２０９、標準偏差３のとき

高校数学「確率統計」平均２０９、標準偏差３のとき

◆問題

ある工場で生産されるチョコレートの平均重量は２０９ｇ、標準偏差３ｇの正規分布に従うという。
この工場で生産されるチョコレートのうち、重量が２００ｇ未満のものが生産される確率を求めよ。


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◆解答解説

「工場」とか「チョコレート」とか言ってますが、要するに、平均２０９，標準偏差３の正規分布ですね。
つまり、ｍ＝２０９，σ＝３です。だから、

Ｚ＝(Ｘ−２０９)／３とすると、このチョコレートの重量は標準正規分布Ｎ(０，１)に従うと考えられます。

２００ｇ以下の確率を求めたいので、Ｐ(Ｘ≦２００)を計算します。

　Ｐ(Ｘ≦２００)
＝Ｐ(Ｚ≦(２００−２０９)／３)
＝Ｐ(Ｚ≦−９／３)
＝Ｐ(Ｚ≦−３)
＝Ｐ(Ｚ≧３)
＝Ｐ(Ｚ≧０)−Ｐ(０≦Ｚ≦３)
＝０．５−０．４９８６５
＝０．００１３５


正規分布表はこちら


◆確率統計まとめ


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高校数学「確率統計」正規分布Ｎ(６０，１０2)に従うとき

高校数学「確率統計」正規分布Ｎ(６０，１０²)に従うとき

◆問題

確率変数Ｘが正規分布Ｎ(６０，１０²)に従うとき、Ｐ(Ｘ≧８０)を求めよ。


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◆解答解説

確率変数Ｘが正規分布(ｍ，σ²)に従うとき、Ｘに関する確率はＸを標準化して標準正規分布Ｎ(０，１)における確率に直して求めることができます。

Ｚ＝(Ｘ−ｍ)／σ

とすると、ＺはＮ(０，１)に従うことが知られていて、このＺを、Ｘを標準化した確率変数といいます。

今回の問題では、ｍ＝６０，σ＝１０だから、Ｚ＝(Ｘ−６０)／１０となります。これを用いてＰ(Ｘ≧８０)を書き換えてみます。

　Ｐ(Ｘ≧８０)
＝Ｐ(Ｚ≧(８０−６０)／１０)
＝Ｐ(Ｚ≧２)
＝Ｐ(Ｚ≧０)−Ｐ(０≦Ｚ≦２)

