2019年08月08日

高校物理「運動量」「運動量の保存」「反発係数」

高校物理「運動量」「運動量の保存」「反発係数」

なめらかな水平面上で、質量4.0kgの小球Aが速さ5.0m/sで、同じ向きに速さ1.0m/sで運動している質量2.0kgの小球Bに衝突した。衝突前後は同じ直線上で運動するものとし、反発係数を0.50とする。
(1) 衝突前の小球A,Bの運動量をそれぞれ求めよ。
(2) 衝突後の小球A,Bの速さをそれぞれ求めよ。

今回の問題では、小球A,Bには、互いに及ぼし合う作用反作用の法則による力のみがはたらいています。
このような場合には、「運動量保存の法則」が成り立ちます。

運動量が保存するならば、「衝突前の運動量の和」=「衝突後の運動量の和」ということができます。

今回の問題では、「衝突後の小球A,Bの速さ」を求めるので、その速さをvA,vBとおいて、等式を作ってみましょう!

衝突前の運動量は、(1)で、pA=20,pB=2.0であることがわかりました。
衝突後もそれぞれの質量は変わらないので、Aの運動量は4.0vA,Bの運動量は2.0vBですね。

衝突の前後で運動量は保存するので、

20+2.0=4.0vA+2.0vB
    22=4vA+2vB  ・・・@

未知の数が2つあるので、解くためにはもう一つ式が必要です。
問題文に「反発係数を0.50とする」とありました。これを利用して、もう一つの式を作ってみましょう!

反発係数は、二つの物体の衝突前の相対速度に対する衝突後の相対速度を表しています。
「反発係数が0.50」というのは、要するに、衝突後は小球A,Bの相対速度が半分になる。ことを意味しています。

e=−(vB2−vA2)/(vB1−vA1)

などの式で表すことができます。
eは反発係数、vはそれぞれの速度です。
今回の問題に当てはめてみると、

0.50=−(vB−vA)/(1.0−5.0)
 0.5=−(vB−vA)/(−4)
   2=vB−vA  ・・・A

@,Aを連立して解けば、

vA=3.0[m/s],vB=5.0[m/s]


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高校物理「運動量」

高校物理「運動量」

なめらかな水平面上で、質量4.0kgの小球Aが速さ5.0m/sで、同じ向きに速さ1.0m/sで運動している質量2.0kgの小球Bに衝突した。衝突前後は同じ直線上で運動するものとし、反発係数を0.50とする。
(1) 衝突前の小球A,Bの運動量をそれぞれ求めよ。

運動量とは物体の運動の程度を表す値で、

p=mv

で求めることができます。
ここでのpは運動量,mは質量、vは速度ですね。

つまりは、「運動量=質量×速度」です。


小球A,Bの運動量をそれぞれpA,pBとすると、

pA=4.0×5.0=20[kg・m/s]

pB=2.0×1.0=2.0[kg・m/s]


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2019年07月20日

解答★高校物理問題「平行電流間にはたらく力」「磁界」「磁束密度」

解答★高校物理問題「平行電流間にはたらく力」「磁界」「磁束密度」


問題ページはこちら


真空中に平行に置いた導線A,Bに、同じ向きにI1[A],I2[A]の電流が流れている。2本の導線の間の距離をr[m]として次の問いに答えよ。ただし、真空の透磁率をμ0[Wb/(A・m)]とする。

(1) 導線Aに流れる電流I1が、導線Bの位置につくる磁束密度の大きさB1を求めよ。

導線A,B間の距離はr[m]なので、I1が導線Bの位置につくる磁界は、

H=I/2πr ・・・@

です。
これで磁界を表すことができました。
問題では、「磁束密度B1」を聞いているので、磁界と磁束密度の関係式を使います。

B=μHですね。
今回の問題ではB=B1μ=μ0を代入すれば、

B1=μ0H ・・・A

が得られます。

@にAとI=I1を代入して、

B1=μ0・I1/2πr[T] ・・・B


(2) 導線B上の長さl[m]の部分が、B1から受ける力の大きさFを求めよ。

磁束密度と力の関係式を使います。

F=IBl

導線B上のl[m]の部分にはたらく力を求めるので、電流IはI2を使います。
つまり、I=I2,B=B1と、Bを、F=IBlに代入すると、

F=I2・B1・l
 =I2・(μ0I1/2πr)・l

少し見やすく整理すると、

F=μ0・(I1・I2/2πr)・l[N]


