2019年07月03日

高校数学基本問題 数学2B「点と直線」「円」「内分」

高校数学基本問題 数学2B「点と直線」「円」「内分」

座標平面上の2点A(2,1),B(−4,3)について次の問いに答えよ。

(1) 2点A,Bを通る直線の式を求めよ。
(2) 2点A,Bを直径とする円の方程式を求めよ。
(3) 2点A,Bを1:2に内分する点の座標を求めよ。


どれも基本事項です。
素早く正確に解けるようにしておきたいですね!


解答解説はこちら


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ラベル:数学
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解答★高校数学意外と解けない?問題 数学2B「軌跡」

解答★高校数学意外と解けない?問題 数学2B「軌跡」

2点O(0,0),A(6,0)からの距離の比が2:1である点Pの軌跡を求めよ。
問題ページはこちら

このように未知の点Pについて考える場合は、Pの座標を文字で置きます。
そして、条件に従って「その通りの式」を作ると考えると良いと思います。

P(x,y)とおくと、2点間の距離の公式より、

OP=√(x^2+y^2)
AP=√{(x−6)^2+y^2}

ですね。
O,Aからの距離の比が2:1だから、OP:AP=2:1です。
その通りに式にを作れば、

√(x^2+y^2):√{(x−6)+y^2}=2:1

このような式ができます。
あとは計算して、できるだけわかりやすい式にすればOKですね!

   2√(x^2+y^2)=√{(x−6)^2+y^2}
    4(x^2+y^2)=(x−6)^2+y^2
    4x^2+4y^2=x^2−12x+36+y^2
3x^2+12x+3y^2=36
   x^2+4x+y^2=12
 (x+2)^2−4+y^2=12
   (x+2)^2+y^2=16

よって、求める軌跡は、中心(−2,0),半径4の円


このコーナーでは、「基本だし、わかれば難しくないけど、意外と解けない人が多い問題」を中心に掲載していきます。


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2019年07月02日

高校数学意外と解けない?問題 数学2B「軌跡」

高校数学意外と解けない?問題 数学2B「軌跡」

2点O(0,0),A(6,0)からの距離の比が2:1である点Pの軌跡を求めよ。


軌跡も質問が多い単元です。
ちゃんと条件通りに式を作れば必ずできるはずですが、どうでしょうか?


解答解説はこちら


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2019年07月01日

解答★高校数学意外と解けない?問題 数学1A「データの分析」「分散」「公式」

解答★高校数学意外と解けない?問題 数学1A「データの分析」「分散」「公式」


10秒でわかる!数学1A「命題と集合」「データの分析」の考え方P.25より


 次の表は、40人の生徒のテストの結果である。
┌──┬─┬─┬─┬─┬─┬─┬─┬─┬─┬─┬─┬──┐
│ 得点│0│1│2│3│4│5│6│7│8│9│10│ 計│
├──┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼──┤
│ 人数│0│0│1│3│4│8│9│8│4│3│0│ 40│
└──┴─┴─┴─┴─┴─┴─┴─┴─┴─┴─┴─┴──┘
 このデータの分散を求めよ。


前回の記事では、正直に「偏差の2乗の平均」を計算することにより、分散を求めました。

この記事では、公式を使った別解を解説します。


分散はデータの値をxとすると、次の式で求めることもできます。

(分散)=(xの2乗の平均)−(xの平均の2乗)

では、今回の問題にこの公式を当てはめてみましょう!
 (2^2×1+3^2×3+4^2×4+5^2×8+6^2×9+7^2×8+8^2×4+9^2×3)÷40
=(4×1+9×3+16×4+25×8+36×9+49×8+64×4+81×3)÷40
=(4+27+64+200+324+392+256+243)÷40
=1510÷40
=37.75

平均は前回の記事で求めたように5.9です。
よって、(xの平均の2乗)は、

5.9^2=34.81

(分散)=(xの2乗の平均)−(xの平均の2乗) なので、

(分散)=37.75−34.81=2.94


当然ですが、前回の記事で求めた値と一致しました。
こちらの方法の方が計算が簡単になることが多いので、できるだけ覚えておいた方が良いと思います。


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高校数学「極座標」「直交座標」

高校数学「極座標」「直交座標」

直交座標で(−2,2√3)で表される点の極座標(r,θ)を求めよ。ただし、0≦θ<2πとする。

「直交座標」とは、いわゆる普通の「座標」です。(x,y)で表されます。
「極座標」は、(r,θ)で表されます。rは特定の点O(極)からの距離、θは始線からの回転角(偏角)です。