あとは、正規分布表を使って値を調べると、

＝０．５−０．４７７２５
＝０．０２２７５


正規分布表はこちら


◆確率統計まとめ


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高校数学「常用対数表」

高校数学「常用対数表」

教科書の巻末などにも載っている常用対数の表です。
もちろん全部覚える必要はありません。

	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
1.0	.0000	.0043	.0086	.0128	.0170	.0212	.0253	.0294	.0334	.0374
1.1	.0414	.0453	.0492	.0531	.0569	.0607	.0645	.0682	.0719	.0755
1.2	.0792	.0828	.0864	.0899	.0934	.0969	.1004	.1038	.1072	.1106
1.3	.1139	.1173	.1206	.1239	.1271	.1303	.1335	.1367	.1399	.1430
1.4	.1461	.1492	.1523	.1553	.1584	.1614	.1644	.1673	.1703	.1732
1.5	.1761	.1790	.1818	.1847	.1875	.1903	.1931	.1959	.1987	.2014
1.6	.2041	.2068	.2095	.2122	.2148	.2175	.2201	.2227	.2253	.2279
1.7	.2304	.2330	.2355	.2380	.2405	.2430	.2455	.2480	.2504	.2529
1.8	.2553	.2577	.2601	.2625	.2648	.2672	.2695	.2718	.2742	.2765
1.9	.2788	.2810	.2833	.2856	.2878	.2900	.2923	.2945	.2967	.2989
2.0	.3010	.3032	.3054	.3075	.3096	.3118	.3139	.3160	.3181	.3201
2.1	.3222	.3243	.3263	.3284	.3304	.3324	.3345	.3365	.3385	.3404
2.2	.3424	.3444	.3464	.3483	.3502	.3522	.3541	.3560	.3579	.3598
2.3	.3617	.3636	.3655	.3674	.3692	.3711	.3729	.3747	.3766	.3784
2.4	.3802	.3820	.3838	.3856	.3874	.3892	.3909	.3927	.3945	.3962
2.5	.3979	.3997	.4014	.4031	.4048	.4065	.4082	.4099	.4116	.4133
2.6	.4150	.4166	.4183	.4200	.4216	.4232	.4249	.4265	.4281	.4298
2.7	.4314	.4330	.4346	.4362	.4378	.4393	.4409	.4425	.4440	.4456
2.8	.4472	.4487	.4502	.4518	.4533	.4548	.4564	.4579	.4594	.4609
2.9	.4624	.4639	.4654	.4669	.4683	.4698	.4713	.4728	.4742	.4757
3.0	.4771	.4786	.4800	.4814	.4829	.4843	.4857	.4871	.4886	.4900
3.1	.4914	.4928	.4942	.4955	.4969	.4983	.4997	.5011	.5024	.5038
3.2	.5051	.5065	.5079	.5092	.5105	.5119	.5132	.5145	.5159	.5172
3.3	.5185	.5198	.5211	.5224	.5237	.5250	.5263	.5276	.5289	.5302
3.4	.5315	.5328	.5340	.5353	.5366	.5378	.5391	.5403	.5416	.5428
3.5	.5441	.5453	.5465	.5478	.5490	.5502	.5514	.5527	.5539	.5551
3.6	.5563	.5575	.5587	.5599	.5611	.5623	.5635	.5647	.5658	.5670
3.7	.5682	.5694	.5705	.5717	.5729	.5740	.5752	.5763	.5775	.5786
3.8	.5798	.5809	.5821	.5832	.5843	.5855	.5866	.5877	.5888	.5899
3.9	.5911	.5922	.5933	.5944	.5955	.5966	.5977	.5988	.5999	.6010
4.0	.6021	.6031	.6042	.6053	.6064	.6075	.6085	.6096	.6107	.6117
4.1	.6128	.6138	.6149	.6160	.6170	.6180	.6191	.6201	.6212	.6222
4.2	.6232	.6243	.6253	.6263	.6274	.6284	.6294	.6304	.6314	.6325
4.3	.6335	.6345	.6355	.6365	.6375	.6385	.6395	.6405	.6415	.6425
4.4	.6435	.6444	.6454	.6464	.6474	.6484	.6493	.6503	.6513	.6522
4.5	.6532	.6542	.6551	.6561	.6571	.6580	.6590	.6599	.6609	.6618
4.6	.6628	.6637	.6646	.6656	.6665	.6675	.6684	.6693	.6702	.6712
4.7	.6721	.6730	.6739	.6749	.6758	.6767	.6776	.6785	.6794	.6803
4.8	.6812	.6821	.6830	.6839	.6848	.6857	.6866	.6875	.6884	.6893
4.9	.6902	.6911	.6920	.6928	.6937	.6946	.6955	.6964	.6972	.6981
5.0	.6990	.6998	.7007	.7016	.7024	.7033	.7042	.7050	.7059	.7067
5.1	.7076	.7084	.7093	.7101	.7110	.7118	.7126	.7135	.7143	.7152
5.2	.7160	.7168	.7177	.7185	.7193	.7202	.7210	.7218	.7226	.7235
5.3	.7243	.7251	.7259	.7267	.7275	.7284	.7292	.7300	.7308	.7316
5.4	.7324	.7332	.7340	.7348	.7356	.7364	.7372	.7380	.7388	.7396
	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
5.5	.7404	.7412	.7419	.7427	.7435	.7443	.7451	.7459	.7466	.7474
5.6	.7482	.7490	.7497	.7505	.7513	.7520	.7528	.7536	.7543	.7551
5.7	.7559	.7566	.7574	.7582	.7589	.7597	.7604	.7612	.7619	.7627
5.8	.7634	.7642	.7649	.7657	.7664	.7672	.7679	.7686	.7694	.7701
5.9	.7709	.7716	.7723	.7731	.7738	.7745	.7752	.7760	.7767	.7774
6.0	.7782	.7789	.7796	.7803	.7810	.7818	.7825	.7832	.7839	.7846
6.1	.7853	.7860	.7868	.7875	.7882	.7889	.7896	.7903	.7910	.7917
6.2	.7924	.7931	.7938	.7945	.7952	.7959	.7966	.7973	.7980	.7987
6.3	.7993	.8000	.8007	.8014	.8021	.8028	.8035	.8041	.8048	.8055
6.4	.8062	.8069	.8075	.8082	.8089	.8096	.8102	.8109	.8116	.8122
6.5	.8129	.8136	.8142	.8149	.8156	.8162	.8169	.8176	.8182	.8189
6.6	.8195	.8202	.8209	.8215	.8222	.8228	.8235	.8241	.8248	.8254
6.7	.8261	.8267	.8274	.8280	.8287	.8293	.8299	.8306	.8312	.8319
6.8	.8325	.8331	.8338	.8344	.8351	.8357	.8363	.8370	.8376	.8382
6.9	.8388	.8395	.8401	.8407	.8414	.8420	.8426	.8432	.8439	.8445
7.0	.8451	.8457	.8463	.8470	.8476	.8482	.8488	.8494	.8500	.8506
7.1	.8513	.8519	.8525	.8531	.8537	.8543	.8549	.8555	.8561	.8567
7.2	.8573	.8579	.8585	.8591	.8597	.8603	.8609	.8615	.8621	.8627
7.3	.8633	.8639	.8645	.8651	.8657	.8663	.8669	.8675	.8681	.8686
7.4	.8692	.8698	.8704	.8710	.8716	.8722	.8727	.8733	.8739	.8745
7.5	.8751	.8756	.8762	.8768	.8774	.8779	.8785	.8791	.8797	.8802
7.6	.8808	.8814	.8820	.8825	.8831	.8837	.8842	.8848	.8854	.8859
7.7	.8865	.8871	.8876	.8882	.8887	.8893	.8899	.8904	.8910	.8915
7.8	.8921	.8927	.8932	.8938	.8943	.8949	.8954	.8960	.8965	.8971
7.9	.8976	.8982	.8987	.8993	.8998	.9004	.9009	.9015	.9020	.9025
8.0	.9031	.9036	.9042	.9047	.9053	.9058	.9063	.9069	.9074	.9079
8.1	.9085	.9090	.9096	.9101	.9106	.9112	.9117	.9122	.9128	.9133
8.2	.9138	.9143	.9149	.9154	.9159	.9165	.9170	.9175	.9180	.9186
8.3	.9191	.9196	.9201	.9206	.9212	.9217	.9222	.9227	.9232	.9238
8.4	.9243	.9248	.9253	.9258	.9263	.9269	.9274	.9279	.9284	.9289
8.5	.9294	.9299	.9304	.9309	.9315	.9320	.9325	.9330	.9335	.9340
8.6	.9345	.9350	.9355	.9360	.9365	.9370	.9375	.9380	.9385	.9390
8.7	.9395	.9400	.9405	.9410	.9415	.9420	.9425	.9430	.9435	.9440
8.8	.9445	.9450	.9455	.9460	.9465	.9469	.9474	.9479	.9484	.9489
8.9	.9494	.9499	.9504	.9509	.9513	.9518	.9523	.9528	.9533	.9538
9.0	.9542	.9547	.9552	.9557	.9562	.9566	.9571	.9576	.9581	.9586
9.1	.9590	.9595	.9600	.9605	.9609	.9614	.9619	.9624	.9628	.9633
9.2	.9638	.9643	.9647	.9652	.9657	.9661	.9666	.9671	.9675	.9680
9.3	.9685	.9689	.9694	.9699	.9703	.9708	.9713	.9717	.9722	.9727
9.4	.9731	.9736	.9741	.9745	.9750	.9754	.9759	.9763	.9768	.9773
9.5	.9777	.9782	.9786	.9791	.9795	.9800	.9805	.9809	.9814	.9818
9.6	.9823	.9827	.9832	.9836	.9841	.9845	.9850	.9854	.9859	.9863
9.7	.9868	.9872	.9877	.9881	.9886	.9890	.9894	.9899	.9903	.9908
9.8	.9912	.9917	.9921	.9926	.9930	.9934	.9939	.9943	.9948	.9952
9.9	.9956	.9961	.9965	.9969	.9974	.9978	.9983	.9987	.9991	.9996

