2023年09月23日

高校物理「気体の状態変化」気体の熱サイクルB

高校物理「気体の状態変化」気体の熱サイクルB

◆問題

単原子分子からなる理想気体1molを、参考図のp−VグラフのようにA→B→C→D→Aの順にゆっくり変化させた。A(p1[Pa],V1[m3]),C(3p1[Pa],3V1[m3])として、次の問いに答えよ。


参考図

圧力↑
  │ B  C
  │ ┌──┐
  │ │  │
  │ └──┘
  │ A  D
 ─┼──────→
         体積

(1) A→B,B→C,C→D,D→Aそれぞれの過程で、この気体に外部から加えられる熱量を求めよ。

(2) Aから一周して再びAに戻ってくるまでの過程で、気体が外部に対してした正味の仕事を求めよ。

(3) このp−tグラフのA→B→C→D→Aを1サイクルとする熱機関を考える。この熱機関の熱効率を求めよ。


この記事では(3)を解説します。


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従来のセンター試験や試行テストの内容を踏まえて、理系文系全科目の指導が可能です。
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適切な時期に適切な対策をすれば、どんな目標でも達成可能です。志望校を諦める前に、まずは一度ご相談ください。


◆解説

熱効率とは、得た熱量に対して外部にした仕事の割合のことです。
公式としては、

e=W/Q

であり、外部から得た熱量をQ1,外部へ放出した熱量をQ2とすると、

e=(Q1−Q2)/Q1

と表すこともできます。

(2)で、「正味の仕事」が4p1・V1であることを求めました。これがWです。

(1)で求めた熱量のうち、Q1にあたるのは、A→B,B→Cの熱量ですね。
つまり、

Q1=3p1・V1+15p1・V1=18p1・V1

というわけです、

e=4p1・V1/18p1・V1
 =2/9


この問題の最初に戻る→(1) A→B,B→C,C→D,D→Aそれぞれの過程で、この気体に外部から加えられる熱量を求めよ。


◆関連項目
熱効率定積変化定圧変化内部エネルギー状態方程式


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2023年09月22日

高校物理「気体の状態変化」気体の熱サイクルA

高校物理「気体の状態変化」気体の熱サイクルA

◆問題

単原子分子からなる理想気体1molを、参考図のp−VグラフのようにA→B→C→D→Aの順にゆっくり変化させた。A(p1[Pa],V1[m3]),C(3p1[Pa],3V1[m3])として、次の問いに答えよ。


参考図

圧力↑
  │ B  C
  │ ┌──┐
  │ │  │
  │ └──┘
  │ A  D
 ─┼──────→
         体積

(1) A→B,B→C,C→D,D→Aそれぞれの過程で、この気体に外部から加えられる熱量を求めよ。

(2) Aから一周して再びAに戻ってくるまでの過程で、気体が外部に対してした正味の仕事を求めよ。


この記事では(2)を解説します。


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◆解説

「正味の仕事」とは、この1サイクル全体を総合すると、どれだけの仕事をしたか?
という意味です。

それぞれの過程でした仕事を合計したものが「正味の仕事」ですね。

(1)より、A→Bでは仕事はゼロ、B→Cでは6p1・V1,C→Dではゼロ、D→Aでは−2p1・V1ですね。

というわけで、求める仕事は、

0+6p1・V1+0+(−2p1・V1)=4p1・V1[J]


ちなみにこの仕事は、参考図の四角形ABCDの面積に等しくなります。
仕事はp−tグラフの面積で求めることもできる。というわけですね!


次の問題→熱効率を求める


◆関連項目
定積変化定圧変化内部エネルギー状態方程式


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2023年09月21日

高校物理「気体の状態変化」気体の熱サイクル@

高校物理「気体の状態変化」気体の熱サイクル@

◆問題

単原子分子からなる理想気体1molを、参考図のp−VグラフのようにA→B→C→D→Aの順にゆっくり変化させた。A(p1[Pa],V1[m3]),C(3p1[Pa],3V1[m3])として、次の問いに答えよ。


参考図

圧力↑
  │ B  C
  │ ┌──┐
  │ │  │
  │ └──┘
  │ A  D
 ─┼──────→
         体積

(1) A→B,B→C,C→D,D→Aそれぞれの過程で、この気体に外部から加えられる熱量を求めよ。



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◆解説

(i)A→B
体積が一定だから、気体が外部にした仕事(された仕事も)はゼロです。
ということは、「外部から加えられた熱量=内部エネルギーの増加量」となります。
だから、Bの内部エネルギーUBからAの内部エネルギーUAを引けば、外部からの熱量を求めることができる。というわけです。

単原子分子の理想気体の内部エネルギーは、U=(3/2)nRTであり、PV=nRTだから、U=(3/2)PVです。

UA=(3/2)p1・V1
UB=(3/2)3p1・V1=(9/2)p1・V1

よって、QAB=UAB=(9/2)p1・V1−(3/2)p1・V1=3p1・V1[J]


