2022年12月06日

高校物理(用語)「光学距離」

高校物理(用語)「光学距離」

★光学距離(optical path length)

実際に光が進む距離に屈折率をかけたもの。光路長ともいう。
物質中では波の伝わる速さが屈折率に反比例して遅くなる。光も波動の性質があり、光学距離が等しければ光が届くのにかかる時間が等しい。


薄膜の干渉やくさび形空気層の干渉などで、光学距離の差つまり光路差を用いる問題が多いです。

薄膜がつけられたレンズに入射する光
屈折率nの媒質ではさまれたガラス板に入射する光
くさび形空気層の反射光
ニュートンリングの反射光

などなど。


◆関連項目
強め合う条件・弱め合う条件
波動まとめ


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2022年12月03日

高校物理「波動」「光波」ニュートンリングC

高校物理「波動」「光波」ニュートンリングC

◆問題

水平な平面ガラスの上に、曲率半径Rの平凸レンズを凸面を下にして置く。上から波長λの単色光をあてると、明暗の環が観測された。平凸レンズの球面の中心をO,平凸レンズと平面ガラスとの接点をC,Cからrだけ離れた点をB,Bの真上の平凸レンズの球面上の点をAとして、次の問いに答えよ。

(1) AB間の距離がdであったとする。dをR,rで表せ。ただし、R≫dとする。

(2) 反射光が強め合う条件式をr,R,λ,mを使って表せ。ただし、m=0,1,2,…とする。

(3) 平凸レンズの中心の真上から見ると、レンズの中心は明るく見えるか、暗く見えるか。

(4) R=100m,λ=5.0×10-7のとき、中心から5番目の明環の半径を求めよ。


この記事では(4)を解説します。
(ご自分で図を描きながら読むことをおすすめします)


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適切な時期に適切な対策をすれば、どんな目標でも達成可能です。志望校を諦める前に、まずは一度ご相談ください。


◆解説

条件式はすでに求めているので、あとは代入して計算です。

明環は「強め合う」ときなので、(2)で求めたように条件式は、

2/R=(m+1/2)λ

です。

これにR=100,λ=5.0×10-7と、m=4を代入します。
m=0,1,2,…で、ゼロが最初なので、5番目はm=4です。

2/100=(4+1/2)×5.0×10-7
    r2=(9/2)×5.0×10-5  ←両辺に100をかけた
    r2=22.5×10-5
    r2=2.25×10-4  ←小数点以上を1けたにした
    r=1.5×10-2[m]


この問題の最初に戻る→(1) AB間の距離がdであったとする。dをR,rで表せ。ただし、R≫dとする。


◆関連項目
三平方の定理(中学数学)
光学距離
波動まとめ


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2022年12月02日

高校物理「波動」「光波」ニュートンリングB

高校物理「波動」「光波」ニュートンリングB

◆問題

水平な平面ガラスの上に、曲率半径Rの平凸レンズを凸面を下にして置く。上から波長λの単色光をあてると、明暗の環が観測された。平凸レンズの球面の中心をO,平凸レンズと平面ガラスとの接点をC,Cからrだけ離れた点をB,Bの真上の平凸レンズの球面上の点をAとして、次の問いに答えよ。

(1) AB間の距離がdであったとする。dをR,rで表せ。ただし、R≫dとする。

(2) 反射光が強め合う条件式をr,R,λ,mを使って表せ。ただし、m=0,1,2,…とする。

(3) 平凸レンズの中心の真上から見ると、レンズの中心は明るく見えるか、暗く見えるか。


この記事では(3)を解説します。
(ご自分で図を描きながら読むことをおすすめします)


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◆解説

明るく見える=反射光が強め合う
暗く見える=反射光が弱め合う

と考えればOKです。

反射光が強め合う条件式は(2)で求めたように

2/R=(m+1/2)λ

です。

またこの問題の場合、弱め合う場合は、半波長の偶数倍になるので、

2/R=mλ

となります。

レンズの中心はr=0です。
強め合う方の式にm=0を入れてもr=0とならず、弱め合う方の式にm=0を入れればr=0となるので、

レンズの中心は反射光が弱め合う点であり、暗く見える。とわかります。


次の問題→5番目の明環の半径


◆関連項目
三平方の定理(中学数学)
光学距離
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2022年11月30日

