2023年11月20日

高校物理「電気」内部抵抗rの電池と可変抵抗器の回路C

高校物理「電気」内部抵抗rの電池と可変抵抗器の回路C

◆問題

内部抵抗r,起電力Eの電池と可変抵抗からなる回路がある。可変抵抗器は0からrよりも大きな有限の値まで抵抗値を変化させることができるとして、次の問いに答えよ。


参考図

┌[抵抗器]┐
│    │
└[電池]─┘

(1) 可変抵抗器にかかる電圧Vと、流れる電流Iの関係を式で示せ。

(2) 可変抵抗器の消費電力Pを、V,E,rを用いて表せ。

(3) 電力Pが最小になるときのVの値と、Pの最小値を求めよ。

(4) 電力Pが最大になるときのVの値と、Pの最大値を求めよ。


↓(4)の解答解説はお知らせの下↓


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適切な時期に適切な対策をすれば、どんな目標でも達成可能です。志望校を諦める前に、まずは一度ご相談ください。


◆解説

(3)でも触れたように、PはVについての2次関数です。
(2)で求めた式を平方完成すると、

P=−(1/r)(V−E/2)2+E2/4r

となり、頂点は

(E/2,E2/4r)

となることがわかっています。
さらに、定義域は0≦V<Eです。

頂点がこの定義域内にあるので、最大値は頂点のところになります。

つまり、V=E/2のときPの最大値E2/4r


最初に戻る→(1) 可変抵抗器にかかる電圧Vと電流Iの関係


◆関連項目
電気・磁気まとめ

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2023年11月19日

高校物理「電気」内部抵抗rの電池と可変抵抗器の回路B

高校物理「電気」内部抵抗rの電池と可変抵抗器の回路B

◆問題

内部抵抗r,起電力Eの電池と可変抵抗からなる回路がある。可変抵抗器は0からrよりも大きな有限の値まで抵抗値を変化させることができるとして、次の問いに答えよ。


参考図

┌[抵抗器]┐
│    │
└[電池]─┘

(1) 可変抵抗器にかかる電圧Vと、流れる電流Iの関係を式で示せ。

(2) 可変抵抗器の消費電力Pを、V,E,rを用いて表せ。

(3) 電力Pが最小になるときのVの値と、Pの最小値を求めよ。


↓(3)の解答解説はお知らせの下↓


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◆解説

(2)で「P=V(E−V)/r」を求めました。

これが最小になるときを考えます。

PはVが変化すると、それにともなって値が変わります。
式を見ると、Vについての2次関数と考えることができますね。
つまり、普通の2次関数の最大最小と同様のことをやればいい。というわけです。
まずは平方完成してみましょう!

P=(EV−V2)/r
 =−(1/r)V2+(E/r)v
 =−(1/r)(V2−EV)
 =−(1/r){(V−E/2)2−E2/4}
 =−(1/r)(V−E/2)2+E2/4r

横軸V,縦軸Pの2次関数の頂点が(E/2,E2/4r)だから、
V=E/2のときPが最大になることがわかります。
(3)では最小値を聞いているので、Vの定義域についていも考えます。

可変抵抗器の値が0のときVの値も0となるので、この2次関数の左端はV=0になると判断できるはずです。
そして、rの値をどんどん大きくしていくとVの値も大きくなり、V=Eに近づくものの、rの値は有限なので、完全にV=Eにはなりません。
V=EのときにI=0になりP=0となり、V=Eには達しないので、Vの定義域は「0≦V<E」と考えられます。