(ii)B→C
圧力一定だから、気体が外部にした仕事WBCと内部エネルギーの変化UBCの和が、外部からの熱量に等しいです。

WBC=3p1・3V1−3p1・V1=6p1・V1
UBC=(3/2)・3p1・3V1−(3/2)・3p1・V1=9p1・V1

というわけで、QBC=6p1・V1+9p1・V1=15p1・V1


(iii)C→D
体積一定だから、(i)A→Bと同様に、仕事はゼロで、QCD=UCDです。

UC=(3/2)3p1・3V1=(27/2)p1・V1
UD=(3/2)p1・3V1=(9/2)p1・V1

よって、QCD=UCD=(9/2)p1・V1−(27/2)p1・V1=−9p1・V1[J]


(iv)D→A
圧力一定だから、(ii)と同様です。

WDA=p1V1−p1・3V1=−2p1・V1
UDA=(3/2)p1・V1−(3/2)p1・3V1=−3p1・V1

だから、QDA=−2p1・V1−3p1・V1=−5p1・V1[J]


次の問題→A→B→C→D→Aでした仕事


◆関連項目
定積変化定圧変化内部エネルギー状態方程式


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2023年09月18日

高校物理「コンデンサー」電気容量等を求める問題C

高校物理「コンデンサー」電気容量等を求める問題C

◆問題
極板面積S[m2],極板間の距離d[m]の平行板コンデンサーに、電圧V[V]を加えてQ[C]の電荷を蓄えた。極板間には一様な電場ができるものとして、次の問いに答えよ。

(1) 極板間の電気力線の本数を真空の誘電率ε0[F/m]を用いて表せ。

(2) コンデンサーの極板間の電場の強さをE[N/C]とするとき、EをQ,ε0,Sを用いて表せ。

(3) 電荷QをV,ε0,S,dを用いて表せ。

(4) このコンデンサーの電気容量Cを求めよ。


参考図
   S
  ―――――― +Q
  ↕d
  ―――――― −Q


解答解説はこのページ下に掲載します。


センター過去問



◆解答解説

コンデンサーの電気容量C,電荷Q,電圧Vの間には、「Q=CV」の関係が成り立ちます。

(3)で、Q=ε0SV/dを求めているので、これをQ=CVに当てはめれば、Cを求めることができそうですね。

CV=ε0SV/d

Cについて解くと、

C=ε0S/d[F]

これが求める電気容量です。


この問題の最初に戻る→(1) 極板間の電気力線の本数を真空の誘電率ε0[F/m]を用いて表せ。


◆関連項目
コンデンサー、電気容量
電気・磁気まとめ


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2023年09月17日

高校物理「コンデンサー」電気容量等を求める問題B

高校物理「コンデンサー」電気容量等を求める問題B

◆問題
極板面積S[m2],極板間の距離d[m]の平行板コンデンサーに、電圧V[V]を加えてQ[C]の電荷を蓄えた。極板間には一様な電場ができるものとして、次の問いに答えよ。

(1) 極板間の電気力線の本数を真空の誘電率ε0[F/m]を用いて表せ。

(2) コンデンサーの極板間の電場の強さをE[N/C]とするとき、EをQ,ε0,Sを用いて表せ。

(3) 電荷QをV,ε0,S,dを用いて表せ。


参考図
   S
  ―――――― +Q
  ↕d
  ―――――― −Q


解答解説はこのページ下に掲載します。


センター過去問



◆解答解説

(2)より、E=Q/ε0Sです。
ここからEを消去することを考えます。
それには、Eを含む式をもう一つ作って、代入すればOKですね。

ということで、電圧Vを用いて電場の強さEを表すと、E=V/dです。
だから、

Q/ε0S=V/d

このような等式を作ることができます。
あとはQについて解くと、

Q=ε0SV/d[C]


次の問題→電気容量を求める


◆関連項目
コンデンサー、電気容量
電気・磁気まとめ


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高校物理「コンデンサー」電気容量等を求める問題A

高校物理「コンデンサー」電気容量等を求める問題A

◆問題
極板面積S[m2],極板間の距離d[m]の平行板コンデンサーに、電圧V[V]を加えてQ[C]の電荷を蓄えた。極板間には一様な電場ができるものとして、次の問いに答えよ。

(1) 極板間の電気力線の本数を真空の誘電率ε0[F/m]を用いて表せ。

(2) コンデンサーの極板間の電場の強さをE[N/C]とするとき、EをQ,ε0,Sを用いて表せ。


参考図
   S
  ―――――― +Q
  ↕d
  ―――――― −Q


解答解説はこのページ下に掲載します。


センター過去問



◆解答解説

「電場の強さは、単位面積の断面を貫く電気力線の本数に等しい」という性質があります。

(1)より、このコンデンサーの極板間の電気力線の本数は、Q/ε0本であることがわかっています。
この極板の面積はSだから、単位面積あたりの電気力線の本数は、Q/ε0本をSで割ったものになります。
そして、単位面積あたりの電気力線の本数が電場の強さに等しいので、求める電場の強さは、