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2019年07月19日

高校物理問題「平行電流間にはたらく力」「磁界」「磁束密度」

高校物理問題「平行電流間にはたらく力」「磁界」「磁束密度」

真空中に平行に置いた導線A,Bに、同じ向きにI1[A],I2[A]の電流が流れている。2本の導線の間の距離をr[m]として次の問いに答えよ。ただし、真空の透磁率をμ0[Wb/(A・m)]とする。

(1) 導線Aに流れる電流I1が、導線Bの位置につくる磁束密度の大きさB1を求めよ。
(2) 導線B上の長さl[m]の部分が、B1から受ける力の大きさFを求めよ。


公式は、

H=I/2πr
B=μH
F=IBl

を使います。


解答解説はこちら


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2019年07月14日

高校物理「電流と磁場」「ソレノイド」

高校物理「電流と磁場」「ソレノイド」

ソレノイドは要するに、中学までの理科のコイルのことです。
円形の直流回路が何個も連なった形をしているので、巻き数が多ければ多いほど、流れる電流が強ければ強いほど、磁場の強さは強くなります。

1mあたりの巻き数をn[回]、流れる電流をI[A],内部の磁場の強さをH[A/m]とすると、

H=nI

という式が成り立ちます。

例えば次のような問題でこの公式を使うことができます。

1mあたり1.0×10^3回巻いたソレノイドがある。これに1.5Aの電流を流すと、ソレノイド内部の磁場の強さは何A/mか。

H=nIにおいて、n=1.0×10^3,I=1.5を代入してね

H=1.0×10^3×1.5
 =1.5×10^3[A/m]

ちなみに磁場の向きは、親指を立てて右手を握ったときの親指の向きと同じになりますね。


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2019年07月11日

高校物理「電流と磁場」「直流電流がつくる磁場」

高校物理「電流と磁場」「直流電流がつくる磁場」

導線を電流が流れているとき、その導線の周りには同心円状に磁場ができます。
導線に近ければ近いほど、電流が強ければ強いほど磁場は強くなります。

I[A]の直流電流からr[m]離れた点の磁場の強さH[A/m]は、次の式で表されます。

H=I/2πr

磁場の向きは、中学理科でも習った「右ねじの法則」で判断することができます。
「ねじを回す向きと磁場の向きが同じ」というわけですね。

この法則を使った基本問題としては、次のようなものがあります。

3.14[A]の直流電流から0.25[m]離れた点の磁場の強さを求めよ。

H=I/2πrに、I=3.14,r=0.25を代入して、

H=3.14/(2π×0.25)

π=3.14とすれば、約分して、

 =1/(2×0.25)
 =1/0.5
 =2.0[A/m]

A/m=N/Wbなので、単位に指定がなければ2.0[N/Wb]と答えることもできます。


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高校物理「電流と磁場」「磁極が受ける力」

高校物理「電流と磁場」「磁極が受ける力」

時局の強さを表す量を磁気量といい、その値は単位Wbで表されます。

2つの磁極間にはたらく磁気力F[N]は、静電気力のクーロンの法則の式と同じ形の式で表すことができます。
それぞれの磁気量をm1[Wb],m2[Wb],磁極間の距離をr[m],比例定数をkmとすると、

F=km・m1m2/r^2

という式が成り立ちます。
クーロンの法則や万有引力の法則の式と同じ形なので、それらとの関連をイメージしながら覚えるとよいと思います。
要するに、お互いの磁極はお互いに力を及ぼし合う。という式です。
電荷が互いに力を及ぼすのと同じですね。