このタイプの問いの場合は、Oは基本的に共通して「原点」ととらえてOKです。

直交座標での(−2,2√3)の原点からの距離がrです。
これは普通に2点間の距離で求めることができますね。

r=√{(−2)^2+(2√3)^2}
 =√(4+12)
 =√16
 =4

そして、cosθ=x/r,sinθ=y/rだから、
cosθ=−2/4=−1/2
sinθ=2√3/4=√3/2
このような場合のθは、(2/3)πですね。

よって、求める極座標は(4,(2/3)π)となります。


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2019年06月29日

解答★高校数学意外と解けない?問題 数学1A「データの分析」「分散」

解答★高校数学意外と解けない?問題 数学1A「データの分析」「分散」


10秒でわかる!数学1A「命題と集合」「データの分析」の考え方P.25より


 次の表は、40人の生徒のテストの結果である。
┌──┬─┬─┬─┬─┬─┬─┬─┬─┬─┬─┬─┬──┐
│ 得点│0│1│2│3│4│5│6│7│8│9│10│ 計│
├──┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼──┤
│ 人数│0│0│1│3│4│8│9│8│4│3│0│ 40│
└──┴─┴─┴─┴─┴─┴─┴─┴─┴─┴─┴─┴──┘
 このデータの分散を求めよ。


分散は、偏差の2乗の平均です。

そして、偏差とは平均との差です。

つまり、まずは平均を求めて、それぞれのデータと平均との差を2乗した値の平均が分散です。


「平均=合計÷人数」ですね。
この場合は、2点が1人、3点が3人、4点が4人、5点が8人・・・となっているので、これらを全て合計して40で割ると、

 (2×1+3×3+4×4+5×8+6×9+7×8+8×4+9×3)÷40
=(2+9+16+40+54+56+32+27)÷40
=236÷40
=5.9

平均は5.9点です。

それぞれの得点からこの5.9を引いた値を2乗して、平均したものが分散です。

 {(2−5.9)^2・1+(3−5.9)^2・3+(4−5.9)^2・4
  +(5−5.9)^2・8+(6−5.9)^2・9+(7−5.9)^2・8
  +(8−5.9)^2・4+(9−5.9)^2・3}÷40

途中の計算は省略しますが、これを計算すると、

2.94という値が得られます。
つまり、求める分散は2.94ですね!


今回の問題は、数字的に少しばかり大変だったと思います。
そんなときに使える公式もあります。その公式については別の記事で解説します


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2019年06月28日

高校数学意外と解けない?問題 数学1A「データの分析」「分散」

高校数学意外と解けない?問題 数学1A「データの分析」「分散」


10秒でわかる!数学1A「命題と集合」「データの分析」の考え方P.25より


 次の表は、40人の生徒のテストの結果である。
┌──┬─┬─┬─┬─┬─┬─┬─┬─┬─┬─┬─┬──┐
│ 得点│0│1│2│3│4│5│6│7│8│9│10│ 計│
├──┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼──┤
│ 人数│0│0│1│3│4│8│9│8│4│3│0│ 40│
└──┴─┴─┴─┴─┴─┴─┴─┴─┴─┴─┴─┴──┘
 このデータの分散を求めよ。


この単元の問題は、とにかく用語と計算方法を覚えて、その通りにやるしかありません。
分散はデータのばらつき具合を表す値です。
はたして、どうやって計算するのでしょうか・・・?


解答解説は後ほど掲載します。


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2019年06月27日

解答★高校数学意外と解けない?問題 数学1A「三角比」「内接円」

解答★高校数学意外と解けない?問題 数学1A「三角比」「内接円」

a=5,b=4,c=3の△ABCの、内接円の半径rを求めよ。

公式を使った解き方は、数字を入れればいいだけなので、ここではあえて掲載せずに、三角形の面積を使った解き方を解説します。

内接円の半径は、三角形の面積から求めることができます。

内接円の中心と、三角形の各頂点を結ぶと、△ABCは3つの三角形、△OAB,△OBC,△OCAに分けることができます。
当然ながら、△ABC=△OAB+△OBC+△OCAですね。