(Q/ε0)÷S=Q/ε0S[N/C]


次の問題→電荷Qを求める


◆関連項目
コンデンサー、電気容量
電気・磁気まとめ


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2023年09月16日

高校物理「コンデンサー」電気容量等を求める問題@

高校物理「コンデンサー」電気容量等を求める問題@

◆問題
極板面積S[m2],極板間の距離d[m]の平行板コンデンサーに、電圧V[V]を加えてQ[C]の電荷を蓄えた。次の問いに答えよ。

(1) 極板間の電気力線の本数を真空の誘電率ε0[F/m]を用いて表せ。


参考図
   S
  ―――――― +Q
  ↕d
  ―――――― −Q


解答解説はこのページ下に掲載します。


センター過去問



電荷+Q[C]の極板からは、Q/ε0[本]の電気力線が出ている。と考えます。
上下に均等に電気力線が出るので、上と下それぞれに半分ずつ、Q/2ε0[本]の電気力線が出ることになります。

電荷−Q[C]の極板からも同様に、上下それぞれにQ/2ε0[本]の電気力線が出ていると考えられます。

だから、極板間には、

2×(Q/2ε0)=Q/ε0[本]

の電気力線が出ていることになります。


次の問題→極板間の電場の強さ


◆関連項目
コンデンサー、電気容量
電気・磁気まとめ


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2023年09月10日

高校物理「電気・磁気」2023年共通テスト第4問より。コンデンサーの電気容量D

高校物理「電気・磁気」2023年共通テスト第4問より。コンデンサーの電気容量D

◆問題

第4問

問1 コンデンサーに関する一般的な式

問2 実験で用いた抵抗の値

問3 グラフから電気容量を求める

問4 実験をする時間


問5 次の会話文の内容が正しくなるように、空欄[ウ]・[エ]に入れる式と語句の組合せとして最も適当なものを、後の@〜Gのうちから一つ選べ。[ 26 ]

先生:時間をかけずに電気容量を正確に求められる他の方法は考えられますか。
Aさん:この回路では、コンデンサーに蓄えられた電荷が抵抗を流れるときの電流はコンデンサーの電圧に比例します。一方で、コンデンサーに残っている電気量もコンデンサーの電圧に比例します。この両者を組み合わせることで、この実験での電流と電気量の関係がわかりそうです。
Bさん:なるほど。電流の値がt=0での値I0の半分になる時刻t1に注目してみよう。グラフの面積を用いてt=0からt=t1までに放電された電気量Q1を求めれば、t=0にコンデンサーに蓄えられていた電気量がQ0=[ウ]とわかるから、より正確に電気容量を求められるよ。最初の方法で私たちが求めた電気容量は正しい値より[エ]のですね。
Cさん:この方法で電気容量を求めてみたよ。最初の方法で求めた値と比べると10%も違うんだね。せっかくだから、十分に時間をかける実験を1回やってみて結果を比較してみよう。

[ウ]・・・Q1/4,Q1/2,2Q1,4Q1
[エ]・・・小さかった,大きかった


このブログでは、[ウ]と[エ]をそれぞれ選ぶ形式にしました。


解答はこのページ下に掲載します。


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◆解答

コンデンサーの電荷と抵抗を流れる電流の電圧は比例するので、電流の値が半分になるt1のときは電圧も半分になっていて、そのときのコンデンサーの電気量も半分になっています。ということは、t=0からt=t1までに放電した電気量も、ちょうど最初の半分のはずです。
つまり、

1=(1/2)Q0であり、すなわち、Q0=2Q1

です。


「最初の方法で私たちが求めた電気容量」は、グラフの斜線部分の面積から求めた値です。
ある程度長い時間が経っても、コンデンサーには電荷が残っていて、その部分を除いた値と考えられるので、実際の電気容量はそれよりも大きいはずです。

