2016年07月03日

数学3 極限の問題一覧

【高校数学】読むだけでわかる!数学3の考え方
 http://pmana.jp/pc/pm730.html

まだ問題数は少ないですが、極限の問題一覧です。


第1問: 数列{an}の極限値とは?
第2問: 次の数列の極限値を求めよ。1,1/2,1/3,1/4,・・・,1/n
第3問: 数列{(2n+1)/n}の極限値を求めよ。このときは何をする?
第4問: 一般項が、(n^3+2n+4)/(3n^3−5n^2−n)で表される数列の極限値を求めよ。このときはまず何をする?
第5問: lim[n→0](sinx/x)の極限値を求めよ。
第6問: lim[n→0](sin2x/x)の極限値を求めよ。このときは何をする?
第7問: lim[x→1](x^2−1)/(x−1)の極限を調べよ。このときは何をする?
第8問: lim[x→∞]{√(x^2+4)−x}の極限を調べよ。このときは何をする?
第9問: lim[n→∞](2/3)^nの極限を調べよ。
第10問: 次の数列の極限を調べよ。{(1−r^n)/(1+r^n)}(r≠−1)このときは場合分けをするが、どのように分ける?
第11問: 第n項が(1/n)sinnθで表される数列の極限を調べよ。
第12問: 数列{an}が、a[1]=4,a[n+1]=(1/2)an+3(n=1,2,3,…)を満たすとき、lim[n→∞]anを求めよ。このときはどんな方針で解けばいい?
第13問: 定数a,bは、0<a<bを満たす。nを自然数とするとき、不等式n・log[2]b<log[2](a^n+b^n)<1+n・log[2]bを証明せよ。 この証明の過程として、log[2](b^n)<log[2](a^n+b^n)<log[2](2b^n) であることを示すのがノーマルだが、この式の根拠は?


選択肢・解答・解説は、実際にアプリでご覧ください。
携帯はもちろん、PCやタブレットなどでもご利用いただけます。
質問やリクエストも受け付けています!


【高校数学】読むだけでわかる!数学3の考え方
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2016年06月19日

数学3 「積分の考え方」問題一覧

【高校数学】読むだけでわかる!数学3の考え方
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今日は積分の問題一覧を掲載してみます。


第1問: 次の不定積分を求めよ。∫(x^3)dx
第2問: 次の不定積分を求めよ。∫(8/x^7)dx
第3問: 次の不定積分を求めよ。∫(1/x)dx
第4問: ∫[(2+x−x^2)/{x^(2/3)}]dxの不定積分を求めよ。このときは何をする?
第5問: ∫cosxdxの不定積分を求めよ。
第6問: ∫sinxdxの不定積分を求めよ。
第7問: ∫{1/(cosx)^2}dxの不定積分を求めよ。
第8問: ∫(e^x)dxの不定積分を求めよ。
第9問: 次の不定積分を求めよ。∫(a^x)dx
第10問: ∫[{sin(x/2)}^2]dxの不定積分を求めよ。このときはまず最初に何をする?
第11問: ∫√(x+5)dxの不定積分を求めよ。
第12問: ∫{1/(3x−2)}dxの不定積分を求めよ。このときは何をする?
第13問: ∫{5/(x+2)(x−3)}dxを計算せよ。このときは何をする?
第14問: ∫{(3x+2)^5}dxの不定積分を求めよ。このときは何をする?
第15問: ∫(sinx)^3・cosxdxの不定積分を求めよ。このときはまず何をする?
第16問: ∫{x(1−x)^6}dxの不定積分を求めよ。t=1−xとおいて置換積分法を用いて積分するとき、するべきことを全て選ぶと?
第17問: ∫(sin2x・cosx)dxの不定積分を求めよ。このとき、まず最初にやることは?
第18問: 部分積分法の公式はどうやって導く?
第19問: ∫logxdxの不定積分を求めよ。このときは何をする?
第20問: ∫xcosxdxの不定積分を求めよ。∫f'(x)g(x)=f(x)g(x)−∫f(x)g'(x)dxにより、部分積分法を用いる場合、f'(x),g(x)はそれぞれ何にすればよい?
第21問: F'(x)=f(x)のとき、∫[a〜b]f(x)dxは、どのように計算するか?
第22問: ∫[1〜2]{(2x+1)/(x^2+x)}dxの定積分を求めよ。まず、被積分関数をどのように変形するとよいか?
第23問: 定積分∫[-π/4〜π/3]tanxdxを求めよ。このとき使うことは?
第24問: 定積分∫[0〜π/4](cosx)^2dxを求めよ。このときはまず何をする?
第25問: ∫[0〜1]x√(1−x)dxの定積分を求めよ。1−x=tとおいたとき、することを全て選ぶと?
第26問: ∫[1〜2]√(4−x^2)dxの定積分を求めよ。このときはまず何をするとやりやすい?
第27問: ∫[1/√3〜√3]dx/(1+x^2)の定積分を求めよ。このときはまず最初に何をする?
第28問: 次の定積分を求めよ。∫[0〜2]x・e^xdxこのときは何をする?
第29問: ∫[0〜1]log{x+√(x^2+1)}dxの定積分を求めよ。このときは何をする?
第30問: ∫[-1〜1]{(x^2+x+1)^2}dxの定積分の値を求めよ。このとき、なるべく簡単に計算するためには何をする?