そして、△ABCの3辺は内接円の接線なので、円と接線の定理が成り立ちます。
接線と接点に引いた半径は垂直に交わるので、この3つの三角形の高さは全て内接円の半径rになります。

だから、
△ABC=(1/2)r×AB+(1/2)r×BC+(1/2)r×CA
    =(1/2)r(AB+BC+CA)

このように表すことができます。
これは実際のところ、いわゆる「公式」と同じ式です。
このようにして公式を導くことができる。というわけです。

今回の△ABCの3辺は3,4,5なので直角三角形です。
だから、△ABC=(1/2)×3×4=12/2=6

6=(1/2)r(3+4+5)
6=(12/2)r
6=6r
r=1

ということで、求める内接円の半径rは1であることがわかりました。


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高校数学意外と解けない?問題 数学1A「三角比」「内接円」

高校数学意外と解けない?問題 数学1A「三角比」「内接円」

a=5,b=4,c=3の△ABCの、内接円の半径rを求めよ。


内接円の半径はセンター試験でも頻出です。内接円の半径の公式はあるにはありますが、単に公式に当てはめて解くより、図形の性質を利用して解けるようにしておいた方がよいです。


解答解説はこちら


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2019年06月26日

解答★高校数学意外と解けない?問題 数学2B「ベクトル」

解答★高校数学意外と解けない?問題 数学2B「ベクトル」


問題ページはこちら


→a=(10,5),→b=(1,2)で、tは実数とする。|→a+t・→b|の最小値とそのときのtの値を求めよ。

まず、→a+t・→bを表してみましょう!

(10,5)+t(1,2)=(10+t,5+2t)

となります。
これの絶対値なので、三平方の定理の応用で

 √{(10+t)^2+(5+2t)^2}
=√(100+20t+t^2+25+20t+4t^2)
=√(5t^2+40t+125)

この式の値の最小値を聞いています。
つまりは、√の中身が最小ならば最小値です。
√の中身は2次式なので、最小値なら平方完成をします。

=√{5(t^2+8t)+125}
=√{5(t+4)^2−16×5+125}
=√{5(t+4)^2+45}

というわけで、t=−4のとき最小値になります。代入してみると、

=√45
=3√5

よって、t=−4のとき最小値3√5


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高校数学意外と解けない?問題 数学2B「ベクトル」

高校数学意外と解けない?問題 数学2B「ベクトル」

→a=(10,5),→b=(1,2)で、tは実数とする。|→a+t・→b|の最小値とそのときのtの値を求めよ。


ベクトルに絶対値がついていたり、最小値だったりで、慣れてない人にはハードルが高い要素が多いですが、わかればそれほど難しくないです。


解答解説はこちら


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2019年06月25日

解答★高校数学基本問題「ベクトル」「点と直線」

解答★高校数学基本問題「ベクトル」「点と直線」


問題ページはこちら


2点A(3,3),B(5,−1)について次の問いに答えよ。

(1) 線分ABの長さを求めよ。
(2) 線分ABを2:1に内分する点、外分する点の座標を求めよ。
(3) →ABと|→AB|を求めよ。


(1)
2点間の距離は、三平方の定理の応用で求められます。
公式としては、

d=√{(x2−x1)^2+(y2−y1)^2}

ですね。
これに、(x1,y1)=(3,3),(x2,y2)=(5,−1)を代入して、

d=√{(5−3)^2+(−1−3)^2}
 =√(4+16)
 =√20
 =2√5

(2)
内分点はm:nに内分するとき、((nx1+mx2)/(m+n),(ny1+my2)/(m+n))で求められます。
外分は、この公式のnの符号をマイナスにします。

内分点
 ((1×3+2×5)/(2+1),{1×3+2×(−1)}/(2+1))
=((3+10)/3,(3−2)/3)
=(13/3,1/3)

外分点
 ((−1×3+2×5)/(2−1),{−1×3+2×(−1)}/(2−1))
=((−3+10)/1,(−3−2)/1)
=(7,−5)

(3)
→ABは、点Aを始点、点Bを終点とするベクトルです。
AからBまで行くにはどれだけ進めば良いか?を表す。と理解しておくと良いと思います。
だから、点B−点Aで求めることができます。