つまり、「最初の方法で私たちが求めた電気容量は正しい値よりも[小さかった]」ということができます。


この問題の最初に戻る→問1 コンデンサーに関する一般的な式


◆関連項目
オームの法則コンデンサー、電気容量球面上の電気力線
電気・磁気まとめ


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2023年09月09日

高校物理「電気・磁気」2023年共通テスト第4問より。コンデンサーの電気容量C

高校物理「電気・磁気」2023年共通テスト第4問より。コンデンサーの電気容量C

◆問題

第4問

問1 コンデンサーに関する一般的な式

問2 実験で用いた抵抗の値

問3 グラフから電気容量を求める


問3の方法では、t=120sのときにコンデンサーに残っている電気量を無視していた。この点について授業で討論が行われた。

問4 次の会話文の内容が正しくなるように、空欄[ 25 ]に入れる数値として最も適当なものを、後の@〜Gのうちから一つ選べ。

Aさん:コンデンサーに蓄えられていた電荷が全部放電されるまで実験をすると、どれくらい時間がかかるんだろう。
Bさん:コンデンサーを5.0Vで充電したときの実験で、電流の値がt=0sでの電流I0=100mAの1/2倍、1/4倍、1/8倍になるまでの時間を調べてくると、図5のように35s間隔になっています。なかなか0にならないですね。
Cさん:電流の大きさが十分小さくなる目安として最初の1/1000の0.1mA程度になるまで実験をするとしたら、[ 25 ]sくらいの間測定することになりますね。それくらいの時間なら実験できますね。



@140  A210  B280  C350
D420  E490  F560  G630


解答はこのページ下に掲載します。


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◆解答

Bさん:コンデンサーを5.0Vで充電したときの実験で、電流の値がt=0sでの電流I0=100mAの1/2倍、1/4倍、1/8倍になるまでの時間を調べてくると、図5のように35s間隔になっています。なかなか0にならないですね。
Cさん:電流の大きさが十分小さくなる目安として最初の1/1000の0.1mA程度になるまで実験をするとしたら、[ 25 ]sくらいの間測定することになりますね。それくらいの時間なら実験できますね。

この対話文から、

「電流は35sごとに1/2になる」「最初の1/1000程度になるまで実験する」

ことが読み取れます。

(1/2)10=1/1024なので、電流が1/2になるプロセスを10回繰り返すと目標の電流になるはずです。

1/2になるのに35sかかるので、35×10=350sで約1/1000になると推定できます。


次の問題→電気容量を求める他の方法


◆関連項目
オームの法則コンデンサー、電気容量球面上の電気力線
電気・磁気まとめ


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2023年09月08日

高校物理「電気・磁気」2023年共通テスト第4問より。コンデンサーの電気容量B

高校物理「電気・磁気」2023年共通テスト第4問より。コンデンサーの電気容量B

◆問題

第4問

問1 コンデンサーに関する一般的な式

問2 実験で用いた抵抗の値




問3 次の文章中の空欄[ 23 ]・[ 24 ]に入れる値として最も適当なものを、それぞれの直後の{ }で囲んだ選択肢のうち1つずつ選べ。

 図3のグラフを方眼紙に写して図4を作った。このとき、横軸の1cmを10s,縦軸の1cmを10mAとするように目盛りをとった。
 図4の斜線部分の面積は、t=0sからt=120sまでにコンデンサーから放電された電気量に対応している。このとき、1cm^2の面積は

[ 23 ]{@ 0.001C  A0.01C  B0.1C  C1C  D10C  E100C}の電気量に対応する。

 この斜線部分の面積を、ます目を数えることで求めると45cm^2であった。t=120s以降に放電された電気量を無視すると、コンデンサーの電気容量は

[ 24 ]{@ 4.5×10^(-3)F  A 9.0×10^(-3)F  B 1.8×10^(-2)F
C 4.5×10^(-2)F  D 9.0×10^(-2)F  E 1.8×10^(-1)F
F 4.5×10^(-1)F  G 9.0×10^(-1)F  H 1.8F}

と求められた。




解答はこのページ下に掲載します。


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◆解答

「図3のグラフを方眼紙に写して図4を作った。このとき、横軸の1cmを10s,縦軸の1cmを10mAとするように目盛りをとった。」
「図4の斜線部分の面積は、t=0sからt=120sまでにコンデンサーから放電された電気量に対応している。」

まずはこの情報をもとに、1cm2に対応する電気量を求めます。

公式としては「電気量=電流×時間」ですが、公式を覚えていなくても、「グラフの斜線部分の面積が電気量に対応している」という記述から、電流と時間をかければよいと推定できますね。

「1Aの電流を1s流したときの電気量が1C」だから、この問題での1cm2は、

10[s]×10/1000[A]=0.1[C]

に対応します。


次は、

「この斜線部分の面積を、ます目を数えることで求めると45cm^2であった。」
「t=120s以降に放電された電気量を無視する」

という条件で、コンデンサーの電気容量を求めます。

斜線部分の面積が45cm2ということは、最初に蓄えられていた電気量は0.1×45=4.5[C]と考えられます。

そして、Q(電気量)=C(電気容量)×V(電圧)ですね。

t=0のときに蓄えられていた電気量は4.5Cで、そのときの電圧は5.0Vだから、

4.5=5C
  C=0.9

つまり、求める電気容量は、9.0×10-1Fとなります。


次の問題→電流を測定する時間


◆関連項目
オームの法則コンデンサー、電気容量球面上の電気力線
電気・磁気まとめ


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2023年09月07日

高校物理「電気・磁気」2023年共通テスト第4問より。コンデンサーの電気容量A

高校物理「電気・磁気」2023年共通テスト第4問より。コンデンサーの電気容量A

◆問題

第4問

 図2のように、直流電流、コンデンサー、抵抗、電圧計、電流計、スイッチを導線でつないだ。スイッチを閉じて充分に時間が経過してからスイッチを開いた。図3のグラフは、スイッチを開いてから時間tだけ経過したときの、電流計が示す電流Iを表す。ただし、スイッチを開く直前に電圧計は5.0Vを示していた。