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高校数学「確率統計」さいころを５０回なげるときの確率

高校数学「確率統計」さいころを５０回なげるときの確率

◆問題

さいころを５０回投げるとき、１の目の出る回数Ｘが

｜Ｘ／５０−１／６｜≦０．１

の範囲にある確率を求めよ。
ただし、正規分布表を用いるものとする。


↓解答解説はお知らせの下↓


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◆解答解説

Ｘは１の出る回数だから、今回の問題では「サイコロは１が出るかそれ以外か」の２パターンで考えます。
つまり、二項分布と考えられますね。

１の出る確率は１／６，試行回数は５０回だから、二項分布Ｂ(５０，１／６)と考えられます。
ということは、

Ｅ(Ｘ)＝ｎｐ＝５０×１／６＝ｍ
Ｖ(Ｘ)＝ｎｐｑ＝５０×(１／６)×(５／６)
σ(Ｘ)＝√Ｖ(Ｘ)＝√{５０×(１／６)×(５／６)}

ですね。
正規分布表を使うので、Ｚ＝(Ｘ−ｍ)／σとおいて標準化します。

Ｚ＝(Ｘ−ｎｐ)／√(ｎｐｑ)
　＝(Ｘ−５０×１／６)／√{５０×(１／６)×(５／６)}
　＝(Ｘ−５０／６)／{√２５０×(１／６)²}
　＝(Ｘ−５０／６)／(５√１０×１／６)
　＝(６Ｘ−５０)／５√１０