高校物理「波動」「光波」ニュートンリングA

高校物理「波動」「光波」ニュートンリングA

◆問題

水平な平面ガラスの上に、曲率半径Rの平凸レンズを凸面を下にして置く。上から波長λの単色光をあてると、明暗の環が観測された。平凸レンズの球面の中心をO,平凸レンズと平面ガラスとの接点をC,Cからrだけ離れた点をB,Bの真上の平凸レンズの球面上の点をAとして、次の問いに答えよ。

(1) AB間の距離がdであったとする。dをR,rで表せ。ただし、R≫dとする。

(2) 反射光が強め合う条件式をr,R,λ,mを使って表せ。ただし、m=0,1,2,…とする。


この記事では(2)を解説します。
(ご自分で図を描きながら読むことをおすすめします)


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◆解説

「強め合う」条件を考えるということは、異なる2ヶ所で反射した光を考えることになります。
その2ヶ所とは、

平凸レンズの底面と平面ガラスの表面

ですね。

平凸レンズに入射した光は、まず一部が、平凸レンズと空気との境界面で反射します。
この場合は、屈折率が平凸レンズの方が大きいので、位相は変わりません。

そして平凸レンズと空気の境界面を通過した光は、空気と平面ガラスの表面の境界面で反射します。
この場合は、屈折率は平面ガラスの方が大きいので、位相がπ変わります。

これらの光が重なり合って干渉した結果、強め合う場合と弱め合う場合があります。
片方の光は位相が変わり、もう片方は変わらないので、経路差が半波長の奇数倍のときに強め合う。と判断できます。

AB間の距離はdなので、経路差はその往復分で2dです。

ということで、

2d=(2m+1)λ/2

さらに、(1)よりd=r2/2Rだから、これを代入すると、

2・r2/2R=(2m+1)λ/2
  r2/R=(m+1/2)λ


次の問題→レンズの中心の見え方


◆関連項目
三平方の定理(中学数学)
光学距離
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2022年11月29日

高校物理「波動」「光波」ニュートンリング@

高校物理「波動」「光波」ニュートンリング@

◆問題

水平な平面ガラスの上に、曲率半径Rの平凸レンズを凸面を下にして置く。上から波長λの単色光をあてると、明暗の環が観測された。平凸レンズの球面の中心をO,平凸レンズと平面ガラスとの接点をC,Cからrだけ離れた点をB,Bの真上の平凸レンズの球面上の点をAとして、次の問いに答えよ。

(1) AB間の距離がdであったとする。dをR,rで表せ。ただし、R≫dとする。


解答解説はこのページ下
(ご自分で図を描きながら読むことをおすすめします)


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◆解説

平凸レンズは、球を平面でカットした形をしています。
だからこの手のニュートンリングの問題の場合、元の球を復元して、平面の上に球が載っている形に描き直して、数学の図形の問題として考えるとよいと思います。
物理では、三平方の定理や三角比・三角関数が使えることが多いです。

AからOCに垂線を引き、OCとの交点をDとすると、直角三角形OADができます。
直角三角形なので三平方の定理が使えます。

OA2=OD2+AD2

ですね。
球の半径はRなので、OC=OA=Rです。
そして、AD=CB=r,OD=OC−CD=R−d
これらを代入します。

2=(R−d)2+r2

問題によっては普通に計算しますが、R≫dとあるので、計算を簡単にする近似を利用する方向で考えます。
αが1より充分に小さいとき、(1+α)2≒1+2αと近似することができます。
この形を利用するため、カッコの2乗の中身を(1+α)の形に直します。