問2 図3のグラフから、この実験で用いた抵抗の値を求めると何Ωになるか。その値として最も適当なものを、次の@〜Gのうちから1つ選べ。ただし、電流計の内部抵抗は無視できるものとする。[ 22 ]Ω
@ 0.02  A 2  B 20  C 200
D 0.05  E 5  F 50  G 500


解答はこのページ下に掲載します。


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◆解答

コンデンサーは、電流を流すと極板に電荷がたまる装置です。
電流を流し始めた直後は導線と同じ、つまり、抵抗ナシとみなし、
十分に時間が経過し、電荷がたまった後はそれ以上電子が流れ込むことができないので、オフになったスイッチと同じとみなすことができます。

今回の問題では、「スイッチを閉じて十分に時間が経過して」との記述から、まず最初に「5.0Vの電圧で充分にコンデンサーに充電した」と推定することができます。

それから「スイッチを開いた」とあるので、「コンデンサーと抵抗は電源から切り離された」とみなすことができます。

スイッチを開いた直後は、コンデンサーは5.0Vの電源と同じとみなすことができますが、時間の経過とともに極板上の電荷が減少し、極板間の電位差も減少し、電源としての電圧も減少していく。というわけです。
つまり、t=0のときの電圧は5.0Vで、そこから電圧は減少していくので、グラフがこんなふうになったと考えられます。

電圧が推定できるのはt=0のときの5.0Vで、このときの電流は100mAだから、オームの法則より

R=V/I
R=5.0/0.1=50Ω

これが抵抗の値だと推定できます。


次の問題→グラフから電気容量を求める


◆関連項目
オームの法則コンデンサー、電気容量球面上の電気力線
電気・磁気まとめ


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2023年09月06日

高校物理「電気・磁気」2023年共通テスト第4問より。コンデンサーの電気容量@

高校物理「電気・磁気」2023年共通テスト第4問より。コンデンサーの電気容量@

◆問題

第4問

 物理の授業でコンデンサーの電気容量を測定する実験を行った。まず、コンデンサーの基本的性質を復習するため、図1のような真空中に置かれた平行平板コンデンサーを考える。極板の面積をS、極板間隔をdとする。



問1 次の文章中の空欄[ア]・[イ]に入れる式の組み合わせとして正しいものを、後の@〜Gのうちから1つ選べ。[ 21 ]

 図1のコンデンサーに電気量Qが蓄えられているときの極板間の電圧をVとする。極板間の電場(電界)が一様であるとすると、極板間の電場の大きさEとV,dの間にはE=[ア]の関係が成り立つ。また、真空中でのクーロンの法則の比例定数をk0とすると、2つの極板間には4πk0Q本の電気力線があると考えられ、電気力線の本数と電場の大きさの関係を用いるとEが求められる。これと[ア]が等しいことからQはVに比例してQ=CVと表せることがわかる。このとき比例定数(電気容量)はC=[イ]となる。

[ア]・・・Vd,v/d
[イ]・・・4πk0dS,dS/4πk0,4πk0S/d,S/4πk0d

この記事では、解答はア,イそれぞれを選ぶ形にしました。


解答はこのページ下に掲載します。


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◆解答

まずは一般的に成り立つコンデンサーについての式の設問です。

 図1のコンデンサーに電気量Qが蓄えられているときの極板間の電圧をVとする。極板間の電場(電界)が一様であるとすると、極板間の電場の大きさEとV,dの間にはE=[ア]の関係が成り立つ。また、真空中でのクーロンの法則の比例定数をk0とすると、2つの極板間には4πk0Q本の電気力線があると考えられ、電気力線の本数と電場の大きさの関係を用いるとEが求められる。これと[ア]が等しいことからQはVに比例してQ=CVと表せることがわかる。このとき比例定数(電気容量)はC=[イ]となる。

極板間の電圧が高ければ電場も強く、極板間の距離が大きければ電場は弱くなる。という関係があるので、
V=Edであり、E=V/dですね。
つまり、[ア]はV/dです。