さらに、磁場中で磁極が受ける力は、H[N/Wb]の磁場中にあるm[Wb]の磁極が受ける磁気力F[N]は、

F=mH

と表すことができます。
これも、電場の中の電荷は力を受ける。というのと同じですね。


これらの性質を使って、例えば次のような問いに簡単に答えることができます。

25[A/m]の磁場中で、2.0×10^(-8)Wbの磁極が受ける磁気力の大きさは何Nか。

A/m=N/Wbなので、F=mHにH=25,m=2.0×10^(-8)を代入して、

F=2.0×10^(-8)×25
 =50×10^(-8)
 =5.0×10(-7)[N]


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2019年07月07日

解答★高校物理問題「力学」「物体の運動」「斜方投射」

解答★高校物理問題「力学」「物体の運動」「斜方投射」

水平な地面から、仰角30°で速さ40m/sで小球を打ち上げた。打ち上げた点を原点Oとし、水平方向をx軸,鉛直方向をy軸として次の各問に答えよ。

(1) 初速度のx成分,y成分を求めよ。

「仰角30°」なので、cos30°,sin30°を使います。
初速度のx成分は「初速×cos30°」,y成分は「初速×sin30°」です。

この問題では、初速は40m/sなので、

x成分=40×cos30°
   =40×√3/2
   =20√3[m/s]

y成分=40×sin30°
   =40×1/2
   =20[m/s]


(2) 打ち上げてから0.20s後の速度のx成分,y成分を求めよ。

小球が空中で受ける力は重力のみなので、x成分は変化なし。y成分は等加速度運動と同じ。と考えます。

x成分は初速と同じなので、(1)で求めた20√3[m/s]

y成分は初速は上向きに20[m/s]で、重力加速度は下向きに9.8[m/s^2]なのでマイナスにしてv=v0+atに代入します。

v=20−9.8×0.2
 =20−1.96
 =18.04

有効数字を2桁とすれば、18[m/s]


(3) 最高点に達するまでにかかる時間と、最高点の高さを求めよ。

最高点は運動の方向がわかる瞬間です。
最高点の直前までは上向きに運動していますが、最高点を過ぎると下向きの運動に変わります。
だから、「最高点=速度ゼロ」という条件で式を作ります。

v=v0+atに、v=0,v0=20,a=−9.8を代入して、

0=20−9.8t
9.8t=20
   t=20/9.8≒2.04…

有効数字を2桁とすれば、t=2.0[s]

「最高点の高さ」は、つまり、2.0s後の位置なので、x=v0t+(1/2)at^2に、x=h,v0=20,t=2,a=−9.8を代入して、

h=20×2−(1/2)・9.8・2^2
 =40−19.6
 =20.4[m]

または、v^2−v0^2=2axに代入してもOKです!


(4) 小球が最高点を通過したあと地面に落下したときの水平到達距離を求めよ。

理想的な放物運動では、小球の軌跡は、最高点を頂点とする放物線になります。
数学でもやっているように、放物線は左右対称なので、落下するまでの時間は、最高点に達する時間の2倍になります。

今(3)で、最高点の時間はt=20/9.8≒2.0とわかったので、落下する時間はこれの2倍です。

水平方向は一定の速度で運動するので加速度はゼロ。初速度は20√3,t=20/9.8の2倍。これらは距離の公式x=v0t+(1/2)at^2に代入すると、

x=20√3・40/9.8+0
 =34.6・20/4.9
 =692/4.9
 ≒141

有効数字を2桁とすれば、1.4×10^2[m]


