2020年09月16日

高校物理(用語)「斜方投射」

高校物理(用語)「斜方投射」

★斜方投射(projectile motion)

物体を一定の初速度をもって空中に投げ出す動作のこと。

初速度v0,仰角θとして、初速度の水平成分v0x=v0cosθ,初速度の鉛直成分v0y=v0sinθとすることが多い。


さらに、空中を飛んでいる間は

・水平方向には力を受けないとみなして、等速度運動をする。
・鉛直方向には重力のみを受けるとみなして、等加速度運動をする。

と考えて式を作る場合が多いです。


◆関連項目
等速直線運動等加速度運動


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2020年09月15日

高校物理「小球と壁との衝突」点Rの位置

高校物理「小球と壁との衝突」点Rの位置

◆問題

水平な床の点Pから水平距離Sだけ離れた鉛直な壁に向かって、初速度v0(水平成分をvx,鉛直成分をvyとする)で小球を発射したところ、小球は床から高さhの点Qで壁に垂直に衝突して跳ね返り、点Rに落下した。重力加速度をg,小球と壁の間の反発係数を0.60として、次の問いに答えよ。

(1) 小球が点Pから点Qに達するまでの時間tをvy,gを用いて表せ。

(2) vx,vyをh,g,Sを用いて表せ。

(3) 壁から点Rまでの距離を、Sを用いて表せ。


このページでは(3)を解説します。


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◆解説

「小球と壁との間の反発係数は0.60」なので、跳ね返った後の水平方向の速さは衝突前の0.60倍になります。

(2)で求めたように、vx=S√g/√(2h)なので、衝突後の速さvは、この0.60倍つまり、v=0.60・S√g/√(2h)となります。

この運動は斜方投射で、小球は最高点で壁と衝突するので、PQの時間とQRの時間は同じになります。
つまり、tQR=√(2h)/√gです。

空中では水平方向には力を受けないので、水平方向の速度は一定です。

ということは、

v=0.60・S√g/√(2h)の速さで、

tQR=√(2h)/√gの時間だけ

進んだとき、点Rに到達する。

のですね!

あとはいわゆる「みはじ」と考えてもかまいません。求める距離は「速さ×時間」なので、

 {0.60・S√g/√(2h)}・{√(2h)/√g}
=0.60S


水平方向の速さが0.6倍になるのだから、距離も0.6倍ですね!


この問題の最初に戻る


◆関連問題
「反発係数」「ボールと床の衝突」


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2020年09月10日

高校物理「小球と壁との衝突」vx,vyをh,g,Sで表す

高校物理「小球と壁との衝突」vx,vyをh,g,Sで表す

◆問題

水平な床の点Pから水平距離Sだけ離れた鉛直な壁に向かって、初速度v0(水平成分をvx,鉛直成分をvyとする)で小球を発射したところ、小球は床から高さhの点Qで壁に垂直に衝突して跳ね返り、点Rに落下した。重力加速度をg,小球と壁の間の反発係数を0.60として、次の問いに答えよ。

(1) 小球が点Pから点Qに達するまでの時間tをvy,gを用いて表せ。

(2) vx,vyをh,g,Sを用いて表せ。


このページでは(2)を解説します。


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◆解説

(1)でも考えたように、小球の運動は斜方投射と同じです。つまり、

水平方向には等速直線運動、鉛直方向には等加速度直線運動と同じ。

ということができます。


まず、鉛直方向について考えると、「初速度vyで鉛直上方に投げ上げて、最高点hに到達した」ので、

v^2−v0^2=2axに、v=0,v0=vy,a=−g,x=hを代入して、

0−vy^2=2・(−g)・h
  vy^2=2gh
   vy=√(2gh)


続いて、水平方向について考えると、「vxの速さでt秒間かかってSだけ進んだ」ので、

S=vx・t

です。
tは壁に衝突するまでの時間なので、(1)で求めたように、t=vy/gです。
さらに、vy=√(2gh)なので、

 S=vx・√(2gh)/g
gS=vx・√(2gh)

よって、vx=gS/√(2gh)

さらに、右辺を√gで約分すると、vx=S√g/√(2h)