つまり、V=0のときPの最小値0


次の問題→電力Pが最大のとき


◆関連項目
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2023年11月17日

高校物理「電気」内部抵抗rの電池と可変抵抗器の回路A

高校物理「電気」内部抵抗rの電池と可変抵抗器の回路A

◆問題

内部抵抗r,起電力Eの電池と可変抵抗からなる回路がある。可変抵抗器は0からrよりも大きな有限の値まで抵抗値を変化させることができるとして、次の問いに答えよ。


参考図

┌[抵抗器]┐
│    │
└[電池]─┘

(1) 可変抵抗器にかかる電圧Vと、流れる電流Iの関係を式で示せ。

(2) 可変抵抗器の消費電力Pを、V,E,rを用いて表せ。


↓(2)の解答解説はお知らせの下↓


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◆解説

消費電力はもちろん、P=VIです。

問題の指示によりIを消去する必要があるので、(1)の解答を利用します。

(1)より、V=E−rIだから、これをIについて解いて、

 V=E−rI
rI=E−V
 I=(E−V)/r

これをP=VIに代入すると、

P=V(E−V)/r


次の問題→電力Pが最小のとき


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2023年11月16日

高校物理「電気」内部抵抗rの電池と可変抵抗器の回路@

高校物理「電気」内部抵抗rの電池と可変抵抗器の回路@

◆問題

内部抵抗r,起電力Eの電池と可変抵抗からなる回路がある。可変抵抗器は0からrよりも大きな有限の値まで抵抗値を変化させることができるとして、次の問いに答えよ。


参考図

┌[抵抗器]┐
│    │
└[電池]─┘

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◆解説

電池の内部抵抗と可変抵抗は、直列につながった抵抗と考えられます。

この回路に電流Iが流れているので、電池の内部抵抗での電位降下は、rIとなります。

電池の起電力はEだから、この電位降下分の引いた残りが可変抵抗器にかかる電圧となります。

つまり、求める電圧Vは、

V=E−rI


次の問題→可変抵抗器での消費電力


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2023年11月03日

高校物理「電流」電流計・電圧計A

高校物理「電流」電流計・電圧計A

◆問題

内部抵抗5.0×10-2Ω、測定範囲10mAの電流計がある。

(1) この電流計を、測定範囲が1Aの電流計とするには、何Ωの抵抗をどのようにつなげばよいか答えよ。

(2) この電流計を測定範囲が10Vの電圧計として利用するには、何Ωの抵抗をどうつなげばよいか答えよ。


↓(2)の解答解説はお知らせの下↓


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◆解説

電流計と抵抗を直列につなげば、それらの抵抗値の比から抵抗にかかる電圧を求めることができる。すなわち電流計を電圧計として利用することができる。というわけです。

「測定範囲が10Vの電圧計」として使うので、電流計と抵抗全体に10Vの電圧がかかって、10mAの電流が流れるようにします。
つまり、合成抵抗が

10/0.01=1000Ω

になればOKというわけです。
電流計の抵抗値は5.0×10-2Ωだから、求める抵抗値をRとすると、

R=1000−5.0×10-2
 =999.95

有効数字を2ケタとすれば、

R=1.0×103Ω


(1)に戻る→測定範囲が1Aの電流計とするとき


◆関連項目
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2023年11月02日

高校物理「電流」電流計・電圧計@

高校物理「電流」電流計・電圧計@

◆問題

内部抵抗5.0×10-2Ω、測定範囲10mAの電流計がある。

(1) この電流計を、測定範囲が1Aの電流計とするには、何Ωの抵抗をどのようにつなげばよいか答えよ。


↓解答解説はお知らせの下↓


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◆解説

「測定範囲10mA」の電流計を用いて「測定範囲が1A」にするということは、全体で1Aの電流が流れるようにして、この電流計には10mAの電流が流れるように抵抗を接続すればOKということができます。

ということは、電流計には10mA,抵抗には990mAの電流が流れることになります。
並列接続にして枝分かれさせれば、このように電流を分けることが可能ですね。
ちなみに、もし直列接続した場合は両方に同じ電流が流れます。

並列接続ならば、電流計と抵抗には同じ電圧がかかります。
同じ電圧ならば、電流計の抵抗値は抵抗の99倍になるはずです。

求める抵抗値をRとすれば、

99R=5.0×10-2
  R=(5/99)×10-2
  R=0.05050…×10-2

有効数字を2ケタとすれば、

R=5.1×10-4


次の問題→電圧計として利用するとき


◆関連項目
電気・磁気まとめ


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2023年10月31日

高校物理「力学」2022年共通テスト第2問より。物体の運動E

高校物理「力学」2022年共通テスト第2問より。物体の運動E

◆問題

第2問 物体の運動に関する探求の過程について、後の問いに答えよ。


問1はこちら
問2はこちら
問3はこちら
問4はこちら
問5はこちら

問6 次に、図4のように、水平右向きに速度Vで等速直線運動する質量M2の台車に質量m2のおもりを落としたところ、台車とおもりが一体となって速度Vと同じ向きに速度V2で等速直線運動した。ただし、おもりは鉛直下向きに落下して速さv2で台車に衝突したとする。VとV2が満たす関係式を説明する文として最も適当なものを、後の@〜Dのうちから1つ選べ。[ 13 ]



@ おもりは鉛直下向きに運動して衝突したので、水平方向の速度は変化せず、V=V2である。
A 全運動量が保存するので、M2V+m2v2=(M2+m2)V2が成り立つ。
B 運動量の水平成分が保存するので、M2V=(M2+m2)V2が成り立つ。
C 全運動エネルギーが保存するので、(1/2)M2V^2+(1/2)m2v2^2=(1/2)(M2+m2)V2^2が成り立つ。
D 運動エネルギーの水平成分が保存するので、(1/2)M2V^2=(1/2)(M2+m2)V2^2が成り立つ。