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高校物理問題「力学」「物体の運動」「斜方投射」

高校物理問題「力学」「物体の運動」「斜方投射」

水平な地面から、仰角30°で速さ40m/sで小球を打ち上げた。打ち上げた点を原点Oとし、水平方向をx軸,鉛直方向をy軸として次の各問に答えよ。

(1) 初速度のx成分,y成分を求めよ。
(2) 打ち上げてから0.20s後の速度のx成分,y成分を求めよ。
(3) 最高点に達するまでにかかる時間と、最高点の高さを求めよ。
(4) 小球が最高点を通過したあと地面に落下したときの水平到達距離を求めよ。


高校物理の力学で、必ず解けないと困る問題「斜方投射」です。
必ず解けないと困りますが、物理の最初の関門だと思います。
物体の運動を図示する。
速度を分解する。
問題文から読み取れた条件を式で表す。
など、スムーズにできるようにしていきたいですね!


解答解説はこちら


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2019年07月06日

解答★高校物理基本問題「運動方程式」

解答★高校物理基本問題「運動方程式」

質量10kgの物体がなめらかな水平面上に置かれている。重力加速度を9.8m/s^2として次の問いに答えよ。

(1) この物体にはたらく重力を求めよ。

重力も力なので、F=maで全く問題ありません。
Fは力(N),mは質量(kg),aは加速度(m/s^2)ですね。

(重力)=10×9.8=98[N]


(2) この物体を30Nの力で水平方向に引っ張ったときの、物体の加速度を求めよ。

これも運動方程式F=maで解決します。
物体の質量10kg,力30Nがわかっているので、F=maに代入して、

30=10a
 a=3

有効数字を2桁とすれば、3.0[m/s^2]


(3) この物体が水平方向に0.50m/s^2の等加速度運動をするとき、物体にはたらく水平方向の力は何Nか求めよ。

今度は加速度がわかっています。
だから特別な方程式を・・・なんてことはありません(笑)
質量10kg,加速度0.50を代入すると、

F=10×0.50=5

有効数字を2桁とすれば、5.0[N]

(2), (3)では「なめらかな水平面上」の「水平方向」の運動なので摩擦力も働かず、鉛直方向の力はつり合っているので、重力については考慮する必要がありませんでした。


(4) この物体が鉛直上方に0.50m/s^2の等加速度運動をするとき、物体にはたらく鉛直上向きの力は何Nか求めよ。

鉛直上方に運動するということは、重力に逆らって上向きに動かすので、重力よりも大きい力が必要です。

つまり、

「重力」+「0.50m/s^2の加速度を生じる分の力」を加えた場合に、鉛直上方に0.50m/s^2の等加速度運動をするはずです。

重力は(1)で求めた98N,0.50m/s^2の加速度を生じる力は(3)で求めた5.0Nなので、

98+5=103[N]

というわけです。


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2019年07月05日

高校物理基本問題「運動方程式」

高校物理基本問題「運動方程式」

質量10kgの物体がなめらかな水平面上に置かれている。重力加速度を9.8m/s^2として次の問いに答えよ。

(1) この物体にはたらく重力を求めよ。
(2) この物体を30Nの力で水平方向に引っ張ったときの、物体の加速度を求めよ。
(3) この物体が水平方向に0.50m/s^2の等加速度運動をするとき、物体にはたらく水平方向の力は何Nか求めよ。
(4) この物体が鉛直上方に0.50m/s^2の等加速度運動をするとき、物体にはたらく鉛直上向きの力は何Nか求めよ。


(4)だけ少し注意が必要ですが、全て基本問題ですね。
サクッと解いていきましょう!


解答解説はこちら


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2019年07月03日

高校物理「力学」「惑星の運動」「運動方程式」「ケプラーの第3法則」

高校物理「力学」「惑星の運動」「運動方程式」「ケプラーの第3法則」

惑星が、太陽のまわりを等速円運動しているとする。太陽の質量をM,惑星の質量をm,惑星の公転の速さをv,軌道半径をr,万有引力定数をGとする。

(1) 惑星の等速円運動の運動方程式を示せ。

(2) (1)の運動方程式を用いて、ケプラーの第3法則T^2/r^3=kを導け。ただし、Tは公転周期、kは定数とする。

(1)で、「GM=v^2・r」を求めました。

この式を利用して、ケプラーの第3法則を導きます。

惑星の速さをvとすると、円運動の公式から、T=2πr/vという関係式が得られます。
これをvについて解いて、「GM=v^2・r」に代入すれば、まずはvを消去することができます。
やってみましょう!