両辺をR2で割ると、

2/R2=(R−d)2/R2+r2/R2
1={(R−d)/R}2+(r/R)2
1=(1−d/R)2+(r/R)2

これでカッコの中身が(1+α)の形になりました。
(1+α)2≒1+2αの近似を用いると、(1−d/R)2=1−2d/R
つまり、

1=1−2d/R+(r/R)2

あとはこれをdについて解くと、

2d/R=(r/R)2
  2d=r2/R
   d=r2/2R


次の問題→反射光が強め合う条件


◆関連項目
三平方の定理(中学数学)
光学距離
波動まとめ


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2022年11月27日

高校物理「波動」「光波」レンズに薄膜がつけられているときA

高校物理「波動」「光波」レンズに薄膜がつけられているときA

◆問題

屈折率1.8のレンズの表面に、屈折率n(1<n<1.8)の薄膜をつけ、波長λの光を垂直に入射させる。空気の屈折率を1,mを0以上の整数として、次の問いに答えよ。

(1) 空気中に戻ってくる反射光が弱め合っているとき、薄膜の厚さdをn,λ,mで表せ。

(2) n=1.4,λ=5.6×10-7のとき、レンズ内へ透過する透過光が強め合う最小のdを求めよ。


この記事では(2)を解説します。


参考図
     光
空気    ↓
   ―――――――――――
薄膜    ↓
   ―――――――――――
レンズ


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◆解説

このレンズに入射する透過光は、

(i)空気と薄膜との境界面を通過し、薄膜とレンズの境界面もそのまま通過するもの
(ii)空気と薄膜との境界面を通過し、薄膜とレンズの境界面で反射し、薄膜と空気の境界面でもう一度反射して、再び薄膜とレンズの境界面に達して通過するもの

があると考えます。

これらの透過光がレンズ内で干渉して強め合う場合について考える問題です。

まず、位相の変化について確認しましょう。

(i)は反射していないので、もちろん位相の変化はありません。
(ii)は、1回目の反射では位相が変化し、2回目の反射では位相は変化しません。

つまり、(i)の透過光と(ii)の透過光は位相がπだけずれている。と考えられます。

位相がπずれているので、強め合う条件は経路差が「半波長の奇数倍」です。

さらに、経路差は(1)の場合と同様に2dとなるので、

(1)で求めた「d=(2m+1)・λ/4n」の式を利用することができます。

この式に問題の「n=1.4,λ=5.6×10-7」と、「最小のd」から、m=0を代入すると、

d=(2×0+1)・5.6×10-7/4×1.4

あとはこれを計算すれば、求めるdの値がわかります。

d=5.6×10-7/5.6
 =1.0×10-7[m]


最初に戻る→(1) 反射光が弱め合っているとき、薄膜の厚さdをn,λ,mで表せ。


◆関連項目
屈折全反射
波動まとめ


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2022年11月26日

高校物理「波動」レンズに薄膜がつけられているとき@

高校物理「波動」レンズに薄膜がつけられているとき@

◆問題

屈折率1.8のレンズの表面に、屈折率n(1<n<1.8)の薄膜をつけ、波長λの光を垂直に入射させる。空気の屈折率を1,mを0以上の整数として、次の問いに答えよ。

(1) 空気中に戻ってくる反射光が弱め合っているとき、薄膜の厚さdをn,λ,mで表せ。


参考図
     光
空気    ↓
   ―――――――――――
薄膜    ↓
   ―――――――――――
レンズ


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◆解説

反射光が弱め合っているということは、もちろん、重なった光が「弱め合う条件」を満たしています。

つまり、空気と薄膜との境界面で反射した光と、薄膜とレンズの境界面で反射した光が重なって、「弱め合う条件」を満たしている。
ということができます。

光が(波が)弱め合う条件は基本的に、「経路差が半波長の奇数倍」です。

ただし、媒質の屈折率の大小によって、反射光の位相が変化する場合があります。
入射側の方が屈折率が小さいときは反射光の位相がπだけずれます。

今回の問題では、光は上から下に向かって進んでいるので、上側の方が屈折率が小さく、下側の方が大きければ位相がずれます。
空気と薄膜では薄膜の方が屈折率が大きい。薄膜とレンズではレンズの方が屈折率が大きい。
だから、両方とも位相がずれて、2つの経路の反射光同士の位相のずれは無い。ということになります。