つづく


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高校物理「小球と壁との衝突」壁に衝突するまでの時間

高校物理「小球と壁との衝突」壁に衝突するまでの時間

◆問題

水平な床の点Pから水平距離Sだけ離れた鉛直な壁に向かって、初速度v0(水平成分をvx,鉛直成分をvyとする)で小球を発射したところ、小球は床から高さhの点Qで壁に垂直に衝突して跳ね返り、点Rに落下した。重力加速度をg,小球と壁の間の反発係数を0.60として、次の問いに答えよ。

(1) 小球が点Pから点Qに達するまでの時間tをvy,gを用いて表せ。


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◆解説

「小球は壁に対して垂直に衝突した」ということは、衝突した点Qは小球の放物運動の最高点である。ということができます。

空中では水平方向には力は受けず、鉛直方向の重力のみを受けるので、鉛直方向の速度のみが変化します。
水平方向の速度は一定であると考えられるので、鉛直方向の速度がゼロになった点で壁にぶつかれば、壁に対して垂直にぶつかるわけです。

つまり、斜方投射の最高点の条件vy=0で式を立てればOKですね!

初速度鉛直成分はvy,初速度重力加速度は逆向きなので、加速度をマイナスとして、

v=v0+atに、v=0,v0=vy,a=−gを代入すると、

0=vy−gt
gt=vy
 t=vy/g


次の問題→vx,vyをh,g,Sで表す


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2020年09月09日

高校物理「反発係数」「ボールと床の衝突」

高校物理「反発係数」「ボールと床の衝突」

◆問題

床に落ちたボールが跳ね返る場合について考える。ボールは、速さ2.0m/sで、進行方向と床とのなす角が60°で床と衝突し、床と30°の角をなして跳ね返った。このとき、ボールと床との間の反発係数を求めよ。ただし、床に平行な方向の速さは衝突によって変化しないものとする。


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◆解説

壁や床と斜めに衝突して跳ね返る場合は、速さを水平方向と鉛直方向などに分解して考えます。

問題文にもあるように、「床と平行な方向の速さは変化しない」ので、垂直な方向の速さの変化から反発係数を求めます。

まずは、衝突前の速さを分解してみると、

床とのなす角60°で衝突しているので、

vx=2.0cos60°=2.0×1/2=1.0[m/s]
vy=2.0sin60°=2.0×√3/2=√3[m/s]

衝突後は、床と平行な方向の速さは変化しないので、vx=1.0のままです。

vx=1.0なのに跳ね返る角度が30°になったということは、それだけvyが減少した。と考えられます。

なす角が30°だから、衝突後はvx:vy=√3:1になったはずですね。

つまり、1.0:vy=√3:1より、vy=1/√3[m/s]です。

衝突前の速さが√3で、衝突後の速さが1/√3ということは、反発係数は

e=(1/√3)/√3=1/3

有効数字2桁とすれば、求める反発係数は0.33ですね!


◆関連問題
2つの物体の衝突


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2020年09月07日

高校物理「運動量」「分裂」北東→北と東

高校物理「運動量」「分裂」北東→北と東

◆問題

なめらかな水平面上を北東の向きに一定の速さで進む物体が、2つの物体A,Bに分裂した。物体A,Bの質量はそれぞれ3.0kg,2.0kg、物体Aは北向きにある速さで、物体Bは東向きに10m/sで進んだとする。分裂前の物体の質量と速さ、物体Aの速さをそれぞれ求めよ。


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◆解説

物体の分裂の場合も、衝突して跳ね返る場合一体となる場合と同じく、内力のみがはたらくと考えて運動量の保存の式を作ります。

この問題は最初は北東方向に進んでいて、分裂して北と東に分かれたので、方向にも注意して式を立てる必要があります。

つまり、

5.0kgの物体が持っていた運動量,物体Aの運動量,物体Bの運動量それぞれを求めて、ベクトルとして合成したり、最初の運動量を南北方向と東西方向に分解したりして比較することで解決することができます。もともとが北東方向で角度が45°とわかりやすいので、ここでは分解して考えてみます。