極板全体の間の電気力線の本数は4πk0Qで、極板の面積はSだから、一定面積あたりの電気力線の本数は4πk0Q/S本となります。
つまり、E=4πk0Q/Sです。

E=V/dであり、E=4πk0Q/Sだから、V/d=4πk0Q/Sですね。
つまり、V=4πk0Qd/Sです。

Q=CVにこれを代入すると、

Q=C・4πk0Qd/Sより、C=S/4πk0d

つまり、[イ]はS/4πk0dです。


次の問題→実験で用いた抵抗の値


◆関連項目
コンデンサー、電気容量球面上の電気力線
電気・磁気まとめ


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2023年09月03日

高校物理「力学」2023年共通テスト第2問よりD

高校物理「力学」2023年共通テスト第2問よりD

◆問題

第2問 空気中での落下運動に関する探求について、次の問いに答えよ。

問1はこちら

問2はこちら

問3はこちら

問4はこちら


先生:抵抗力の大きさRと速さvの関係を明らかにするために、ここまでは終端速度の大きさと質量の関係を調べましたが、落下途中の速さが変化していく過程で、Rとvの関係を調べることもできます。鉛直下向きにy軸をとり、アルミカップを原点から初速度0で落下させます。アルミカップの位置yをΔt=0.05sごとに記録したところ、図4のようなy−tグラフが得られました。このy−tグラフをもとにして、Rとvの関係を調べる手順を考えてみましょう。

問5 この手順を説明する文章中の空欄[エ]・[オ]には、それぞれの直後の{ }内の記述および数式のいずれか1つが入る。[ 15 ]



 まず、図4のy−tグラフより、Δt=0.05sごとの平均の速さvを求め、図5のv−tグラフをつくる。次に、加速度の大きさaを調べるために、
[エ]{(a) v−tグラフのすべての点のできるだけ近くを通る一本の直線を引き、その傾きを求めることによってaを求める。
(b) v−tグラフから終端速度を求めることによってaを求める。
(c) v−tグラフからΔtごとの速度の変化をもとめることによってa−tグラフをつくる。

こうして求めたaから、アルミカップにはたらく抵抗力の大きさRは、

R=[オ]{(a) m(g+a),(b) ma,(c) m(g−a)}と求められる。

以上の結果をもとに、Rとvの関係を示すグラフを描くことができる。


解答はこのページ下に掲載します。


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◆解答

何やらいろいろ書いてありますが、要するに、「加速度はどうやって求めるか?」
そして、「加速度がaのとき、アルミカップにはたらく力はどう表せるか?」

を答える設問となっています。

加速度は一定時間あたりの速度の変化量なので、v−tグラフからΔtごとの速度の変化を求めれば、加速度がわかる。ということができます。

そしてアルミカップにはたらく力は、「加速度×質量」で表すことができます。
もともと重力加速度gがかかっていて、そこにaの加速度が加わります。
重力加速度は鉛直下向き、ここでの加速度aは鉛直上向きなので、アルミカップの加速度はg−aとなります。

つまり、アルミカップにはたらく抵抗力の大きさRは、

R=m(g−a)


というわけで、[エ]=c,[オ]=cとなります。


この問題の最初に戻る→問1


◆関連項目
等加速度運動力〜エネルギー力のモーメントなど


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高校物理「力学」2023年共通テスト第2問よりC

高校物理「力学」2023年共通テスト第2問よりC

◆問題

第2問 空気中での落下運動に関する探求について、次の問いに答えよ。

問1はこちら

問2はこちら

問3はこちら


先生:実は、物体の形状や速さによっては、空気による抵抗力の大きさRは、速さに比例するとは限らないのです。
生徒:そうなんですか。授業で習ったvfの式は、いつも使えるわけではないのですね。
先生:はい。ここでは、Rがv^2に比例するとみなせる場合も考えてみましょう。正の比例定数k'を用いてRを
  R=k'v^2
と書くと、先ほどと同様に、R=mgとなるvが終端速度の大きさv1なので、vf=√(mg/k)と書くことができます。比例定数kと同様に、k'はnによって変化しないものとみなしましょう。mはnに比例するので、vfとnの関係を調べると、R=kvとR=k'v^2のどちらが測定値によく合うかわかります。
生徒:わかりました。縦軸と横軸をうまく選んでグラフを描けば、原点を通る直線になってわかりやすくなりますね。
先生:それでは、そのグラフを描いてみましょう。

問4 速さの2乗に比例する抵抗力のみがはたらく場合に、グラフが原点を通る直線になるような縦軸・横軸の選び方の組合せとして最も適当なものを、次のうちから2パターン選べ。

縦軸・・・√vf,vf, vf^2
横軸・・・√n,n,n^2


※問い方のみちょっと変更しました。


解答はこのページ下に掲載します。


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◆解答

問4 速さの2乗に比例する抵抗力のみがはたらく場合に、グラフが原点を通る直線になるような縦軸・横軸の選び方の組合せとして最も適当なものを、次のうちから2パターン選べ[ 13 ]・[ 14 ]
縦軸・・・√vf,vf, vf^2
横軸・・・√n,n,n^2