|Ｘ／５０−１／６|≦０．１だから、|６Ｘ−５０|≦３０です。

Ｚ＝(６Ｘ−５０)／５√１０なので、Ｚの範囲は、

|Ｚ|＝|６Ｘ−５０|／５√１０≧３０／５√１０＝３√１０／５

つまり、３√１０／５以下になる確率を正規分布表から読み取ればＯＫというわけです！

√１０≒３．１６２だから、３√１０／５≒１．９０です。

絶対値が１．９０以下ということは、−１．９０≦Ｚ≦１．９０なので、

Ｐ(|Ｚ|≦１．９０)＝Ｐ(０≦Ｚ≦１．９０)×２＝０．４７１３×２＝０．９４２６


◆正規分布表
確率統計まとめ


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高校数学「確率統計」確率密度関数ｆ(ｘ)＝ａｘ(ｘ−１) �B

高校数学「確率統計」確率密度関数ｆ(ｘ)＝ａｘ(ｘ−１)　�B

◆問題

確率変数Ｘの確率密度関数をｆ(ｘ)＝ａｘ(ｘ−１)　(０≦ｘ≦１)とする。次の問いに答えよ。

(1) ａの値を求めよ。

(2) Ｘの期待値を求めよ。

(3) Ｘの分散を求めよ。


↓(3)の解答解説はお知らせの下↓


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◆解答解説

(1)で、ａ＝−６であることがわかりました。
ということは、式はｆ(ｘ)＝−６ｘ(ｘ−１)ですね。
つまり、ｆ(ｘ)＝−６(ｘ²−ｘ)です。

そして(2)で、Ｅ(Ｘ)＝１／２であることがわかりました。

このときのＸの分散を求めます。

Ｖ(Ｘ)＝∫[a〜b](ｘ−ｍ)²ｆ(ｘ)ｄｘ

だから、

Ｖ(Ｘ)＝−６∫[0〜1]{(ｘ−１／２)²(ｘ²−ｘ)}ｄｘ
　　＝−６∫[0〜1](ｘ²−ｘ＋１／４)(ｘ²−ｘ)ｄｘ
　　＝−６∫[0〜1]{ｘ⁴−２ｘ³＋ｘ²＋(１／４)ｘ²−(１／４)ｘ}ｄｘ
　　＝−６∫[0〜1]{ｘ⁴−２ｘ³＋(５／４)ｘ²−(１／４)ｘ}ｄｘ
　　＝−６[(１／５)ｘ⁵−(２／４)ｘ⁴＋(５／１２)ｘ³−(１／８)ｘ²][0〜1]
　　＝−６(１／５−１／２＋５／１２−１／８)
　　＝−６×(２４／１２０−６０／１２０＋５０／１２−１５／１２０)
　　＝−６×(−１／１２０)
　　＝１／２０


この問題の最初に戻る→ａの値


◆確率統計まとめ


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高校数学「確率統計」確率密度関数ｆ(ｘ)＝ａｘ(ｘ−１) �A

高校数学「確率統計」確率密度関数ｆ(ｘ)＝ａｘ(ｘ−１)　�A

◆問題

確率変数Ｘの確率密度関数をｆ(ｘ)＝ａｘ(ｘ−１)　(０≦ｘ≦１)とする。次の問いに答えよ。

(1) ａの値を求めよ。

(2) Ｘの期待値を求めよ。


↓(2)の解答解説はお知らせの下↓


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◆解答解説

(1)で、ａ＝−６であることがわかりました。
ということは、式はｆ(ｘ)＝−６ｘ(ｘ−１)ですね。
つまり、ｆ(ｘ)＝−６(ｘ²−ｘ)です。

このときのＸの期待値を求めます。

Ｅ(Ｘ)＝∫[a〜b]ｘｆ(ｘ)ｄｘ

だから、

Ｅ(Ｘ)＝−６∫[0〜1]{ｘ(ｘ²−ｘ)}ｄｘ
　　＝−６∫[0〜1](ｘ³−ｘ²)ｄｘ
　　＝−６[(１／４)ｘ⁴−(１／３)ｘ³][0〜1]
　　＝−６(１／４−１／３)
　　＝−６×(−１／１２)
　　＝１／２