まずは最初の物体の質量は、

物体は分裂して3.0kgと2.0kgになったので、もともと5.0kgですね。


分裂前の速さをv0[m/s]とすると、最初の速さの南北方向の成分はv0sin45°,東西方向はv0cos45°ですね。

運動量は分裂の前後で南北方向、東西方向それぞれで保存するので、物体Aの速さをvA[m/s]とすると、

南北方向:5.0・v0sin45°=3.0・vA ・・・@
東西方向:5.0・v0cos45°=2.0・10 ・・・A

Aを計算すると、

5.0・(1/√2)v0=20
        v0=20√2/5.0=4√2[m/s]

v0=4√2を@に代入すると、

5.0・4√2・(1/√2)=3.0・vA

両辺をそれぞれ計算すると、

20=3vA
よって、vA=20/3

有効数字2桁とすると、分裂前の質量は5.0kg,速さは5.6m/s,物体Aの速さは6.7m/sですね。


◆関連問題
一直線上で分裂する場合


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2020年09月03日

高校物理(用語)「弾性衝突」

高校物理(用語)「弾性衝突」

★弾性衝突(elastic collision)

反発係数e=1のときの衝突を(完全)弾性衝突という。

弾性衝突では力学的エネルギーが保存する。


内力のみがはたらく衝突では運動量が保存し、反発係数e=1のときは力学的エネルギーも保存する。という条件で式を立てることがあります。


e=1の弾性衝突に対して、

0≦e≦1のときは「非弾性衝突(inelastic collision)」、e=0のときは「完全非弾性衝突(completely inelastic collision)」といいます。
「非弾性衝突」では力学的エネルギーは減少し、「完全非弾性衝突」では2つの物体は一体となることも覚えておくといいでしょう!


◆関連項目
相対速度、反発係数


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2020年09月02日

高校物理(用語)「剛体」

高校物理(用語)「剛体」

★剛体(rigid body)

力を加えても変形しない大きさのある物体のこと。


主に、力のモーメントを考えるときは、物体を剛体とみなします。

物体が力を受けて回転するとき、現実の物体では力を受けることにより物体が変形して、外力が仕事をしたり弾性エネルギーが蓄えられたりするので、受けた力が全て回転に作用するわけではありませんが、ほとんどの場合は、その変形分は無視できるものとして計算します。


◆関連項目
力のモーメント反発係数弾性衝突


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2020年09月01日

高校物理(用語)「反発係数」

高校物理(用語)「反発係数」

★反発係数(coefficient of restitution)

2つの物体が衝突するとき、その2つの物体の衝突の前後の相対速度の比のこと。「はねかえり係数」とも言う。

「e=−(v'1−v'2)/(v1−v2)」などで表される。

0≦e≦1の値をとり、衝突する2つの物体が硬いほど1に近くなる。

理想的な剛体では、衝突の前後で失われるエネルギーはゼロとなり、e=1となる。この場合を「(完全)弾性衝突」という。


◆関連項目
力学的エネルギーの保存運動量


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2020年08月31日

高校物理(用語)「運動量」

高校物理(用語)「運動量」

★運動量(momentum)

運動量とは物体の運動の激しさを表す値で、「運動量p=質量m×速度v」で表される。


運動量が大きければ、運動している物体を止めにくくなります。

運動量保存の法則は「運動量は内力のみがはたらくときに保存する」と考えます。

イメージ的にエネルギーと似ているので、運動量保存の条件と力学的エネルギーの保存の条件をしっかり対比して覚える必要があります。


◆関連項目
力学的エネルギーの保存反発係数
質量1.5kgの物体Aが右向きに4.0m/sの速さで進み、左向きに2.0m/sで進んできた質量1.0kgの物体Bと衝突し、一体となって同一直線上を運動した


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2020年08月26日

高校物理「力学的エネルギー」「摩擦力」物体が滑った距離

高校物理「力学的エネルギー」「摩擦力」物体が滑った距離

◆問題

粗い水平面上に置かれた質量2.0kgの物体を初速度14m/sで滑らせると、物体はある距離を滑って静止した。物体と水平面との摩擦係数を0.20、重力加速度の大きさを9.8として、次の問いに答えよ。