つまり、普通に「半波長の奇数倍」で立式すればOK!です。

波長λの光は、屈折率nの媒質内での波長はλ/nだから、
「半波長の奇数倍」は、(2m+1)・λ/2nと表すことができます。

そして、上で反射した光と下で反射した光の経路差は、薄膜の厚さの2倍です。
薄膜の厚さの距離の往復なので、厚さの2倍ですね。つまり、2dです。

「半波長の奇数倍」と「経路差」が等しいときに反射光が弱め合うので、

2d=(2m+1)・λ/2n
 d=(2m+1)・λ/4n


次の問題→透過光が強め合うとき


◆関連項目
屈折全反射光学距離
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2022年11月25日

高校物理(用語)「臨界角」

高校物理(用語)「臨界角」

★臨界角(critical angle)

屈折率の大きい媒質から小さい媒質に光が入射するとき、全反射がおきる最小の入射角を臨界角という。


全反射がおこる最小の入射角は、屈折角が90°になるときなので、問題では「屈折角が90°になるときが臨界角」と考えて立式できる場合が多いです。

例えば、屈折の公式はn2/n1=sinθ1/sinθ2で、sin90°=1だから、n2/n1=sinθ1の形になる場合があります。


◆関連項目
全反射
波動まとめ


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2022年11月17日

高校物理「波動」XYと波面のなす角は30°のときの入射角

高校物理「波動」XYと波面のなす角は30°のときの入射角

◆問題

平面波が、媒質の端XYに向かって入射している。XYと波面のなす角は30°である。
このとき、平面波の入射角は何度か?


解答解説はこのページ下


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◆解説

入射角は媒質の境界線に対する垂線(つまり法線)と、波の進行方向とのなす角です。

波の進行方向と波面がなす角は、基本的に垂直ですね。

そしてその波面がXYと30°の角度をなしています。

詳しくは図を描いてもらうと良いのですが、XYに対する垂線を考えて、それと波の進行方向のなす角が入射角だから・・・

入射角は30°

とわかります。


◆関連問題

波動まとめ


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2022年11月12日

高校物理「波動」「正弦波の式」y=Asin(2π×x/8)の波A

高校物理「波動」「正弦波の式」y=Asin(2π×x/8)の波A

◆問題

波長8.0mで、時刻t=0で変位yがy=Asin(2π×x/8)で表される波が、x軸の正の向きに進んでいる。この波は1.0s間に波長の1/4だけ移動するという。次の問いに答えよ。

(1) 波の速さvを求めよ。

(2) 時刻tでの波の変位yをx,tの関数で表せ。


この記事では(2)を解説します。


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◆解説

(1)より、波の速さは2.0[m/s]です。
t秒間に波は2.0t[m]進みます。

ということは、t=0のときの波形は、x=2.0tの位置に移動する。と考えられますね。

だから、t=0のときの波形の式y=Asin(2π×x/8)を2.0tだけ平行移動する。
つまり、この式のxにx−2.0tを代入すれば、求める式が得られる。ということができます。

y=Asin{2π×(x−2.0t)/8}

あとはこれをできるだけ簡単にします。

 =Asin2π(x−2.0t)/8
 =Asin2π(x/8−t/4)

これで終わりで特に問題ありませんが、公式としてはy=Asin2π(t/T−x/λ)なので、この形に合わせると、

 =Asin2π(−t/4+x/8)
 =−Asin2π(t/4−x/8)


この問題の最初に戻る→波の速さv


◆関連問題
y=2.0sin2π(t−0.50x)のときy=0.5・sin2π(t/2−x/6)のとき

波動まとめ


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2022年11月11日

高校物理「波動」「正弦波の式」y=Asin(2π×x/8)の波@

高校物理「波動」「正弦波の式」y=Asin(2π×x/8)の波@

◆問題

波長8.0mで、時刻t=0で変位yがy=Asin(2π×x/8)で表される波が、x軸の正の向きに進んでいる。この波は1.0s間に波長の1/4だけ移動するという。次の問いに答えよ。