T=2πr/vより、v=2πr/T

GM=(2πr/T)^2・r
GM=(4π^2・r^2/T^2)・r
GM=(4π^2・r^3/T^2)

両辺に、T^2/r^3を掛けると、

GM(T^2/r^3)=4π^2
  T^2/r^3=4π^2/GM

4π^2/GM=kとすると、

T^2/r^3=k

ということで、ケプラーの第3法則T^2/r^3=kを導くことができました。


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2019年06月30日

高校物理「力学」「惑星の運動」「運動方程式」

高校物理「力学」「惑星の運動」「運動方程式」

惑星が、太陽のまわりを等速円運動しているとする。太陽の質量をM,惑星の質量をm,惑星の公転の速さをv,軌道半径をr,万有引力定数をGとする。

(1) 惑星の等速円運動の運動方程式を示せ。

運動方程式なので、F=maです。
F=maに、与えられた値を利用して代入していけばいい。と考えます。

まず、万有引力の大きさFは、次の式で表されます。

F=G(m1m2/r^2)

今回の問題では、m1=M,m2=mと考えて、太陽と惑星の間にはたらく引力は、

F=GMm/r^2  ・・・@

ですね。
これが惑星にはたらく向心力です。F=maのFです。

運動方程式を示すためには、あとは、aを表す必要がありますね。
等速円運動の運動方程式においてaは向心加速度なので、円運動の公式を用いて、aを表します。

a=rω^2=v^2/rだから、今回の問題で与えられているパラメータを使うと、a=v^2/r・・・Aです。

F=maに、@,Aを代入して、

GMm/r^2=m・v^2/r

問いは「示せ」というだけでなので、ここで終わりでも構いませんが、両辺にr^2/mを掛けると少しすっきりした式になります。

GM=v^2・r


次の問題→(1)の運動方程式を用いて、ケプラーの第3法則T^2/r^3=kを導け。


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2019年06月27日

高校物理「電気」「電荷と電流」

高校物理「電気」「電荷と電流」

断面積2.0×10^(-6)m^2のアルミニウムの導線に、4.8Aの電流が流れているとき、自由電子の流れる速さを求めよ。ただし、アルミニウム1m^3あたりの自由電子の数を6.0×10^28個、電子の電荷を−1.6×10^(-19)Cとする。

導線の断面積、電荷、電流などのパラメータが与えられている場合は、

I=envS

を使います。
つまりは、一定の時間にどれだけの電気量が通過するか?を表した式です。

Iは、オームの法則でもおなじみの電流
eは、電子1個の電荷
nは、1m^3あたりの自由電子の数
vは、自由電子の平均の速さ
Sは、導線の断面積

です。
これら5つのパラメータのうち、4つがわかれば残り一つがわかる。と理解しておくと使いやすいです。
それぞれの文字が何を表すか、そしてenvSを掛けたら、1秒間に通過する電気量になることを理解して覚えると良いと思います。

今回の問題では、I=4.8[A],e=−1.6×10^-19)[C],n=6.0×10^28[個],S=2.0×10^(-6)[m^2]が与えられていています。
これで5つの文字のうち4つがわかったので、代入して計算すればvが出ますね!
やってみましょう!