(1) この運動の前後で、物体の力学的エネルギーの変化はいくらか。

(2) 物体が滑った距離は何mか。


この記事では(2)を解説します。


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◆解説

(1)から、物体の力学的エネルギーの変化量は−196Jであることがわかりました。

力学的エネルギーの変化は、物体がされた仕事と等しいと考えられます。
つまり摩擦力によってされた仕事は196Jです。

仕事W=力F×移動距離s

なので、摩擦力がわかれば、移動距離もわかる。というわけですね。

摩擦力F=摩擦係数μ×垂直抗力N

で、摩擦係数は問題文にあるように0.20,垂直抗力は重力と等しく2.0×9.8=19.6Nだから、

摩擦力F=0.20×19.6=3.92N

ですね。

W=Fsに、W=196,F=3.92を代入して、

196=3.92s
  s=196/3.92
  s=50[m]


前の問題→(1) 物体の力学的エネルギーの変化


◆関連問題
斜面を滑り上がる物体


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2020年08月25日

高校物理「力学的エネルギー」「摩擦力」力学的エネルギーの変化

高校物理「力学的エネルギー」「摩擦力」力学的エネルギーの変化

◆問題

粗い水平面上に置かれた質量2.0kgの物体を初速度14m/sで滑らせると、物体はある距離を滑って静止した。物体と水平面との摩擦係数を0.20、重力加速度の大きさを9.8として、次の問いに答えよ。

(1) この運動の前後で、物体の力学的エネルギーの変化はいくらか。


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◆解説

この問題では、水平面上を滑る物体について考えます。
水平面上なので、物体の高さは変わりません。ということは、位置エネルギーは変化しません。

運動の前後で位置エネルギーは変化しないので、運動エネルギーの変化量が力学的エネルギーの変化量になります。

初速度は14m/sなので、最初の運動エネルギーは

(1/2)・2.0・14^2=14^2=196J

です。

運動後は「静止する」ので、速さはゼロだから運動エネルギーもゼロです。

196Jから0Jになったので、力学的エネルギーの変化は、

0−196=−196J

となります。


次の問題→物体が滑った距離


◆関連問題
斜面を滑り上がる物体
人工衛星の力学的エネルギー


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2020年08月24日

高校物理「力学的エネルギー」「バネの弾性力」外力のする仕事

高校物理「力学的エネルギー」「バネの弾性力」外力のする仕事

◆問題

なめらかな水平面上に置かれたばね定数k[N/m]の軽いばねに、質量m[kg]の小球Pを押し当てて、ばねを自然長からa[m]だけ縮ませた。

(1) 小球Pを静かに放し、ばねの長さが自然長になったときのPの速さv1を求めよ。

(2) ばねの縮みが(1/2)a[m]のときの、小球Pの速さv2を求めよ。

(3) 最初にばねをa[m]縮めるために必要な外力のする仕事Wを求めよ。


この記事では(3)を解説します。


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◆解説

ばねの弾性エネルギーについても、摩擦力等がなければ、力学的エネルギーの保存が成り立ち、(1) 小球Pを静かに放し、ばねの長さが自然長になったときのPの速さv1を求めよ。の解説で求めたように、最初の状態はK=0,U=(1/2)ka^2です。

この最初の状態の「弾性エネルギー」すなわち「ばねの弾性力による位置エネルギー」はU=(1/2)ka^2であり、外力がばねに仕事をしたからこれだけのエネルギーが蓄えられた。と考えられます。

この問題では摩擦がなく、外力のした仕事と弾性エネルギーは等しいので、

W=U=(1/2)ka^2

となります。


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◆関連問題
斜面を滑り上がる物体
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2020年08月20日