(1) 波の速さvを求めよ。


解答解説はこのページ下


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◆解説

問題の記述を見直してみると、

「波長が8.0m」「1.0s間に波長の1/4だけ移動する」

とあります。
正弦波の式など関係なしに、この記述だけで速さがわかってしまいますね。

波長は8.0mだから、波長の1/4は2.0mです。

1.0s間に2.0m進むのだから、速さは2.0m/sですね。

よって、v=2.0


次の問題→時刻tでの変位y


◆関連問題
y=2.0sin2π(t−0.50x)のときy=0.5・sin2π(t/2−x/6)のとき

波動まとめ


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2022年11月03日

高校物理「波動」「ドップラー効果」車の速さを求める問題A

高校物理「波動」「ドップラー効果」車の速さを求める問題A

◆問題

水平な平面上に設置された測定装置に向かって、車が接近してくるとする。測定装置から振動数f0の音波を出すと、その音波は車に当たって反射して、測定装置に戻ってくる。この戻ってきた音波を測定することにより、車の速さを求めることができる。音速をV,車の速さをv,V>vとして次の問いに答えよ。

(1) 測定装置に戻ってきた音波の振動数f'を求めよ。

(2) 測定装置で20000Hzの音波を出したとき、戻ってきた音波との干渉によって生じるうなりが1秒あたり2500回観測された。V=340m/sとして、車の速さを求めよ。


この記事では(2)を解説します。


参考図

装置    車
 ▼    ←
 |    □□     
―――――――――


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◆解説

振動数が異なる音が同時に観測されたとき、その振動数の差によってうなりが観測されます。
うなりの回数をf,2つの音をそれぞれf1,f2とすると、

f=|f1−f2|

となります。

(1)より、戻ってきた音の振動数は{(V+v)/(V−v)}f0です。
測定装置から出た音の振動数f0との差の分だけうなりが観測され、それが2500回というわけです。
その通りに計算してみると、

 {(V+v)/(V−v)}f0−f0
={(V+v)/(V−v)}f0−{(V−v)/(V−v)}f0
={2v/(V−v)}f0

これがうなりの回数を表すので、イコール2500となります。
これにV=340,f0=20000を代入して、

={2v/(340−v)}20000=2500

両辺を100で割って、(340−v)をかけると、

 2v×200=25(340−v)

あとは普通に解きます。

  400v=8500−25v
  425v=8500
     v=20

というわけで、この車の速さは20m/s


(1) 測定装置に戻ってきた音波の振動数f'を求めよ。に戻る


◆関連問題
反射板が動くときのドップラー効果

ドップラー効果うなり
波動まとめ


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2022年11月01日

高校物理「波動」「ドップラー効果」車の速さを求める問題@

高校物理「波動」「ドップラー効果」車の速さを求める問題@

◆問題

水平な平面上に設置された測定装置に向かって、車が接近してくるとする。測定装置から振動数f0の音波を出すと、その音波は車に当たって反射して、測定装置に戻ってくる。この戻ってきた音波を測定することにより、車の速さを求めることができる。音速をV,車の速さをv,V>vとして次の問いに答えよ。

(1) 測定装置に戻ってきた音波の振動数f'を求めよ。


参考図

装置    車
 ▼    ←
 |    □□     
―――――――――


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◆解説

ドップラー効果の問題です。
観測者が聞く音の振動数をf',音源の振動数をf,音速をV,音源の速度をvs,観測者の速度をvoとすると、

f'={(V−vo)/(V−vs)}f

の式が成り立ちます。

まず、測定装置から音が出て、その音は車に反射して測定装置に戻ってきて、測定装置はその音の振動数を測定することができる。という設定ですね。

この場合、車は「動く反射板」のはたらきをします。反射板が動くときのドップラー効果の場合と同様です。
つまり、振動数f0の音波を受け取って、動きながら反射するので、ドップラー効果の影響を受けた振動数f'の音を出します。