抵抗力が

R=k'v^2

で表される場合に、描いたグラフが原点を通る直線になるためには、縦軸・横軸をどう取れば良いかという設問です。

縦軸は速さ、横軸はカップの個数だから、nに対してvfが2乗の関係になれば良いです。
ということは・・・

横軸がnのとき、縦軸はvf^2

まずはこれはそのまま2乗になっているのでわかりやすいと思います。
さらに、これら両方の平方根を取れば、

横軸が√n,縦軸はvf

ですね。
これら2パターンの場合に、グラフが原点を通る直線になります。


次の問題→Rとvの関係を調べる手順


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2023年09月02日

高校物理「力学」2023年共通テスト第2問よりB

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◆問題

第2問 空気中での落下運動に関する探求について、次の問いに答えよ。

問1はこちら

問2はこちら


生徒:アルミカップの枚数nとvfの測定値を図3に点で書き込みましたが、vf=mg/kに基づく予想と少し違いますね。



問3 図3が予想していた結果と異なると判断できるのはなぜか。その根拠として最も適当なものを、次の@〜Cのうちから1つ選べ。[ 12 ]
@アルミカップの枚数nを増やすと、vfが大きくなる。
A測定値の全ての点のできるだけ近くを通る直線が、原点から大きく外れる。
Bv1がアルミカップの枚数nに反比例している。
C測定値がとびとびにしか得られていない。

先生:実は、物体の形状や速さによっては、空気による抵抗力の大きさRは、速さに比例するとは限らないのです。


解答はこのページ下に掲載します。


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◆解答

問3 図3が予想していた結果と異なると判断できるのはなぜか。その根拠として最も適当なものを、次の@〜Cのうちから1つ選べ。[ 12 ]

まず、「予想」は「vf=mg/k」で、gとkは定数なので「vfはmに比例する」ということができます。

図3を見てみると、おおまかに見て、直線上に点がならんでいるように見えると思います。
その直線を左に伸ばすと、原点より明らかに上を通りそうですね。
つまり、「比例」ではなく「1次関数」に近いように見えます。

このことに近い内容を示す選択肢は・・・


@アルミカップの枚数nを増やすと、vfが大きくなる。
A測定値の全ての点のできるだけ近くを通る直線が、原点から大きく外れる。
Bvfがアルミカップの枚数nに反比例している。
C測定値がとびとびにしか得られていない。


2番ですね!


次の問題→速さの2乗の場合


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2023年09月01日

高校物理「力学」2023年共通テスト第2問よりA

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◆問題

第2問 空気中での落下運動に関する探求について、次の問いに答えよ。

問1はこちら

先生:それでは、授業でやったことを復習してください。
生徒:抵抗力の大きさRが速さvに比例すると仮定すると、正の比例定数kを用いて
  R=kv
と書けます。物体の質量をm,重力加速度の大きさをgとすると、R=mgとなるvが終端速度の大きさvfなので、
  vf=mg/k
と表されます。実験をしてvfとmの関係を確かめてみたいです。
先生:いいですね。図1のようなお弁当のおかずを入れるアルミカップは、何枚か重ねることによって質量の異なる物体にすることができるので、落下させてその関係を調べることができますね。その物体の形は枚数によらずほぼ同じなので、kは変わらないとみなしましょう。物体の質量mはアルミカップの枚数nに比例します。
生徒:そうすると、vfがnに比例することが予想できますね。



n枚重ねたアルミカップを落下させて動画を撮影した。図2のように、アルミカップが落下していく途中で、20cmごとに落下するのに要する時間を10回測定して平均した。この実験をn=1,2,3,4,5の場合について行った。その結果を表1にまとめた。



問2 表1の測定結果から、アルミカップを3枚重ねたとき(n=3のとき)のvfを有効数字2桁で求めるとどうなるか。

vf=[ 9 ].[ 10 ]×10^[11]m/s


解答はこのページ下に掲載します。


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◆解答

アルミカップも、空気中で落下させると、ある一定の速度に達したあとは、重力と抵抗力が一致して一定の速度になる。
そしてその一定の速度、つまり、終端速度を求めましょう!という問題です。

アルミカップ3枚の場合なので、表の枚数nが3の欄を見ていきます。
20cmの落下に要する時間は、40〜60cmのところで0.13sになって、それ以降は0.13sで一定です。
つまり、終端速度は0.13sを使って計算すればOKというわけです。

20cm=0.20m落下するのに0.13sなので、その速さvfは、

0.20÷0.13=20/13=1.538…

これを解答の形式に合わせると、

1.5×10^0[m/s]

ですね。


次の問題→vf=mg/kと異なる理由


◆関連項目
等加速度運動力〜エネルギー力のモーメントなど


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2023年08月31日

高校物理「力学」2023年共通テスト第2問より@

高校物理「力学」2023年共通テスト第2問より@

◆問題

第2問 空気中での落下運動に関する探求について、次の問いに答えよ。

問1 次の発言の内容が正しくなるように、空欄[ア]〜[ウ]にそれぞれ適語を入れよ。

先生:物体が空気中を運動すると、物体は運動の向きと[ア]の抵抗力を空気から受けます。初速度0で物体を落下させると、はじめのうち抵抗力の大きさは[イ]し、加速度の大きさは[ウ]します。やがて、物体にはたらく抵抗力と重力がつり合うと、物体は一定の速度で落下するようになります。このときの速度を終端速度と呼びます。