解答はこのページ下に掲載します。


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◆解答

選択肢にも式が書いてありますが、速さや運動量についてどんなことが言えるかがわかれば事実上計算は不要です。

「水平右向きに速度Vで等速直線運動する質量M2の台車に質量m2のおもりを落としたところ、台車とおもりが一体となって速度Vと同じ向きに速度V2で等速直線運動した」

という設定です。
おもりを落とす前と後では、台車の質量がおもりの分だけ増えたことになります。
水平方向には力は加わっていないので、V>V2となり、@は違います。

おもりは鉛直下向きに落下します。落とした後はおもりと台車は水平方向にのみ移動します。つまり、鉛直方向の速さはゼロで、運動量もゼロです。
ということは、鉛直方向の運動量は保存せず、全運動量も保存しません。Aも間違いです。
水平方向には外部から力が加わっていないので、水平方向の運動量は保存します。というわけで、Bが正解です。

力学的エネルギーは振り子やバネ、重力のみの場合に保存するので、台車に物体を落とした場合は保存しません。C,Dは不適切です。


というわけで、B運動量の水平成分が保存するので、M2V=(M2+m2)V2が成り立つ。が正解です!


問1に戻る


◆関連項目
等加速度運動まとめ力〜エネルギーまとめ運動量まとめ


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2023年10月30日

高校物理「力学」2022年共通テスト第2問より。物体の運動D

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◆問題

第2問 物体の運動に関する探求の過程について、後の問いに答えよ。


問1はこちら
問2はこちら
問3はこちら
問4はこちら

 さらに、Bさんは、一定の速さで運動をしている物体の質量を途中で変えるとどうなるだろうかという疑問を持ち、次の2通りの実験を行った。

問5 小球を発射できる装置がついた質量M1の台車と、質量m1の小球を用意した。この装置は、台車の水平な上面に対して垂直上向きに、この小球を速さv1で発射できる。図3のように、水平右向きに速度Vで等速直線運動する台車から小球を打ち上げた。このとき、小球の打ち上げの前後で、台車と小球の運動量の水平成分の和は保存する。小球を打ち上げる直前の速度Vと、小球を打ち上げた直後の台車の速度V1の関係式として正しいものを、後の@〜Eのうちから1つ選べ。[ 12 ]



@ V=V1
A (M1+m1)V=M1V1
B M1V=(M1+m1)V1
C M1V=m1V1
D (1/2)(M1+m1)V^2=(1/2)M1V1^2
E (1/2)(M1+m1)v^2=(1/2)M1V1^2+(1/2)m1v1^2


解答はこのページ下に掲載します。


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◆解答

「小球の打ち上げの前後で、台車と小球の運動量の水平成分の和は保存する」とあるので、小球の打ち上げ後も、台車と小球の水平方向の速さは変わらない。ということができます。

打ち上げ前は、台車と小球は一体となって速度Vで移動していました。
打ち上げ後は、台車と小球はバラバラに動きますが、それぞれの質量か変わらないので、運動量の水平成分の和が保存するなら速さも変わらない。というわけですね。

ならば、@V=V1が正解です。


次の問題→台車に小球を落としたとき


◆関連項目
等加速度運動まとめ力〜エネルギーまとめ運動量まとめ


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高校物理「力学」2022年共通テスト第2問より。物体の運動C

高校物理「力学」2022年共通テスト第2問より。物体の運動C

◆問題

第2問 物体の運動に関する探求の過程について、後の問いに答えよ。


問1はこちら
問2はこちら
問3はこちら

 Aさんの仮説には、実験で確かめたあやまり以外にも、見落としている点がある。物体の速さを考えるときには、その時刻に物体が受けている力だけでなく、それまでに物体がどのように力を受けてきたかについても考えなければならない。
 速さのかわりに質量と速度で決まる運動量を用いると、物体が受けてきた力による力積を使って、物体の運動状態の変化を議論することができる。

問4 次の文章中の空欄[ 11 ]に入れるグラフとして最も適当なものを、後の@〜Cのうちから1つ選べ。

 図2を運動量と時刻のグラフに書き直したときの概形は、

  物体の運動量の変化=その間に物体が受けた力積

という関係を使うことで、計算しなくても[ 11 ]のようになると予想できる。




解答はこのページ下に掲載します。


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◆解答

問題文中にも説明がありますが、

「運動量=質量×速度」「力積=力×時間」

です。
そして、運動量の変化は力積に等しくなります。

台車を引く力と引く時間はどちらも一定なので、力積も同じ値になります。
力積が同じならば、運動量の変化も同じ。
ということは、横軸に時間、縦軸に運動量をとったこのグラフの傾きは3つとも同じになるはずです。

というわけで、Cが正解ですね!