高校物理「力学的エネルギー」「バネの弾性力」ばねの縮みが(1/2)a[m]のときの小球Pの速さ

高校物理「力学的エネルギー」「バネの弾性力」ばねの縮みが(1/2)a[m]のときの、小球Pの速さv2を求めよ。

◆問題

なめらかな水平面上に置かれたばね定数k[N/m]の軽いばねに、質量m[kg]の小球Pを押し当てて、ばねを自然長からa[m]だけ縮ませた。

(1) 小球Pを静かに放し、ばねの長さが自然長になったときのPの速さv1を求めよ。

(2) ばねの縮みが(1/2)a[m]のときの、小球Pの速さv2を求めよ。

この記事では(2)を解説します。


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◆解説

(1) 小球Pを静かに放し、ばねの長さが自然長になったときのPの速さv1を求めよ。の解説で求めたように、最初の状態はK=0,U=(1/2)ka^2です。

(a/2)[m]だけ伸びたときは、K=(1/2)mv2^2,U=(1/2)k(a/2)^2ですね。

なめらかな水平面上なので、力学的エネルギーの保存が成り立つので、

(1/2)ka^2=(1/2)k(a/2)^2+(1/2)mv2^2

が得られます。
あとはこれをv2について解けばOKですね!

ka^2=k(a^2/4)+mv2^2
mv2^2=ka^2−k(a^2/4)
mv2^2=(3/4)ka^2
 v2^2=(3/4)ka^2/m
  v2=(a/2)√(3k/m) [m/s]


次の問題→(3) はじめにばねを自然長からa[m]押し込むために必要な外力の仕事Wを求めよ。


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2020年08月19日

高校物理「力学的エネルギー」「バネの弾性力」ばねの長さが自然長になったときのPの速さv1

高校物理「力学的エネルギー」「バネの弾性力」ばねの長さが自然長になったときのPの速さv1

◆問題

なめらかな水平面上に置かれたばね定数k[N/m]の軽いばねに、質量m[kg]の小球Pを押し当てて、ばねを自然長からa[m]だけ縮ませた。

(1) 小球Pを静かに放し、ばねの長さが自然長になったときのPの速さv1を求めよ。


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◆解説

ばねの弾性力についても、力学的エネルギーの保存が成り立ちます。つまり、

「小球のもつ運動エネルギーとばねの弾性力による位置エネルギーの和が一定である」

ということができます。

ばねの弾性力による位置エネルギーUは、「U=(1/2)kx^2」で表されます。
運動エネルギーの「K=(1/2)mv^2」と同じ形の式なので、覚えやすいと思います。

ばねを自然長からa[m]押し込んだ時点では、小球は止まっているのでv=0であり運動エネルギーは0[J]です。
このときの位置エネルギーはU=(1/2)ka^2ですね。

ばねが自然長になったときは、ばねの伸びは0[m]なので位置エネルギーはゼロになります。
つまり、「もともと持っていた位置エネルギーが全て運動エネルギーに変換された」と考えられます。
このときの速さがv1だから、

(1/2)ka^2=(1/2)mv1^2

あとはこれをvについて解いて、

ka^2=mv1^2
mv1^2=ka^2
 v1^2=ka^2/m
  v1=a√(k/m) [m/s]


この場合は「なめらかな平面」なので、摩擦力が働かないため、力学的エネルギーが保存するのでこのように単純に式を作ることができました。
さらに、摩擦力が働かないため、小球は等速直線運動をします。だから、ばねから小球が離れたあとは、小球の位置にかかわらず、速さはv=a√(k/m)のまま一定であることも意識しておくといいでしょう!


次の問題→(2) ばねの縮みが(1/2)a[m]のときの、小球Pの速さv2を求めよ。


◆関連問題
斜面を滑り上がる物体
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2020年08月18日

高校物理(用語)「力学的エネルギーの保存」

高校物理(用語)「力学的エネルギーの保存」

★力学的エネルギー(mechanical energy)

運動エネルギー位置エネルギーの和のこと。
非保存力が仕事をしないとき、力学的エネルギーは一定であり、このことを「力学的エネルギーの保存」という。


運動エネルギーをK,位置エネルギーをU,力学的エネルギーをEとすると、

K+U=E

と表すことができます。

初期状態をK1,U1、変化後の状態をK2,U2として

K1+U1=K2+U2

と式を立てて計算すると解きやすい場合も多いです。


◆関連項目
運動エネルギー位置エネルギー


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posted by えま at 20:00| Comment(0) | 高校物理 | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする

高校物理(用語)「位置エネルギー」

高校物理(用語)「位置エネルギー」

★位置エネルギー(potential energy)

基準と異なる位置にある物体の持つエネルギーのこと。
他の物体に対して仕事をすることができる状態にあるとき、その物体はエネルギー持っている。
エネルギーの単位は仕事や熱量の単位と同じく、主にJ(ジュール)を用いる。


普通の問題で特に何も説明なく「位置エネルギー」と言えば、「重力による位置エネルギー」を表します。

位置エネルギーUは、物体の質量m,重力加速度g,基準面からの高さhを用いて

U=mgh

で表されます。


◆関連項目
運動エネルギー、力学的エネルギーの保存


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2020年08月17日

高校物理(用語)「運動エネルギー」

高校物理(用語)「運動エネルギー」

★運動エネルギー(kinetic energy)

運動している物体が持っているエネルギーのこと。
他の物体に対して仕事をすることができる状態にあるとき、その物体はエネルギー持っている。
エネルギーの単位は仕事や熱量の単位と同じく、主にJ(ジュール)を用いる。


運動エネルギーKは、物体の質量mと、物体の速さvを使って、

K=(1/2)mv^2

と表されます。


◆関連項目
位置エネルギー、力学的エネルギーの保存


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高校物理「力学的エネルギー」斜面を滑り上がる物体

高校物理「力学的エネルギー」斜面を滑り上がる物体

◆問題

水平面に対する傾角θのなめらかな斜面がある。斜面の最下点から斜面を滑り上がるように物体を押し出すとき、その物体が斜面の最高点に達するには、初速をいくらにすれば良いか求めよ。ただし、斜面の長さをl,重力加速度をgとする。


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◆解説

何通りかの解き方が可能ですが、ここでは最も標準的と思われる、力学的エネルギーの保存を使った解き方をやってみます。

斜面がなめらかなので、物体と斜面の間の摩擦はゼロと考えられます。
このような場合は、力学的エネルギーが保存するということができます。
つまり、運動エネルギーをK,位置エネルギーをUとすると

K1+U1=K2+U2

という式が成り立ちます。

ここでは、斜面の最下点がK1,U1、斜面の最高点がK2,U2と考えて式を立てます。

斜面の最下点で物体に与える初速を聞いているので、その初速度をv0とします。
物体の質量は書いてないので、一般的にmとおきます。
最下点の高さは0とするのがノーマルです。

というわけで、

K1=(1/2)m(v0)^2,U1=0

がわかりました。


続いて、K2,U2について考えます。

「最高点までいかせる」ので、最高点では速度がゼロと考えると、K2=0です。

位置エネルギーを考えるためには、斜面の高さが必要です。
今回の問題では、傾角θで、斜面の長さがlなので、斜面の最高点の高さは、l・sinθとなります。
直角三角形において、斜辺がl,左下の角がθ、右下の角が90°だから、縦はl・sinθというわけですね。よって、

U2=mg・l・sinθ

となります。

K1+U1=K2+U2なので、

(1/2)m(v0)^2+0=0+mg・l・sinθ

両辺を2倍してmで割ると、

(v0)^2=2glsinθ
 v0=√(2glsinθ)

ということで、求める初速度は√(2glsinθ)ですね!


◆関連問題
人工衛星の力学的エネルギー


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posted by えま at 14:09| Comment(0) | 高校物理 | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする

2020年08月07日

高校物理(用語)「速さ」「速度」

高校物理(用語)「速さ」「速度」

★速さ(speed)、速度(velocity)

一定時間に進む距離を速度または速さという。
物理では主に[m/s](メートル毎秒)を使う。


国語的には、「速さ」も「速度」もほとんど同じですが、物理ではちゃんと区別して使われます。

「速さ」はスカラーで、「速度」はベクトルです。
つまり、「速さ」は数字の値のみですが、「速度」は「速さプラス方向」を意味します。

「速さ」ならば10+10=20ですが、
「速度」は向きによって互いの速度に及ぼす影響が違うので、10m/sと10m/sの速度を合成しても、20m/sになるとは限りません。


◆関連項目
初速度加速度


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