→AB=(5−3,−1−3)
   =(2,−4)

|→AB|は、→ABの絶対値で、つまりはベクトルの長さです。
座標平面上の長さは2点間の距離で求められる。つまり、三平方の定理で求められる。というわけです。

→AB=(2,−4)なので、

|→AB|=√{2^2+(−4)^2}
   =√(4+16)
   =√20
   =2√5

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解答★高校数学意外と解けない?問題 数学2B「微分」「微分係数」

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問題ページはこちら


関数f(x)=−2x^2+4x−3のx=1における微分係数を求めよ。

「x=1における微分係数」とは、f'(1)のことです。
つまり、微分してx=1を代入した値です。

やってみましょう!

f'(x)=−4x+4

f'(1)=−4+4=0

よって、求める微分係数は0


「微分係数とは何か?」「微分係数はどうやって求めることができるか?」さえわかれば、とても簡単な問題でしたね!


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高校数学基本問題「ベクトル」「点と直線」

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2点A(3,3),B(5,−1)について次の問いに答えよ。

(1) 線分ABの長さを求めよ。
(2) 線分ABを2:1に内分する点、外分する点の座標を求めよ。
(3) →ABと|→AB|を求めよ。



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高校数学「微分」「三角関数」「合成関数」

高校数学「微分」「三角関数」「合成関数」

y=(sinx)^3を微分せよ。

この記事では、この問題を「合成関数の微分法」をちゃんと使って微分してみます。
「公式的に解くのは、どうしてもやり方を忘れてしまう」という人はむしろ、合成関数の微分法をしっかりやった方が良いと思います。
少し面倒でもがんばってください!

まず、与えられた式は、sinxを3乗しているので、t=sinxとおきます。
すると与式は、

y=t^3

というとてもシンプルな式になりますね。
このように、与式が単純な関数になるように文字でおきます。

まずはこの式を普通に微分してみましょう!
yとtについての関数を、tについて微分するので、y'=dy/dtと表して、

dy/dt=3t^2

普通に3乗を微分なので、「もとの指数を係数にして、指数を1下げる」というだけです。

もとの式は、yとxについての関数なので、y'=dy/dxです。
dy/dx=(dy/dt)・(dt/dx)と表すことができるので、まだ求めていないdt/dxを表してみます。

t=sinxなので、dt/dx=(sinx)'=cosx

これで、dy/dtとdt/dxを組み合わせることができますね。
やってみましょう!

(dy/dt)・(dt/dx)=3t^2・cosx
            =3(sinx)^2・cosx

よって、dy/dx=3(sinx)^2・cosx


これで完成です!


さらに詳しい解説が欲しい人や、その他の質問がある人はお気軽にご連絡ください。


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高校数学意外と解けない?問題 数学2B「微分」「微分係数」

高校数学意外と解けない?問題 数学2B「微分」「微分係数」

関数f(x)=−2x^2+4x−3のx=1における微分係数を求めよ。


「微分係数とは何か?」がわかれば難しくない問題ですが、わかりますか?


解答解説はこちら


このコーナーでは、「基本だし、わかれば難しくないけど、意外と解けない人が多い問題」を中心に掲載していきます。


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2019年06月24日

解答★高校数学意外と解けない?問題 数学2B「微分」「定義に従った微分」「平均変化率」

解答★高校数学意外と解けない?問題 数学2B「微分」「定義に従った微分」「平均変化率」


問題はこちら


関数f(x)=x^2−2x+3について、次の問いに答えよ。

(1) xが1から3まで変化するときの平均変化率を求めよ。
(2) f'(x)を定義に従って求めよ。


(1)
平均変化率とは、結局は変化の割合です。
だから、

平均変化率=yの増加量/xの増加量

で求めることができます。

 {f(3)−f(1)}/(3−1)
={9−6+3−(1−2+3)}/2
=(6−2)/2
=4/2
=2

(2)
微分の本来の意味は、(1)で考えた平均変化率の2点の間隔が限りなく小さくなった場合の式や値のことです。
すなわち、

lim[h→0]{f(x+h)−f(x)}/{(x+h)−x}

これをそのまま計算するのが「定義に従った微分」です。

 lim[h→0]{(x+h)^2−2(x+h)+3−(x^2−2x+3)}/(x+h−x)
=lim[h→0](x^2+2xh+h^2−2x−2h+3−x^2+2x−3)/h
=lim[h→0](x^2−x^2+2xh−2x+2x+h^2−2h+3−3)/h
=lim[h→0](2xh+h^2−2h)/h
=lim[h→0](2x+h−2)
=2x−2

もちろん、公式に従った微分でもまったく同じ式が得られます。
この考え方を使った応用問題もあるので、できるだけ、定義に従った微分もできるようにしておきましょう!