次の問題→台車から小球を打ち上げたとき


◆関連項目
等加速度運動まとめ力〜エネルギーまとめ運動量まとめ


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2023年10月29日

高校物理「力学」2022年共通テスト第2問より。物体の運動B

高校物理「力学」2022年共通テスト第2問より。物体の運動B

◆問題

第2問 物体の運動に関する探求の過程について、後の問いに答えよ。


問1はこちら
問2はこちら


【実験2】として、力学台車とおもりの質量の合計が

  ア:3.18kg  イ:1.54kg  ウ:1.01kg

の3通りの場合を考え、各測定とも台車を同じ大きさの一定の力で引くことにした。
 この実験で得られた記録テープから、台車の速さvと時刻tの関係を表す図2のグラフを描いた。ただし、台車を引く力が一定となった時刻をグラフのt=0としている。



問3 図2の実験結果からAさんの仮説が誤りであると判断する根拠として、最も適当なものを次の@〜Cのうちから1つ選べ。[ 10 ]

@質量が大きいほど速さが多くなっている。
A質量が2倍になると、速さは1/4になっている。
B質量による運動への影響は見出せない。
Cある質量の物体に一定の力を加えても、速さは一定にならない。


 Aさんの仮説には、実験で確かめたあやまり以外にも、見落としている点がある。物体の速さを考えるときには、その時刻に物体が受けている力だけでなく、それまでに物体がどのように力を受けてきたかについても考えなければならない。
 速さのかわりに質量と速度で決まる運動量を用いると、物体が受けてきた力による力積を使って、物体の運動状態の変化を議論することができる。


解答はこのページ下に掲載します。


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◆解答

問3 図2の実験結果からAさんの仮説が誤りであると判断する根拠として、最も適当なものを次の@〜Cのうちから1つ選べ。[ 10 ]

@質量が大きいほど速さが多くなっている。
A質量が2倍になると、速さは1/4になっている。
B質量による運動への影響は見出せない。
Cある質量の物体に一定の力を加えても、速さは一定にならない。

グラフを確認してみると、@,A,Bはそもそも間違いであることがわかると思います。

Aさんの仮説が正しいならば、同じ質量の物体にはたらく力が一定ならば、速さも一定になるはずですが、当然そうではないし、グラフを見ても速さが一定になっていないことがわかります。

というわけで、この設問の解答は、Cある質量の物体に一定の力を加えても、速さは一定にならない。です。


次の問題→運動量と時刻のグラフ


◆関連項目
等加速度運動まとめ力〜エネルギーまとめ


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2023年10月28日

高校物理「力学」2022年共通テスト第2問より。物体の運動A

高校物理「力学」2022年共通テスト第2問より。物体の運動A

◆問題

第2問 物体の運動に関する探求の過程について、後の問いに答えよ。


問1はこちら


Bさんは、水平な実験机上をなめらかに動く力学台車と、ばねばかり、おもり、記録タイマー、記録テープからなる図Tのような装置を準備した。そして、物体に一定の力を加えた歳の、力の大きさや質量と物体の速さの関係を調べるために、次の2通りの実験を考えた。

【実験1】 いろいろな大きさの力で力学台車を引く測定を繰り返し行い、力の大きさと速さの関係を調べる実験。
【実験2】 いろいろな質量のおもりを用いる測定を繰り返し行い、物体の質量と速さの関係を調べる実験。



問2 【実験1】を行うときに必要な条件について説明した次の文章中の空欄[ 8 ]・[ 9 ]に入れる語句として最も適当なものを、それぞれの直後の{ }で囲んだ選択肢のうちから1つずつ選べ。

 それぞれの測定においては力学台車を一定の力で引くため、力学台車を引いている間は、[ 8 ]{@ばねばかりの目盛りが常に一定になる Aばねばかりの目盛りが次第に増加していく B力学台車の速さが一定になる}ようにする。