車は音に向かって進んでいるので、vo=−vと考えます。車が受け取る音の振動数をf1とすると、

f1=[{(V−(−v)}/(V−0)]f0
 ={(V+v)/V}f0

ですね。
車はvの速さでこの振動数の音を出すと考えられるので、

f'={(V−0)/(V−v)}{(V+v)/V}f0
 ={V/(V−v)}{(V+v)/V}f0
 ={(V+v)/(V−v)}f0

これが車が反射する音、すなわち、測定装置が観測する音の振動数です。


次の問題→うなりを使って車の速さを求める


◆関連問題
反射板が動くときのドップラー効果

ドップラー効果
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2022年10月27日

高校物理「波動」「ドップラー効果」反射板が動くときA

高校物理「波動」「ドップラー効果」反射板が動くときA

◆問題

観測者O,音源S,反射板Rが一直線上に並んでいる。O,Sは静止し、Rは速さvで左向きに移動している。
音源の出す音の振動数をf,音速をVとして次の問いに答えよ。

(1) 風が吹いていないとき、観測者Oが聞く、反射板Rによる反射音の振動数を求めよ。

(2) 左向きに一定の速さwの風が吹いているとき、観測者Oが聞く、反射板Rによる反射音の振動数を求めよ。ただし、V>wとする。


この記事では(2)を解説します。


参考図

       ←
 O  S  R
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◆解説

ドップラー効果の問題です。
観測者が聞く音の振動数をf',音源の振動数をf,音速をV,音源の速度をvs,観測者の速度をvoとすると、

f'={(V−vo)/(V−vs)}f

の式が成り立ちます。

今回の問題では、反射板が動くうえに風もあります。

風があると、風速の分だけ音速が変わります。

反射板は、一度音を受け取り、即座に反対方向に出すと考えることができます。
音を受け取るときは観測者、出すときは音源と考えて式を立てます。

まずRが受ける音をf1として式を立てます。vs=0,vo=−v,音源の振動数はf、風が音の進行方向と反対向きに吹いているので、音速はV−wですね。
これらを代入すると、

f1=[{(V−w−(−v)}/(V−w−0)]f
 ={(V−w+v)/(V−w)}f

反射板Rの受ける音の振動数は{(V+v−w)/(V−w)}f[Hz]です。
Rはこの振動数の音を出しながら左にvの速さで移動するので、反射音に関してはvs=vです。そして観測者Oは動かないので、vo=0です。
そして反射音については、音の進行方向と風の向きが同じになるので、音速はV+wです。
つまり、求める振動数をf'とすると、

f'={(V+w−0)/(V+w−v)}{(V−w+v)/(V−w)}f
 ={(V+w)/(V+w−v)}{(V−w+v)/(V−w)}f
 ={(V+w)/(V−w)}{(V−w+v)/(V+w−v)}f


この問題の最初に戻る→(1) 風が吹いていないとき、観測者Oが聞く、反射板Rによる反射音の振動数を求めよ。


◆関連問題
風があるとき反射板があるとき

ドップラー効果
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2022年10月25日

高校物理「波動」「ドップラー効果」反射板が動くとき@

高校物理「波動」「ドップラー効果」反射板が動くとき@

◆問題

観測者O,音源S,反射板Rが一直線上に並んでいる。O,Sは静止し、Rは速さvで左向きに移動している。
音源の出す音の振動数をf,音速をVとして次の問いに答えよ。

(1) 風が吹いていないとき、観測者Oが聞く、反射板Rによる反射音の振動数を求めよ。


参考図

       ←
 O  S  R
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◆解説

ドップラー効果の問題です。
観測者が聞く音の振動数をf',音源の振動数をf,音速をV,音源の速度をvs,観測者の速度をvoとすると、

f'={(V−vo)/(V−vs)}f

の式が成り立ちます。

今回の問題では、反射板が動きます。

反射板は、一度音を受け取り、即座に反対方向に出すと考えることができます。
音を受け取るときは観測者、出すときは音源と考えて式を立てます。

まずRが受ける音をf1として式を立てます。vs=0,vo=−v,音源の振動数はfだから、

f1=[{(V−(−v)}/(V−0)]f
 ={(V+v)/V}f

反射板Rの受ける音の振動数は{(V+v)/V}f[Hz]です。
Rはこの振動数の音を出しながら左にvの速さで移動するので、反射音に関してはvs=vです。そして観測者Oは動かないので、vo=0です。
つまり、求める振動数をf'とすると、