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posted by えま at 22:57| Comment(0) | 高校数学 | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする

高校数学意外と解けない?問題 数学2B「微分」「定義に従った微分」「平均変化率」

高校数学意外と解けない?問題 数学2B「微分」「定義に従った微分」「平均変化率」

関数f(x)=x^2−2x+3について、次の問いに答えよ。

(1) xが1から3まで変化するときの平均変化率を求めよ。
(2) f'(x)を定義に従って求めよ。



解答解説はこちら


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posted by えま at 10:06| Comment(0) | 高校数学 | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする

2019年06月23日

高校数学「複素数」「方程式」「判別式」

高校数学「複素数」「方程式」「判別式」

2次方程式x^2+2mx+2m^2−5=0が1より大きい異なる2つの実数解をもつとき、定数mの値の範囲を求めよ。

数学1の2次関数でも考えたように、「異なる2つの実数解」など、2次方程式の解の個数について調べたいときは、判別式を使います。

D=b^2−4acで、D>0のとき「異なる2つの実数解」ですね。
まずはやってみましょう!

D=(2m)^2−4×1×(2m^2−5)
 =4m^2−8m^2+20
 =−4m^2+20>0
     m^2−5<0
 (m+√5)(m−√5)<0

よって、−√5<m<√5 ・・・@

まずは判別式からこのようなmの範囲がわかりました。
でも、これは単に「異なる2つの実数解」というだけの条件です。
「1より大きい」という条件は満たさない場合も含まれてしまっています。

「1より大きい」という条件を満たすためには・・・

まず、全体として1より右側にグラフがなければいけないので、「軸の方程式>1」である必要があります。
軸の方程式x=−b/aなので、

−2m/1=−2m>1すなわち、m<−1/2 ・・・A

これで、グラフが全体として1より右側にある範囲がわかりました。
これは軸が1より大きいことを表しています。
でも、軸が1より大きくても、解が1より小さくなってしまう場合もありますね。

そんな場合を除外するには、x=1のときy>0を満たせばOKです!
x=1のときy>0ならば、グラフはx=1でx軸の上側を通るので、2つの解がともに1より大きくなることが決まります。

x^2+2mx+2m^2−5にx=1を代入すると、

1+2m+2m^2−5>0
  2m^2+2m−4>0
    m^2+m−2>0
   (m+2)(m−1)>0
よって、m<−2,m>1

@,A,Bの条件全てを満たす場合が、「1より大きい異なる2つの実数解をもつとき」ですね!

−√5<m<√5
m<−1/2
m<−2,m>1
を全て満たすのは・・・

−√5<m<−2

ですね!


ちなみにここでは、数1の2次関数の単元で習う方法で解いてみましたが、数2では解と係数の関係を使って解くのが模範的だったりします。


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posted by えま at 21:45| Comment(0) | 高校数学 | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする

2019年06月19日

高校数学「微分」「対数微分法」

高校数学「微分」「対数微分法」「三角関数」

次の関数を微分せよ。y=x^(sinx)

「xのsinx乗」です。
このように、変数部分がまた別の関数になっている場合は、「対数微分法」を使うと微分しやすい場合があります。

対数微分法とは、まず両端の自然対数をとり、その対数を微分するという方法です。

今回の問題では、まず、

logy=log{x^(sinx)}

とします。
右辺を対数の計算法則に従って変形すると、

logy=sinx・logx

とすることができますね。
これは数学2の「指数・対数」の単元で習うものです。ここがわからない人は、指数対数の復習をしましょう!

この式の両辺を微分すると、

y'/y=(sinx)'・logx+sinx・(logx)'
   =cosx・logx+sinx・(1/x)

左辺はy'/yなので、左辺をy'だけにするために、両辺にyをかけると、

y'=y(cosx・logx+sinx/x)

y=x^(sinx)なので、代入して

y'=x^(sinx)・(cosx・logx+sinx/x)


ということで、y=x^(sinx)の微分ができました。


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