次の問題→Ｘの分散


◆確率統計まとめ


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高校数学「確率統計」確率密度関数ｆ(ｘ)＝ａｘ(ｘ−１) �@

高校数学「確率統計」確率密度関数ｆ(ｘ)＝ａｘ(ｘ−１)　�@

◆問題

確率変数Ｘの確率密度関数をｆ(ｘ)＝ａｘ(ｘ−１)　(０≦ｘ≦１)とする。次の問いに答えよ。

(1) ａの値を求めよ。


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◆解答解説

確率密度関数とは、確率変数Ｘが連続的な値をとり、その値が関数ｆ(ｘ)とｘ軸との間の面積で表されるときの、ｆ(ｘ)のことです。

確率だから、定義域内の確率の総和は１になります。
つまり、グラフとｘ軸との間の面積が１だから、定積分の値が１になる。と言ってもよいです。

ｆ(ｘ)＝ａｘ(ｘ−１)
　　＝ａ(ｘ²−ｘ)

　∫[0〜1]{ａ(ｘ²−ｘ)}ｄｘ
＝ａ[(１／３)ｘ³−(１／２)ｘ²][0〜1]
＝ａ(１／３−１／２}
＝−ａ／６

この定積分の値が１になるので、
−ａ／６＝１
　　　ａ＝−６


次の問題→Ｘの期待値


◆確率統計まとめ


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高校数学(用語)「外れ値」

高校数学(用語)「外れ値」

★外れ値(outlier)

・データの中で極端に大きい値、極端に小さい値のこと。


そのデータを含めて分析すると精度のよい結果にならないため、一定のルールに従って「外れ値」を計算し除外することがあります。

2025年共通テスト数学１Ａ第２問[2]では、四分位範囲の１．５倍を外れ値の計算に使いました。


◆関連項目
「範囲」「四分位範囲」、箱ひげ図
データの分析まとめ


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高校数学「三角比」円錐に内接する球の半径

高校数学「三角比」円錐に内接する球の半径

◆問題

底面の半径が６，高さが８の円錐に、球が内接している。
この球の半径Ｒを求めよ。


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◆解答解説

空間図形に関する長さを求めるときは、断面を考えるとよいです。
今回は球の半径を求めるので、その半径Ｒを含む断面を考えます。
すると、円錐の頂点と球の中心を通る平面で、円錐と球を真っ二つに切ったと考えましょう。
断面は二等辺三角形で、底辺は１２，高さは８となり、頂点から底辺に下ろした垂線上に円の中心があります。

円錐の母線は三平方の定理より、

√(６²＋８²)＝√(３６＋６４)＝√１００＝１０

円錐と球は内接するので、断面の二等辺三角形と円も接します。
ということは、円の中心から円錐の母線となる辺に垂線を引くと、相似な三角形ができます。
相似な三角形の対応する辺の比は等しいので、比例式を作って解けばＯＫです！