f'={(V−0)/(V−v)}{(V+v)/V}f
 ={V/(V−v)]{(V+v)/V}f
 ={(V+v)/(V−v)}f  ←Vで約分した


次の問題→風があるとき


◆関連問題
風があるとき反射板があるとき

ドップラー効果
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2022年10月18日

高校物理「波動」「ドップラー効果」反射板があるときB

高校物理「波動」「ドップラー効果」反射板があるときB

◆問題

観測者O,音源S,反射板Rが一直線上に並んでいる。O,Rは静止し、Sは振動数f0の音を出しながら、速さvで右向きに移動している。音速をVとして次の問いに答えよ。

(1) SからOに直接伝わる音の振動数を求めよ。

(2) Rで反射してOが聞く音の振動数を求めよ。

(3) Sから発せられた音によって、Oは1秒間に何回のうなりを観測するか求めよ。ただし、V>vとする。


この記事では(3)を解説します。


参考図

    →
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◆解説

異なる振動数の音を同時に聞くとき、その振動数の差により「うなり」が聞こえます。

だからこの場合は、Sから直接届いた音と反射板で反射した音の振動数の差を求めればOKというわけです。

Sから直接届いた音の振動数は、(1)より、{V/(V+v)}f0
反射板で反射してOが聞いた音の振動数は、(2)より、{V/(V−v)}f0

これらの差が1秒間に観測するうなりの回数です。
単純に引き算でOKですが、大小関係に注意しましょう。

V>vで、正の数なので、{V/(V+v)}f0<{V/(V−v)}f0となります。
分子が同じなので、分母が小さい{V/(V−v)}f0の方が大きいですね。
普通に引き算して、なるべく簡単にしていきます。

 {V/(V−v)}f0−{V/(V+v)}f0
=f0{V/(V−v)−V/(V+v)}
=f0[{V(V+v)−V(V−v)}/{(V+v)(V−v)}]
=f0[(V2+Vv−V2+Vv)/{(V+v)(V−v)}]
=f0{2vV/(V2−v2}

つまり、観測者Oは1秒間にf0{2vV/(V2−v2}回のうなりを聞くはずです。


この問題の最初に戻る→(1) SからOに直接伝わる音の振動数を求めよ。


うなりドップラー効果
波動まとめ


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2022年10月17日

高校物理「波動」「ドップラー効果」反射板があるときA

高校物理「波動」「ドップラー効果」反射板があるときA

◆問題

観測者O,音源S,反射板Rが一直線上に並んでいる。O,Rは静止し、Sは振動数f0の音を出しながら、速さvで右向きに移動している。音速をVとして次の問いに答えよ。

(1) SからOに直接伝わる音の振動数を求めよ。

(2) Rで反射してOが聞く音の振動数を求めよ。


この記事では(2)を解説します。


参考図

    →
 O  S  R
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◆解説

当然ですが、反射板は音をそのまま跳ね返します。
だから、受け取った音をそのままの振動数で出すスピーカーと考えることができます。
つまりこの場合、反射板が受け取る音が観測者の受け取る音と同じ。というわけです。

音源は反射板に向かって進むので、vsは正の数だから、

f={(V−0)/(V−v)}f0
 ={V/(V−v)}f0


次の問題→うなりの回数


ドップラー効果
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2022年10月16日

高校物理「波動」「ドップラー効果」反射板があるとき@

高校物理「波動」「ドップラー効果」反射板があるとき@

◆問題

観測者O,音源S,反射板Rが一直線上に並んでいる。O,Rは静止し、Sは振動数f0の音を出しながら、速さvで右向きに移動している。音速をVとして次の問いに答えよ。

(1) SからOに直接伝わる音の振動数を求めよ。


参考図

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 O  S  R
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◆解説