4.8=−1.6×10^(-19)×6.0×10^28×v×2.0×10^(-6)

vについて解くと、

v=4.8/{−1.6×10^(-19)×6.0×10^28×2.0×10^(-6)}
 =−3/(12×10^3)   ←約分した
 =−(1/4)×10^(-3)   ←さらに約分し、「定数×10^n」の形にした
 =−0.25×10^(-3)
 =−2.5×10^(-4)[m/s]   ←0.25=2.5×10^(-1)


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2019年06月20日

高校物理「力学」「運動方程式」「台車」「摩擦力」

高校物理「力学」「運動方程式」「台車」「摩擦力」

質量mの台車Aと質量Mの物体Bを軽い糸でつなぎ、糸がたるまないようにして水平面上にAを左にBを右に置く。Aと地面との間には摩擦はないが、Bと地面との間には摩擦があり、動摩擦係数をμ'とする。重力加速度の大きさをgとして、次の各問いに答えよ。

(1) Bに大きさFの力を右向きに加えると、A,Bが運動を始めた。このときBが受ける動摩擦力の大きさはいくらか。

(2) (1)のとき、A,Bの加速度の大きさaと、AB間の糸の張力の大きさTを求めよ。


(1)で条件を整理する段階で、力を表しました。

台車A:
重力はmg、垂直抗力もmg、糸の張力はT

物体B:
重力はMg、垂直抗力もMg、糸の張力T、動摩擦力はμ'Mg

これらを使って運動方程式を立ててみましょう!

台車A:
台車Aは、糸に引っ張られて加速度を得ているので、

T=ma  ・・・@

物体B:
物体Bは、力Fで引っ張られることによって動きますが、
それによって進行方向と反対方向に動摩擦力がはたらき、
Aと連結されているので糸によって張力Tで引っ張られます。

つまり、

F−μ'Mg−T=Ma  ・・・@

これでaとTについての式が2つできました。
あとはこれらを連立して解けばOKですね!

@をAに代入して、

F−μ'Mg−ma=Ma

Ma+ma=F−μ'Mg
a(M+m)=F−μ'Mg
    a=(F−μ'Mg)/(M+m)  ・・・B

Bを@に代入して、

T=m(F−μ'Mg)/(M+m)


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高校物理「力学」「運動方程式」「台車」「摩擦力」

高校物理「力学」「運動方程式」「台車」「摩擦力」

質量mの台車Aと質量Mの物体Bを軽い糸でつなぎ、糸がたるまないようにして水平面上にAを左にBを右に置く。Aと地面との間には摩擦はないが、Bと地面との間には摩擦があり、動摩擦係数をμ'とする。重力加速度の大きさをgとして、次の各問いに答えよ。

(1) Bに大きさFの力を右向きに加えると、A,Bが運動を始めた。このときBが受ける動摩擦力の大きさはいくらか。

まずはA,Bそれぞれにかかる力を一つ一つ表していきましょう!

台車A:
重力はmgで、垂直抗力もmgです。そして糸の張力がわからないのでTとしておきます。
Aには摩擦力ははたらかないことが問題文に書いてあります。

物体B:
重力はMgで、垂直抗力もMgです。糸の張力はやはりTで、BはFの力で右向きに引っ張られています。
さらに、Bには摩擦力がはたらいています。
摩擦力=摩擦係数×垂直抗力で、この場合は、摩擦係数はμ',垂直抗力はMgなので、

動摩擦力=μ'Mg

ですね。

この問題では、この動摩擦力を聞いているので、これで完成です!


(2) (1)のとき、A,Bの加速度の大きさaと、AB間の糸の張力の大きさTを求めよ。


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高校物理「力学」「運動方程式」「滑車でつながれた物体」「斜面」「摩擦力」

高校物理「力学」「運動方程式」「滑車でつながれた物体」「斜面」「摩擦力」

側面が三角形の三角柱の台の上に物体を置き、物体を滑らせる実験をする。側面の三角形は30°,60°,90°の直角三角形で、60°の角が上になるように水平面上に置き、60°の角の先端に滑車をつけた。この台の斜面上に質量8.0kgの物体Aをおき、軽いひもをつけて滑車にかけ、質量6.0kgの物体Bをつけて静かにはなした。重力加速度を9.8m/s^2とする。