 また、各測定では、[ 9 ]{@力学台車を引く時間 A力学台車とおもりの質量の和 B力学台車を引く距離}を同じ値にする。


解答はこのページ下に掲載します。


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◆解答

[ 8 ]では、「それぞれの測定においては力学台車を一定の力で引く」ときの条件を考えます。

力学台車を引いている間は、[ 8 ]{@ばねばかりの目盛りが常に一定になる Aばねばかりの目盛りが次第に増加していく B力学台車の速さが一定になる}ようにする。

力が一定だから、@ばねばかりの目盛りが常に一定になるが正解ですね。

ちなみに、Aの場合は力が増大していくことになり、Bの場合は力がはたらいていない(合力がゼロ)ですね。


【実験1】は「いろいろな大きさの力で力学台車を引く測定を繰り返し行い、力の大きさと速さの関係を調べる実験。」だから、力が小さい場合と大きい場合で速さがどう変わるかを調べる目的ですね。

質量が変化してしまうと速さの変化と力の大きさの関係がわからなくなってしまうので、質量を一定にする。と考えられます。

つまり、[ 9 ]はA力学台車とおもりの質量の和となります。


次の問題→Aさんの仮定が誤りである理由


◆関連項目
等加速度運動まとめ力〜エネルギーまとめ


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2023年10月27日

高校物理「力学」2022年共通テスト第2問より。物体の運動@

高校物理「力学」2022年共通テスト第2問より。物体の運動@

◆問題

第2問 物体の運動に関する探求の過程について、後の問いに答えよ。

 Aさんは、買い物でショッピングカートを押したり引いたりしたときの経験から、「物体の速さは物体にはたらく力と物体の質量のみによって決まり、(a)[ある時刻の物体の速さvは、その時刻に物体が受けている力の大きさFに比例し、物体の質量mに反比例する]」という仮説を立てた。Aさんの仮説を聞いたBさんは、この仮説は誤った思い込みだと思ったが、科学的に反論するためには実験を行って確かめることが必要であると考えた。

問1 下線部(a)の内容をv,F,mの関係として表したグラフとして最も適当なものを次の@〜Cのうちから1つ選べ。[ 7 ]




解答はこのページ下に掲載します。


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◆解答

(a)[ある時刻の物体の速さvは、その時刻に物体が受けている力の大きさFに比例し、物体の質量mに反比例する]

この文の内容を表すグラフを選ぶという問題です。
この仮定が正しいかどうかはおいといて、これをグラフで表したらどうなるかを考えます。

つまり、「力が大きければ大きいほど速さも大きく、質量が大きいほど遅くなる」と考えたのですね。

@,Aは、縦軸にv,横軸にFをとっているので、速さが力に比例するなら右上がりの直線です。
この力と速さの関係だけをみれば@が正しそうに見えますが、質量が小さい場合よりも質量が大きい方が速くなっているので、@も間違いです。

B,Cは、縦軸にv,横軸にmをとっています。
速さと質量は反比例の関係なので、Cが正しいはずです。
力が大きい方が速さが速いという関係も表せているので、Cが正解と判断できますね!


次の問題→実験を行う条件


◆関連項目
等加速度運動まとめ力〜エネルギーまとめ


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2023年10月22日

高校物理「コンデンサー」極板間に導体板などを入れたときB

高校物理「コンデンサー」極板間に導体板などを入れたときB

◆問題

極板間が真空で、極板の面積S,極板の間隔d,電気容量Cの平行板コンデンサーがある。このコンデンサーを電圧Vの電源装置で充電した後、電源装置を外した。次の問いに答えよ。

(1) 参考図のように、極板と面積が等しく、厚さがd/2の帯電していない導体板を2枚の極板のちょうど真ん中に挿入したときの、コンデンサーの電気容量と極板間の電位差を求めよ。

参考図

 ―――――――

 ■■■■■■■■

 ―――――――

(2) 比誘電率2の誘電体を、(1)の導体板のかわりに同じ位置に挿入した。このときの電気容量と極板間の電位差を求めよ。

(3) (1)の導体板を真ん中で左右に二等分し、左側を取り外した。このときのコンデンサーの電気容量と極板間の電位差を求めよ。


↓(3)の解答解説はお知らせの下↓


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適切な時期に適切な対策をすれば、どんな目標でも達成可能です。志望校を諦める前に、まずは一度ご相談ください。