ドップラー効果の問題です。
観測者が聞く音の振動数をf',音源の振動数をf,音速をV,音源の速度をvs,観測者の速度をvoとすると、

f'={(V−vo)/(V−vs)}f

の式が成り立ちます。

今回の問題では、音源が動いて、反射板があります。

(1)では音源から出た音を直接観測者が聞いた場合の振動数を求めます。

音源は観測者から遠ざかっているので、vの符号はマイナスと考えます。
通常は音速Vを正の数にするので、音源の移動方向が音の進行方向と反対ならvs=−vというわけです。
だから、求めるfは、

f=[(V−0)/{V−(−v)}]f0
 ={V/(V+v)}f0


次の問題→Rで反射した音の振動数


ドップラー効果
波動まとめ


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2022年10月12日

高校物理「波動」「ドップラー効果」風があるときA

高校物理「波動」「ドップラー効果」風があるときA

◆問題

マイクA,BとスピーカーCが一直線上に並び、Cは400Hzの音を出しながら、右向きに20m/sで動いている。右向きに10m/sの風が吹いているとして、次の問いに答えよ。ただし、風がないときの音速を340m/sとし、マイクA,Bが観測する音の振動数は整数値とする。

(1) マイクAが観測する音の振動数を求めよ。

(2) マイクBが観測する音の振動数を求めよ。


参考図

    →
 A  C  B
 |  ▼  |
―――――――――


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◆解説

ドップラー効果の公式は以下のようになります。
観測者が聞く音の振動数をf',音源の振動数をf,音速をV,音源の速度をvs,観測者の速度をvoとすると、

f'={(V−vo)/(V−vs)}f


(2)では、マイクBの観測する音の振動数を求めます。

マイクBはスピーカーCの右側にあるので、音の進む方向と風の進む方向が同じです。
ということは、音速はV=340+10=350m/sですね。

f=400,CはBに近づいているのでvs=20,そしてvo=0を代入すると、

f'={(350−0)/(350−20)}×400
 =(350/330)×400
 =14000/33
 =424.2…

小数第1位を四捨五入して、424Hz


この問題の最初に戻る→(1) マイクAが観測する音の振動数


ドップラー効果風があるときのドップラー効果
波動まとめ


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2022年10月11日

高校物理「波動」「ドップラー効果」風があるとき@

高校物理「波動」「ドップラー効果」風があるとき@

◆問題

マイクA,BとスピーカーCが一直線上に並び、Cは400Hzの音を出しながら、右向きに20m/sで動いている。右向きに10m/sの風が吹いているとして、次の問いに答えよ。ただし、風がないときの音速を340m/sとし、マイクA,Bが観測する音の振動数は整数値とする。

(1) マイクAが観測する音の振動数を求めよ。


参考図

    →
 A  C  B
 |  ▼  |
―――――――――


★★ お知らせ ★★

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◆解説

ドップラー効果の問題ですね。
観測者が聞く音の振動数をf',音源の振動数をf,音速をV,音源の速度をvs,観測者の速度をvoとすると、

f'={(V−vo)/(V−vs)}f

の式が成り立ちます。

今回の問題では、音源が動いて、風もあります。

風速は公式には示されていませんが、風速の分だけ音速が変化する。と考えれば大丈夫です。
音は340m/sの速さで空気中を伝わりますが、媒質となる空気が移動すれば、伝わる音波の移動量も変わります。
つまり、音の進行方向と風の進行方向が同じならば、音速と風速を足す。逆ならば引く。というわけです。

Aが観測する音波は右から左に進んでいるので、音と風は反対方向に進んでいます。
だから、V=340−10=330m/sですね。

あとは普通に与えられた値を代入していけばOKです。
f=400,CはAから遠ざかっているのでvs=−20,マイクは移動しないのでvo=0を代入して、

f'=[(330−0)/{330−(−20)}]×400
 =(330/350)×400
 =(330/7)×8
 =2640/7
 =377.1…

小数第1位を四捨五入して、377Hz


次の問題→マイクBが観測する音


ドップラー効果風があるときのドップラー効果
波動まとめ


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posted by えま at 12:00| Comment(0) | TrackBack(0) | 高校物理 | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする
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