(1) A,Bの加速度の大きさと、ひもの張力の大きさを求めよ。

(2) 次に、斜面に摩擦があり、Aとの間の静止摩擦係数を0.50,動摩擦係数を0.40とする。Bを静かにはなしたとき、A,Bは動き出すか、静止したままか答えよ。

(3) (2)の状態のあと、ひもがたるまないようにBの下向きの初速度を与え、物体Aを斜面に沿って上向きに滑らせた。滑っている間のA,Bの加速度の大きさと、ひもの張力の大きさを求めよ。

物体A,Bにかかる重力とその分力に関しては、引き続き(1)と同じです。
すなわち、

物体A:
斜面に対して垂直な方向の重力の分力=78.4×cos30°=39.2×√3N
斜面に対して平行な方向の重力の分力=78.4×sin30°=39.2N

物体B:
重力=58.8N

今度は物体Aを滑らせているので、摩擦力には動摩擦係数0.40を使って、

動摩擦力=0.40×39.2√3=15.68√3Nです。

動摩擦力は進行方向と反対にはたらくので、この場合のひもの張力をT、物体Aの加速度をaとして物体Aが受ける斜面に平行な力について運動方程式を立てると、

T−15.68√3−39.2=8.0a  ・・・@

物体Bについても同様に運動方程式を立てると、

58.8−T=6.0a  ・・・A

これらを連立して解くと、@+Aより、

−15.68√3−39.2+58.8=8.0a+6.0a
−15.68√3+19.6=14a

a=(−15.68√3+19.6)/14
 =−1.12√3+1.5
 ≒−1.9376+1.5
 ≒−0.4376

a=0.4376をAに代入すると、

58.8−T=6.0×0.4376
58.8−T=2.616
T=58.8+2.616=61.416

よって、物体A,Bの加速度は0.44m/s^2,ひもの張力は61N


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高校物理「力学」「運動方程式」「滑車でつながれた物体」「斜面」「摩擦力」

高校物理「力学」「運動方程式」「滑車でつながれた物体」「斜面」「摩擦力」

側面が三角形の三角柱の台の上に物体を置き、物体を滑らせる実験をする。側面の三角形は30°,60°,90°の直角三角形で、60°の角が上になるように水平面上に置き、60°の角の先端に滑車をつけた。この台の斜面上に質量8.0kgの物体Aをおき、軽いひもをつけて滑車にかけ、質量6.0kgの物体Bをつけて静かにはなした。重力加速度を9.8m/s^2とする。

(1) A,Bの加速度の大きさと、ひもの張力の大きさを求めよ。

(2) 次に、斜面に摩擦があり、Aとの間の静止摩擦係数を0.50,動摩擦係数を0.40とする。Bを静かにはなしたとき、A,Bは動き出すか、静止したままか答えよ。

物体A,Bにかかる重力とその分力に関しては、(1)と同じです。
すなわち、

物体A:
斜面に対して垂直な方向の重力の分力=78.4×cos30°=39.2×√3N
斜面に対して平行な方向の重力の分力=78.4×sin30°=39.2N

物体B:
重力=58.8N

この場合は摩擦があるので、物体Aと斜面との間の摩擦力を表す必要があります。

摩擦力はf=μNつまり、摩擦係数×垂直抗力で求められます。
糸の張力は、斜面に対して平行に働いているので、垂直抗力には影響ありません。
ならば、「物体Aの重力の垂直成分=垂直抗力」ということができます。

静止摩擦係数は0.50、垂直抗力は39.2×√3だから、最大摩擦力は

fmax=0.50×39.2√3=19.6√3N

です。

物体Aにかかる水平方向の力がこれより大きければAは動く。小さければ動かない。というわけですね。

物体Aの重力の水平方向の分力は、39.2Nでした。
これと反対向きに物体Bの重力58.8Nが糸を伝わって働きます。

つまり、物体Aが受ける斜面に対して水平な方向の力は、58.8−39.2=19.6Nです。

19.6√3>19.6なので、摩擦力の方が大きいから、物体Aは動かない。ということがわかります。


次の問題→(2)の状態のあと、ひもがたるまないようにBの下向きの初速度を与え、物体Aを斜面に沿って上向きに滑らせた。滑っている間のA,Bの加速度の大きさと、ひもの張力の大きさを求めよ。