◆解説

コンデンサーの一部に導体板を入れたときは、導体板が入っている部分と入っていない部分で分けた2つのコンデンサーの並列と考えます。

まず、左半分は、単に面積が半分のコンデンサーと考えられます。
面積が半分なら電気容量も半分になるので、左半分の電気容量はC/2です。

右半分は、(1)のコンデンサーの半分と考えられるので、電気容量は2C/2=Cです。

並列接続されたコンデンサーの合成容量は単に足せばいいので、
求める合成容量は、

C/2+C=(3/2)C

電位差は、Q=CVより、V=Q/Cにここまで求めた値を代入すると、(3)で求める電位差をV3として、

V3=CV/{(3/2)C}=(2/3)V


(1)に戻る→厚さがd/2の導体板を入れたとき


◆関連項目
基本的なコンデンサーの問題
電気・磁気まとめ

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2023年10月20日

高校物理「コンデンサー」極板間に導体板などを入れたときA

高校物理「コンデンサー」極板間に導体板などを入れたときA

◆問題

極板間が真空で、極板の面積S,極板の間隔d,電気容量Cの平行板コンデンサーがある。このコンデンサーを電圧Vの電源装置で充電した後、電源装置を外した。次の問いに答えよ。

(1) 参考図のように、極板と面積が等しく、厚さがd/2の帯電していない導体板を2枚の極板のちょうど真ん中に挿入したときの、コンデンサーの電気容量と極板間の電位差を求めよ。

参考図

 ―――――――

 ■■■■■■■■

 ―――――――

(2) 比誘電率2の誘電体を、(1)の導体板のかわりに同じ位置に挿入した。このときの電気容量と極板間の電位差を求めよ。


↓(2)の解答解説はお知らせの下↓


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◆解説

(1)と同様に、参考図では、極板を表す――の間隔と導体板■■のサイズが合っていない部分がありますが、「ちょうど真ん中」に入れたので、
導体板の上部と上の極板の間はd/4,導体板の下部と下の極板の間も同様にd/4となります。

この場合は、極板間の距離がそれぞれd/4,d/2,d/4の3つのコンデンサーを直列に接続したと考えると良いと思います。

まずd/4のコンデンサーは、もとのコンデンサーと比べて極板間の距離が1/4になったものと考えられるので、電気容量は4倍です。
つまり、上下どちらも4Cです。

誘電体を挿入した部分は、距離が1/2、εr=2だから、C=2・ε・S/(d/2)=4Cとなります。

つまりこの場合、電気容量4Cのコンデンサーを3つ直列に接続したのと同じです。

よって求める電気容量は、

1/4C+1/4C+1/4C=3/4Cを逆数にして、(4/3)C


電位差は、Q=CVよりV=Q/Cに、ここまでの値を代入して、

2=CV/{(4/3)C}=(3/4)V


次の問題→導体板を半分だけ入れたとき


◆関連項目
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2023年10月19日

高校物理「コンデンサー」極板間に導体板を入れたとき@

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◆問題

極板間が真空で、極板の面積S,極板の間隔d,電気容量Cの平行板コンデンサーがある。このコンデンサーを電圧Vの電源装置で充電した後、電源装置を外した。次の問いに答えよ。

参考図

 ―――――――

 ■■■■■■■■

 ―――――――

(1) 参考図のように、極板と面積が等しく、厚さがd/2の帯電していない導体板を2枚の極板のちょうど真ん中に挿入したときの、コンデンサーの電気容量と極板間の電位差を求めよ。


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◆解説

参考図では、極板を表す――の間隔と導体板■■のサイズが合っていない部分がありますが、「ちょうど真ん中」に入れたので、

導体板の上部と上の極板の間はd/4,導体板の下部と下の極板の間も同様にd/4となります。

コンデンサーの極板間に導体を入れると、その導体の分だけ極板間の距離が短くなったのと同じ効果が得られます。
(または、コンデンサーを直列に接続したのと同じ。と考えることもできます)

極板の間隔がdだったのが、d/2の導体を入れたのでd−d/2=d/2です。

C=ε・S/dだから、dが半分になれば、電気容量は2倍になります。

つまり、このときの電気容量は2Cです。


また、Q=CVだから、Cが2Cになれば、Vは半分になります。

よって、電位差はV/2です。


次の問題→比誘電率2の誘電体を入れたとき


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2023年10月15日

高校物理「電場と電位」点A(−4a,0),B(4a,0),C(0,−3a)に電荷を置いたときB

高校物理「電場と電位」点A(−4a,0),B(4a,0),C(0,−3a)に電荷を置いたときB

◆問題

原点をOとする座標平面上に点A(−4a,0),B(4a,0),C(0,−3a)をとり、A,Bに電荷+Q(Q>0)の点電荷を固定する。クーロンの法則の比例定数をkとして、次の問いに答えよ。