このような問題の考え方が、選択肢を選びながら読みすすめるだけで練習できます。
無料の体験版もありますので、まずはお気軽にお試しくださいね!

【高校数学】読むだけでわかる!数学3の考え方
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2016年06月17日

数学3 「微分の考え方」問題一覧

理系の大学受験生の多くは、センター試験を突破すると、数学3の試験が待っています。
数学3は、様々な関数の微分積分が中心的な分野です。
一見して「途方もなく難しい」と感じる人が多いですが、これこそ「どんなときに何をすべきか」を習得しておけば解決できる部分が多いです。
そのための練習用アプリも制作しています。
数学1A,2Bでおなじみ(?)「読むだけでわかる」シリーズです。

【高校数学】読むだけでわかる!数学3の考え方
 http://pmana.jp/pc/pm730.html

まずは微分の問題一覧を掲載してみます。

第1問: y=x^2のとき、y’を求めよ。
第2問: y=1/xの導関数を求めよ。
第3問: y=√xを微分せよ。
第4問: y=(x+1)^2を微分せよ。このとき正しい考え方を全て選ぶと?
第5問: y=f(x)・g(x)を微分すると?
第6問: y=sinxのとき、dy/dxを求めよ。
第7問: 関数y=cosxの導関数を求めよ。
第8問: (tanx)’を計算せよ。
第9問: y=(sinx)^2を微分すると?
第10問: y=e^xを微分せよ。
第11問: y=a^xを微分すると?
第12問: y=e^(ax)の導関数を求めよ。
第13問: y=logxのとき、dy/dxを求めよ。
第14問: log[a]xを微分せよ。(ここでは[a]は底がaであることを表すとする)
第15問: {log|f(x)|}’を計算せよ。
第16問: 関数f(x)=1/√xを定義に従って微分せよ。このときは何をする?
第17問: 「関数f(x)がx=aにおいて連続である」とき、正しいものは?
第18問: f(x)がx=aで微分可能であるとき、満たしている条件は?
第19問: 関数f(x)=ax+b(x≦2),x−1(x>2)が、x=2で連続であるとき、a,bの関係式を求めよ。このときは何をする?
第20問: y=(x+1)(x+2)(x+3)の導関数を求めよ。自力で解けそうな方法を2つ選ぶと?
第21問: y=xtanxを微分すると?
第22問: x,yが次のように媒介変数t(0<t<2π)の関数として与えられているとき、dy/dxを求めよ。 x=t−sint,y=1−cost このときはまず何をする?
第23問: y=x^aの第2次導関数を求めよ。このときは何をする?
第24問: y=(ax+b)^nの第n次導関数を求めよ。このときは何をする?
第25問: y=logx上の点(e,1)における接線の方程式を求めよ。このときの考え方は?
第26問: 原点Oから曲線y=f(x)=logxに引いた接線の方程式を求めよ。このときは何をする?
第27問: 法線とは?
第28問: 数3で習う法線の公式は?
第29問: y=x+1/x上の、x=3における法線の方程式を求めよ。このときすることを全て選ぶと?
第30問: x^2+y^2=r^2を微分すると?
第31問: x^2/a^2+y^2/b^2=1上の点(x0,y0)における接線の方程式を求めよ。このときはまず何をする?