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高校物理「力学」「運動方程式」「滑車でつながれた物体」「斜面」「摩擦力」

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側面が三角形の三角柱の台の上に物体を置き、物体を滑らせる実験をする。側面の三角形は30°,60°,90°の直角三角形で、60°の角が上になるように水平面上に置き、60°の角の先端に滑車をつけた。この台の斜面上に質量8.0kgの物体Aをおき、軽いひもをつけて滑車にかけ、質量6.0kgの物体Bをつけて静かにはなした。重力加速度を9.8m/s^2とする。

(1) A,Bの加速度の大きさと、ひもの張力の大きさを求めよ。

まず、物体A,Bには重力がかかります。
Aの質量は8.0kg,Bの質量は6.0kgなので、

Aの重力=8.0×9.8=78.4N
Bの重力=6.0×9.8=58.8N

Aは斜面上にあるので、斜面に対して垂直な方向と平行な方向に重力を分解します。

斜面に対して垂直な方向の重力の分力=78.4×cos30°=39.2×√3N
斜面に対して平行な方向の重力の分力=78.4×sin30°=39.2N

まずは重力に関して、以上の値がわかりました。
これらの値を使って、物体A,Bそれぞれについて運動方程式を立ててみましょう!

物体A,Bは糸に引っ張られているのでその張力をT,物体の加速度をaとすると、

物体Aは、T>39.2なので、
T−39.2=8.0a  ・・・@

物体Bは、T<58.8なので
58.8−T=6.0a  ・・・A

あとはこれらを連立して解けば、a,Tがわかりますね!

@+Aより、
−39.2+58.8=8.0a+6.0a
      19.6=14a
         a=1.4[m/s^2]

a=1.4を@に代入して、
T−39.2=8.0×1.4
     T=11.2+39.2
     T=50.4[N]

次の問題→(2) 次に、斜面に摩擦があり、Aとの間の静止摩擦係数を0.50,動摩擦係数を0.40とする。Bを静かにはなしたとき、A,Bは動き出すか、静止したままか答えよ。


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2019年06月17日

高校物理「力学」「運動方程式」「連結された物体」

高校物理「力学」「運動方程式」「連結された物体」

この記事では、次の問題を「A,Bそれぞれの運動方程式を立てて」解く場合について解説します。
基本的な考え方のパターンについては、別の記事をご覧ください。

なめらかな水平面上に、質量6.0kgの物体Aと質量4.0kgの物体Bがあり糸で結ばれている。Aが右側にありBは左側にあるとする。Aを右向きに50Nの力で引く場合、物体A,物体Bの加速度の大きさと糸の張力を求めよ。


前提条件として、「なめらかな水平面上」なので、摩擦力はなく、重力は水平方向の運動に関係しないので、50Nと糸の張力について考えればOKです。


物体Aは、まず「右向きに50Nの力」で引っ張られます。
それと同時に、左向きに糸に引かれます。この糸の張力をTとすると、物体Aにはたらく力は50−T[N]です。
物体Aの質量は6.0kgなので、F=maにそれぞれ代入すると、

50−T=6.0a  ・・・@

という式ができます。


物体Bは糸に引っ張られて加速します。
糸の張力はT,Bの質量は4.0kgなので、

T=4.0a  ・・・A

という式ができます。

あとは、@とAを連立して解けばOKですね!

@にAを代入して、

50−4.0a=6.0a
4.0a+6.0a=50
10a=50
  a=5

a=5をAに代入して、T=4.0×5=20

よって、加速度は5.0[m/s^2],張力は20[N]

と求めることができました!


物体A,物体Bをひとまとまりの物体とみなして解く方法については、別の記事に掲載します。


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