(1) 点Cに電荷+q(q>0),質量mの小球を置くとき、小球が受ける力の大きさを求めよ。ただし、小球が受ける重力は無視できるものとする。

(2) 点A,Bの電荷による、点O,Cの電位をそれぞれ求めよ。ただし、電位の基準を無限遠とする。

(3) 点Cに置いた小球を、y軸に沿って発射し、原点Oに到達させるための最小の速さを求めよ。


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◆解説

点Cの小球は、A,Bの点電荷から下向きの力を受けます。
その力に逆らって原点Oに達するには、一定の値以上の初速が必要だ。というわけです。
いくつかの考え方が可能ですが、力学での問題と同様に、エネルギーの保存を考えると解きやすいと思います。

小球の初速をv0,原点Oに達したときの速さをv,C,Oにおける電位をそれぞれVC,VOとすると、

(1/2)mv02+qVC=(1/2)mv2+qVO

このような式が成り立ちます。

そして、「Oに到達する最小の速さ」を考えるので、v=0として計算してみましょう!

(1/2)mv02+qVC=qVO
   mv02+2qVC=2qVO

まずは両辺を2倍してみました。さらに変形して、v0について解いていきます。

mv02=2qVO−2qVC
 v02=2q(VO−VC)/m
  v0=√{2q(VO−VC)/m}

(2)より、VO=kQ/2a,VC=2kQ/5aだから、

0=√{2q(kQ/2a−2kQ/5a)/m}
 =√{2q(5kQ/10a−4kQ/10a)/m}
 =√{2q(kQ/10a)/m}
 =√(kQq/5am)

v=0のときのv0の値がコレなので、求める速さの最小値は√(kQq/5am)となります。


この問題の最初に戻る→(1) 点Cの小球が受ける力の大きさ


◆関連項目
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2023年10月13日

高校物理「電場と電位」点A(−4a,0),B(4a,0),C(0,−3a)に電荷を置いたときA

高校物理「電場と電位」点A(−4a,0),B(4a,0),C(0,−3a)に電荷を置いたときA

◆問題

原点をOとする座標平面上に点A(−4a,0),B(4a,0),C(0,−3a)をとり、A,Bに電荷+Q(Q>0)の点電荷を固定する。クーロンの法則の比例定数をkとして、次の問いに答えよ。

(1) 点Cに電荷+q(q>0),質量mの小球を置くとき、小球が受ける力の大きさを求めよ。ただし、小球が受ける重力は無視できるものとする。

(2) 点A,Bの電荷による、点O,Cの電位をそれぞれ求めよ。ただし、電位の基準を無限遠とする。


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◆解説

電位はスカラーなので、AとBの電荷による電位は、単にAによる電位とBによる電位を合計すればOKです。
電場や力のようにベクトルとして向きを考えて合成する必要はありません。

点電荷のまわりの電位は、電位V,電荷Q,距離rと定数kを用いて、次の式で表されます。

V=k・Q/r

AO=4aだから、AによるOでの電位VAOは、

AO=kQ/4a

Bによる電位も同じなので、求める電位はこの2倍です。

O=kQ/2a


続いて、Cの電位VCも同様に求めます。

(1)でも考えたようにAC=5aだから、

AC=kQ/5a

よって、VC=2kQ/5a


次の問題→小球を発射する速さ


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2023年10月12日

高校物理「電場と電位」点A(−4a,0),B(4a,0),C(0,−3a)に電荷を置いたとき@

高校物理「電場と電位」点A(−4a,0),B(4a,0),C(0,−3a)に電荷を置いたとき@

◆問題

原点をOとする座標平面上に点A(−4a,0),B(4a,0),C(0,−3a)をとり、A,Bに電荷+Q(Q>0)の点電荷を固定する。クーロンの法則の比例定数をkとして、次の問いに答えよ。

(1) 点Cに電荷+q(q>0),質量mの小球を置くとき、小球が受ける力の大きさを求めよ。ただし、小球が受ける重力は無視できるものとする。


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◆解説

原点をOとする座標平面上に点A(−4a,0),B(4a,0),C(0,−3a)をとり、A,Bに電荷+Q(Q>0)の点電荷を固定する。クーロンの法則の比例定数をkとして、次の問いに答えよ。

(1) 点Cに電荷+q(q>0),質量mの小球を置くとき、小球が受ける力の大きさを求めよ。ただし、小球が受ける重力は無視できるものとする。

点Cの小球は、点A,Bの2つの点電荷それぞれが静電気力を及ぼします。

電荷が受ける力と電場の関係は、

F=qE

で表されます。
点Cの電荷は+qと与えられているので、電場Eを求めれば、力もわかる。という流れです。

△AOCは直角三角形で3辺の比は3:4:5なので、AC=5aとなります。
だから、AがCにつくる電場は、EAC=k・Q/(5a)2

△AOC≡△BOCだから、Aがつくる電荷とBがつくる電荷のx軸方向の成分は打ち消し合ってゼロとなります。
y軸方向の成分はAとBが同じ方向なので、重ね合わさってそれぞれの値の2倍となります。
つまり、点CにA,Bの電荷が作る電場は、