Ｒ：(８−Ｒ)＝６：１０
１０Ｒ＝４８−６Ｒ
１６Ｒ＝４８
　　Ｒ＝３

よって、求める球の半径は３です。


◆関連項目
三角比まとめ

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高校数学「整数の性質」ｎと４０の最小公倍数が１４００

高校数学「整数の性質」ｎと４０の最小公倍数が１４００

■　問題

ｎを正の整数とする。次のようなｎを全て求めよ。

(1) ｎと３６の最小公倍数が３６０

(2) ｎと４０の最小公倍数が１４００


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■　解答解説

(1)と同様に、まずはそれぞれ素因数分解をします。
計算は省略しますが、

４０＝２³×５
１４００＝２³×５²×７

ですね。
だから、ｎには、５²×７が含まれている必要があります。
２は入っていても入っていなくても大丈夫です。
というわけで求めるｎの値は以下のようになります。

２⁰×５²×７＝１×２５×７＝１７５
２¹×５²×７＝２×２５×７＝３５０
２²×５²×７＝４×２５×７＝７００
２³×５²×７＝８×２５×７＝１４００


(1)に戻る→ｎと３６の最小公倍数が３６０


◆関連項目
整数の性質等まとめ


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高校数学「整数の性質」ｎと３６の最小公倍数が３６０

高校数学「整数の性質」ｎと３６の最小公倍数が３６０

■　問題

ｎを正の整数とする。次のようなｎを全て求めよ。

(1) ｎと３６の最小公倍数が３６０


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■　解答解説

最小公倍数は、全ての数に含まれている因数が入っている数。ということができます。
だから、まずは３６と３６０それぞれを素因数分解します。

２）３６
――――
２）１８
――――
３）　９
――――
　　　３

つまり、３６＝２²×３²です。

２）３６０
―――――
２）１８０
―――――
２）　９０
―――――
３）　４５
―――――
３）　１５
―――――
　　　　５

つまり、３６０＝２³×３²×５です。
３６０には２が３個、３が２個、５が１個入っています。

ということは、３６とｎの少なくとも片方に、２は３個、３は２個、５は１個入っている。といえます。

３６には３は２個入っているので、３はすでに３６の方で足りています。
ｎの方には、２が３個、５が１個入っている必要があります。ｎの方には３は入っていても入っていなくても大丈夫です。

つまり、「ｎ＝２³×５×３^□」ですね！

ｎに含むことができる３は、０個か１個か２個です。
３個以上になると最小公倍数が変わってしまうので、最大で２個です。

というわけで、求めるｎの値は、

２³×５×３⁰＝８×５×１＝４０
２³×５×３¹＝４０×３＝１２０
２³×５×３²＝４０×９＝３６０

以上の３つの数となります。


次の問題→ｎと４０の公倍数が１４００


◆関連項目
整数の性質等まとめ


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高校数学「分数関数」ｙ＝(２ｘ−３)／(ｘ−２)のグラフ

高校数学「分数関数」ｙ＝(２ｘ−３)／(ｘ−２)のグラフ(を描くために必要な情報の求め方)

◆問題

次の関数のグラフを描け。

(1) ｙ＝(ｘ＋１)／(ｘ−１)

(2) ｙ＝(２ｘ−３)／(ｘ−２)


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◆解答・解説

分数関数は中学数学の反比例の応用です。
反比例のグラフを平行移動したもので、

ｙ＝ｋ／(ｘ−ｐ)＋ｑ

この式で表されるグラフは、ｙ＝ｋ／ｘをｘ軸方向にｐ，ｙ軸方向にｑ移動したものになります。
漸近線は、ｘ＝ｐ，ｙ＝ｑですね。

今回の問題では、ｙ＝(２ｘ−３)／(ｘ−２)だから、まずはこれをｙ＝ｋ／(ｘ−ｐ)＋ｑの形に直します。

分子は定数にするので、分子と分母が約分できる形に変形することを目指します。
分子のｘの係数は２だから、２(ｘ−２)の形を作ります。

ｙ＝(２ｘ−４＋１)／(ｘ−２)
　＝{２(ｘ−２)＋１}／(ｘ−２)

あとは２つの分数に分けて約分します。

　＝２(ｘ−２)／(ｘ−２)＋１／(ｘ−２)
　＝２＋１／(ｘ−２)
　＝１／(ｘ−２)＋２

これで式の変形は終わりです。

つまり、漸近線はｘ＝２，ｙ＝２です。


漸近線がわかればグラフは描けるはずなので、この記事では、グラフは省略します。


◆関連項目
反比例(中学数学)
双曲線
分数関数等まとめ


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高校数学３「関数・極限まとめ」

高校数学３「関数・極限まとめ」

高校数学３の分数関数、無理関数、逆関数、合成関数、極限に関する、このブログに掲載した解説・問題の一覧です。


◆　公式・用語・解き方

無理関数の特徴
極限、基本的な考え方
数列の極限、√∞−√∞のとき
三角関数の極限、サインの極限、コサインの極限

関数の連続


◆　問題

●分数関数
ｙ＝２／(ｘ−１)の漸近線、グラフなど
ｙ＝(ｘ＋１)／(ｘ−１)のグラフ

●無理関数
曲線ｙ＝√(ｘ−１)と直線ｙ＝ｘ−３の共有点
ｙ＝√(ｘ−１)とｙ＝ｘ＋ｋが接するとき
ｙ＝√(ｘ−１)とｙ＝ｘ＋ｋの共有点が２個のとき

●逆関数
ｆ(ｘ)＝ｘ／(ｘ＋３)の逆関数
ｆ(ｘ)＝４^xの逆関数

関数ｙ＝(ａｘ＋ｂ)／(ｘ＋ｃ)の逆関数のグラフが、直線ｘ＝１，ｙ＝２を漸近線にもち、点(０，３)を通る

●合成関数
(ｆ∘ｇ)(ｘ)、 (ｇ∘ｆ)(ｘ)