第32問: 関数f(x)について、|h|が十分に小さいとき、f(a+h)の近似値は?
第33問: sin31°の近似値を求めよ。このときはf(a+h)≒f(a)+f'(a)hを利用するが、aとhは何にする?
第34問: f(x)=(x^2)(x−1)^3のとき、f'(c)=0となるcが0と1の間に存在することを示せ。このときはまず何をする?
第35問: f(x)=1/xについて、f'(c)={f(3)−f(1)}/2,1<c<3を満たすcの値を求めよ。このときは何をする?
第36問: 0≦α<β<π/2のとき、「sinβ−sinα<β−α<tanβ−tanα」となることを平均値の定理を用いて証明せよ。このとき、sinβ−sinα<β−αを示すためにすることは?
第37問: y=x+√(4−x^2)の増減を調べよ。このときすることを全て選ぶと?
第38問: 変曲点について言えることは?
第39問: f(x)=x/(x^2+4)の極値を求めよ。このときはまず最初に何をする?
第40問: f(x)=4x+3+16/(x−1)の極値を求めよ。このときは与式を微分して増減表を書くのが普通の解き方だが、特に気をつけるべき事は?
第41問: f(x)=x^(2/3)の極値を求めよ。このときは、極値を聞かれているので微分し、f'(x)=0となるxを求める。が、f'(x)=0となるxは存在しない。この場合どうする?
第42問: 関数f(x)=sinx(cosx)^3(0≦x≦π)の最大値と最小値を求めよ。このときは、まずはもちろん微分する。やってみると、f'(x)=(cosx)^4−3(sinx)^2(cosx)^2となる。ここから次の式の変形は、まず最初にどうするとやりやすい?
第43問: f(x)=x/(x^2+2)の最大値・最小値を求めよ。このときはどう考える?
第44問: 放物線y=x^2上の点Pと点A(3,0)を結ぶ線分APの長さの最小値を求めよ。このときは何をする?


以上のような問題が、選択肢を選んで読み進めるだけで練習できます。
無料の体験版もありますので、まずは一度お試ししてみては?
問題のリクエストも受け付けています。

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2016年05月27日

数学3 極限と対数に関する証明

久しぶりに数学3の問題を追加しました。
極限に関する証明問題です。

問題
定数a,bは、0<a<bを満たす。nを自然数とするとき、不等式n・log[2]b<log[2](a^n+b^n)<1+n・log[2]bを証明せよ。

この証明の過程として、log[2](b^n)<log[2](a^n+b^n)<log[2](2b^n)
であることを示すのがノーマルだが、この式の根拠は?(複数選択)

@この手の問題ではそうするから
A問題文に0<a<bとあるから
By=log[2]xは増加関数だから
Cy=log[2]xは減少関数だから
Dy=log[2]xは曲線だから

【高校数学】読むだけでわかる!数学3の考え方
 http://pmana.jp/pc/pm730.html
こんなヤツです
名前:江間淳
年齢:40
職業:家庭教師、AE個別学習室(えまじゅく)代表、翻訳者
ウェブサイトURL:http://www.a-ema.com/
メールアドレス:j@a-ema.com
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