C=2×cosθ・k・Q/(5a)2

そして、y軸とAC(とBC)がなす角をθとすれば、cosθ=3/5となるので、

C=2×(3/5)・kQ/(25a2)
 =6kQ/125a2

というわけで、求める力は、

F=6kQq/125a2


次の問題→原点Oと点Cの電位


◆関連項目
立方体の形をした回路の問題
電気・磁気まとめ

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2023年10月04日

高校物理「電気」スイッチが閉じているときの電位

高校物理「電気」スイッチが閉じているときの電位

◆問題

参考図に示した回路において、電源Eは内部抵抗が無視できる起電力100Vの電池、Sはスイッチを表し、Gで接地している。
それぞれの抵抗は、R1=20Ω、R2=30Ω、R3=50Ω、R4=100Ωである。

(1) スイッチSが開いているとき、点A,B,C,Dの電位はそれぞれいくらか。

(2) スイッチSが閉じているとき、点A,B,C,Dの電位はそれぞれいくらか。


この記事では(2)を解説します。


参考図

D      C
┌─/─[R3]─┐
│ S    |
−      │
電源E   [R2]
+      │
│      │
└──[R1]──┤B
A      │
      [R4]
       │
       G


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◆解説

まず(1)と変わらない点を整理しておきましょう!

電流が流れていなくても、流れていても、回路に接地されている部分があれば、その位置の電位は0Vです。
つまり、(2)の場合でもGの電位は0Vです。

また、(2)でも、電源の「後ろ側」は「前側」よりも100Vだけ電位が低くなります。


(2)では電流が流れるので、それぞれの抵抗ではRIだけ電位降下がおこります。

抵抗値は全てわかっているので、回路に流れる電流を求めていきましょう。
電流はE→ABCD→Eの経路で流れるので、回路全体の抵抗は、20+30+50=100Ωです。
電源の電圧は100Vだから、この回路に流れる電流はI=100/100=1.0Aです。

というわけで、それぞれの電位降下は

R1・・・20×1.0=20V
R2・・・30×1.0=30V
R3・・・50×1.0=50V

となります。


Gで接地されていてGの電位はゼロなので、Bも0Vです。
R1で電位降下が起こった結果、Bで0Vになったと考えられるから、Aの電位は20Vです。

続いて、R2では30Vの電位降下が起こるのでCは−30V、R3でさらに50V電位降下するのでDの電位は、−30−50=−80Vとなります。

そして電源で100Vの電位上昇が起こり、Aの電位は20Vに戻る。というわけです。

つまり解答は、「A:20V,B:0V,C:−30V,D:−80V」です。


(1)に戻る


◆関連項目
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2023年10月03日

高校物理「電気」スイッチが開いているときの電位

高校物理「電気」スイッチが開いているときの電位

◆問題

参考図に示した回路において、電源Eは内部抵抗が無視できる起電力100Vの電池、Sはスイッチを表し、Gで接地している。
それぞれの抵抗は、R1=20Ω、R2=30Ω、R3=50Ω、R4=100Ωである。

(1) スイッチSが開いているとき、点A,B,C,Dの電位はそれぞれいくらか。


参考図

D      C
┌─/─[R3]─┐
│ S    |
−      │
電源E   [R2]
+      │
│      │
└──[R1]──┤B
A      │
      [R4]
       │
       G


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◆解説

まず、回路に接地されている部分があれば、その位置の電位は0Vです。
つまり、Gの電位は0Vです。

そしてスイッチが開いているときは、当然ながら回路に電流は流れません。
電流が流れていないときは、抵抗による電位降下はゼロです。

ということは、Gに一番近いR4では電位降下はゼロだから、Bの電位も0Vです。
同様に、A,Cでの電位も0Vです。

ただし、Dだけは違います。電流が流れていなくても電源は100Vの起電力があるので、電源の「後ろ側」は「前側」よりも100Vだけ電位が低くなります。
「前側」のAが0Vだから、「後ろ側」のDは−100Vとなります。


つまり、解答は「A:0V,B:0V,C:0V,D:−100V」です。


次の問題→スイッチが閉じているとき


◆関連項目
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