●極限
基本的な極限値の計算�@、基本的な極限値の計算�A
(１−１／２²)(１−１／３²)(１−１／４²)・・・{１−１／(ｎ−１)²}(１−１／ｎ²)の極限値

ｘｓｉｎ(１／ｘ)の極限
(ｓｉｎ３ｘ)／ｘの極限

(１−ｃｏｓｘ)／ｘ^２の極限


◆関連項目

●定義に従った微分
定義に従った微分
微分係数の定義を利用して次の極限値を求めよ

数学２の微分積分、数列、三角関数
数学３の微分積分


まだまだ追加していきます！


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高校数学「極限」ｘｓｉｎ(１／ｘ)の極限

高校数学「極限」ｘｓｉｎ(１／ｘ)の極限

◆問題

次の極限を求めよ。

　ｌｉｍｘｓｉｎ(１／ｘ)
　^ｘ→０


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◆解答解説

　ｌｉｍｘｓｉｎ(１／ｘ)
　^ｘ→０

|ｓｉｎ(１／ｘ)|≦１だから、|ｘｓｉｎ(１／ｘ)|≦|ｘ|となります。
サインの絶対値は最大でも１なので、ｘにサインをかけても絶対値はｘ以下になる。というわけです。

そして、
　ｌｉｍ|ｘ|＝０　だから、求める極限もゼロになる。ということができます。
　^ｘ→０

よって、
　ｌｉｍｘｓｉｎ(１／ｘ)＝０
　^ｘ→０


◆関連項目
微分積分(数学３)
微分積分(数学２)


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高校数学「２次不等式」２つの２次不等式を同時に満たす範囲

高校数学「２次不等式」２つの２次不等式を同時に満たす範囲


■問題
ｘ²＋３ｘ−４０＜０とｘ²−５ｘ−６＞０を同時に満たすｘの値の範囲を求めよ。


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■解答解説

ｘ²＋３ｘ−４０＜０とｘ²−５ｘ−６＞０

「同時に満たす範囲」というのはもちろん、両方の共通範囲です。
だから、それぞれ解いて、重なるところを探します。

そもそも基本的な２次不等式の解き方がわからない！という人は、まずこちら→基本的な２次不等式の解き方をご覧ください。

ｘ²＋３ｘ−４０＜０
(ｘ＋８)(ｘ−５)＜０
よって、−８＜ｘ＜５

ｘ²−５ｘ−６＞０
(ｘ＋１)(ｘ−６)＞０
よって、ｘ＜−１，ｘ＞６

求めるのはこれらの共通範囲だから、−８＜ｘ＜−１


◆関連項目
基本的な２次不等式の計算
２次関数まとめ


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高校数学「２次不等式」絶対値を含む２次不等式|ｘ2＋６ｘ＋８|＜４ｘ＋１１

高校数学「２次不等式」絶対値を含む２次不等式|ｘ²＋６ｘ＋８|＜４ｘ＋１１

■問題
２次不等式|ｘ²＋６ｘ＋８|＜４ｘ＋１１を解け。


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■解答解説

絶対値のついた式を解く場合、通常は、絶対値の中身がプラスの場合とマイナスの場合で分けます。

今回の式は

|ｘ²＋６ｘ＋８|＜４ｘ＋１１

これなので、ｘ²＋６ｘ＋８がプラスの場合とマイナスの場合で分けます。

ｘ²＋６ｘ＋８＝(ｘ＋２)(ｘ＋４)だから、ｘ≦−４，ｘ≧−２のときプラス、−４＜ｘ＜−２のときマイナスですね。
だから、これらの区間で場合分けをします。

(i) ｘ≦−４，ｘ≧−２のとき
ｘ²＋６ｘ＋８＜４ｘ＋１１
ｘ²＋２ｘ−３＜０
(ｘ＋３)(ｘ−１)＜０
よって、−３＜ｘ＜１

ｘ≦−４，ｘ≧−２だから、−２≦ｘ＜１

(ii) −４＜ｘ＜−２のとき
−(ｘ²＋６ｘ＋８)＜４ｘ＋１１
ｘ²＋６ｘ＋８＞−４ｘ−１１
ｘ²＋１０ｘ＋１９＞０

整数では因数分解できないので、解の公式を使います。

ｘ＝{−１０±√(１００−４×１×１９)}／２
　＝{−１０±√(１００−７６)}／２
　＝(−１０±√２４)／２
　＝(−１０±２√６)／２
　＝−５±√６

つまり、ｘ＜−５−√６，ｘ＞−５＋√６

−４＜ｘ＜−２だから、−５＋√６＜ｘ＜−２

(i)と(ii)をまとめると、−５＋√６＜ｘ＜１


今回の問題のように、場合分けして解いた場合でも、その結果連続している範囲になったときは、ひとつにまとめて答えます。


◆関連項目
基本的な２次不等式の計算
２次関数まとめ


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高校数学「２次不等式」絶対値を含む２次不等式ｘ2−２|ｘ|＋３≦０

高校数学「２次不等式」絶対値を含む２次不等式ｘ²−２|ｘ|＋３≦０

■問題
２次不等式ｘ²−２|ｘ|＋３≦０を解け。


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■解答解説

絶対値のついた式を解く場合、通常は、絶対値の中身がプラスの場合とマイナスの場合で分けます。

(i) ｘ≧０のとき
ｘ²−２ｘ−３≦０
(ｘ＋１)(ｘ−３)≦０
よって、−１≦ｘ≦３

ｘ≧０なので、０≦ｘ≦３

(ii) ｘ＜０のとき
ｘ²＋２ｘ−３≦０
(ｘ−１)(ｘ＋３)≦０
よって、−３≦ｘ≦１

ｘ＜０なので、−３≦ｘ＜０

(i)と(ii)をまとめると、−３≦ｘ≦３


今回の問題のように、場合分けして解いた場合でも、その結果連続している範囲になったときは、ひとつにまとめて答えます。


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２次関数まとめ


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高校数学「ｎ進法」２進法の割り算

高校数学「ｎ進法」２進法の割り算

■　問題

次の計算をせよ。

(1) １１０１₍₂₎＋１０１₍₂₎

(2) １００１₍₂₎−１１０₍₂₎

(3) １０１₍₂₎×１０１₍₂₎

(4) １１００１₍₂₎÷１０１₍₂₎


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■　解答解説

２進数の計算は筆算でやるとわかりやすいと思います。
基本的には普通の計算と同じですが、繰り下がりがある場合は２を下ろしてくることに注意が必要です！

１１００１₍₂₎÷１０１₍₂₎

文字式の割り算と同様に、一番上の位が消えるように数字を立てます。

　　　　　　　１
　　　　――――――
　１０１）１１００１
　　　　　１０１

引き算をします。

　　　　　　　１
　　　　――――――
　１０１）１１００１
　　　　　１０１
　　　　　―――――
　　　　　　　１０１

引いた結果の一番上のくらいが消えるような数を立てます。
２桁目は消えてしまったので、３桁目に合わせます。
引いた結果、ゼロになるのでこれで完成です！

　　　　　　　１０１
　　　　――――――
　１０１）１１００１
　　　　　１０１
　　　　　―――――
　　　　　　　１０１
　　　　　　　１０１
　　　　　　　―――
　　　　　　　　　０

というわけで解答は

１１００１₍₂₎÷１０１₍₂₎＝１０１₍₂₎


この問題の最初に戻る→(1) １１０１₍₂₎＋１０１₍₂₎


◆関連項目
２進数→１０進数
ｎ進法


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高校数学「ｎ進法」２進法のかけ算

高校数学「ｎ進法」２進法のかけ算

■　問題

次の計算をせよ。

(1) １１０１₍₂₎＋１０１₍₂₎

(2) １００１₍₂₎−１１０₍₂₎

(3) １０１₍₂₎×１０１₍₂₎

↓(3)の解答解説はお知らせの下に↓


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■　解答解説

２進数の計算は筆算でやるとわかりやすいと思います。
基本的には普通の計算と同じですが、２で繰り上がる点に注意が必要です！

１０１₍₂₎×１０１₍₂₎

　　１０１
×　１０１
――――――
　　１０１

まず１桁目をかけるとこうなります。
２桁目はゼロなので省略して、次は３桁目を掛けます。

　　１０１
×　１０１
――――――
　　１０１
１０１

普通のかけ算の筆算と同じく、同じ位の数同士を足します。


　　１０１
×　１０１
――――――
　　１０１
１０１
――――――
１０２０１

２で繰り上がるので、１１００１となります。
というわけで、

１０１₍₂₎×１０１₍₂₎＝１１００１₍₂₎


次の問題→割り算


◆関連項目
２進数→１０進数
ｎ進法


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