ア・・・(同じ向き/逆向き)
イ・・・(増加/減少)
ウ・・・(増加/減少)


もとの問題では、ア、イ、ウに入る語の組み合わせを選択肢から選ぶ設問でしたが、ここではそれぞれの2択に変更しました。

解答はこのページ下に掲載します。


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◆解答

先生:物体が空気中を運動すると、物体は運動の向きと[ア]の抵抗力を空気から受けます。初速度0で物体を落下させると、はじめのうち抵抗力の大きさは[イ]し、加速度の大きさは[ウ]します。やがて、物体にはたらく抵抗力と重力がつり合うと、物体は一定の速度で落下するようになります。このときの速度を終端速度と呼びます。

ア・・・(同じ向き/逆向き)
イ・・・(増加/減少)
ウ・・・(増加/減少)


物体が落下していくと、だんだん速さが速くなる。
速くなれば空気の抵抗が大きくなる。つまり、進行を妨げる方向の力を受ける。

これらのことは、高校生なら今までの経験からわかっていると思います。
物理の勉強として知識を暗記していなくても、自分の経験からイメージして答えていきましょう!

[ア]
物体が動くと、その動きを邪魔する力を受けるので、「逆向き」が正解です。

[イ]
速くなれば速くなるほど、空気抵抗も大きくなるので、「増加」が正解です。

[ウ]
空気の抵抗を受けることにより、進行方向と逆向きの力を受け、その力は速くなるほど大きくなります。
重力は常に鉛直下向きで一定と考えられるので、速さが速くなるほど物体にはたらく力の合力は小さくなっていきます。
力が小さくなれば加速度も小さくなる。つまり、「減少」が正解です。

[ウ]に関しては、その後に終端速度についての言及もあり、そこからも、加速度が小さくなっていくことがわかると思います。


次の問題→アルミカップを落下させるとき


◆関連項目
等加速度運動力〜エネルギー力のモーメントなど


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2023年08月28日

高校物理「力学」2023年共通テスト第1問 問3より

高校物理「力学」2023年共通テスト第1問 問3より

◆問題

第1問

図3のように、池一面に張った水平な氷の上で、そりが岸に接している。そりの上面は水平で、岸と同じ高さである。また、そりと氷の間には摩擦力がはたらかない。岸の上を水平左向きに滑ってきたブロックがそりに移り、その上を滑った。そりに対してブロックが動いている間、ブロックとそりの間には摩擦力がはたらき、その後、ブロックはそりに対して静止した。ブロックがそりの上を滑り始めてからそりの上で静止するまでの間の、運動量と力学的エネルギーについて述べた次の文章中の空欄[ 4 ]・[ 5 ]に入れる文として最も適当なものを、後の@〜Cのうちから1つずつ選べ。ただし、同じものを繰り返し選んでもよい。

 そりが岸に固定されていて動けない場合は、[ 4 ]。そりが固定されておらず、氷の上を左に動くことができる場合は、[ 5 ]。

@ ブロックとそりの運動量の総和も、ブロックとそりの力学的エネルギーの総和も保存する。
A ブロックとそりの運動量の総和は保存するが、ブロックとそりの力学的エネルギーの総和は保存しない。
B ブロックとそりの運動量の総和は保存しないが、ブロックとそりの力学的エネルギーの総和は保存する。
C ブロックとそりの運動量の総和も、ブロックとそりの力学的エネルギーの総和も保存しない。




解答はこのページ下に掲載します。


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◆解答

まず、ブロックとそりの間には摩擦力がはたらくので、そりが固定されていても、されていなくても力学的エネルギーは保存しません。
摩擦力によりブロックは仕事をされるので、その仕事の分だけ力学的エネルギーが減少する。ということができます。

そりが固定されていなければ、ブロックとそりの2つの物体の衝突と考えられるので、運動量は保存すると考えられます。

というわけで、解答は、

そりが岸に固定されていて動けない場合は、[C ブロックとそりの運動量の総和も、ブロックとそりの力学的エネルギーの総和も保存しない]。そりが固定されておらず、氷の上を左に動くことができる場合は、[A ブロックとそりの運動量の総和は保存するが、ブロックとそりの力学的エネルギーの総和は保存しない]。

このようになります。


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2023年08月20日

高校物理「力学」2023年共通テスト第1問 問1より

高校化学「力学」2023年共通テスト第1問 問1より

◆問題

第1問

問1 変形しない長い板を用意し、板の両端の下面に細い角材を取りつけた。水平な床の上に、2つの体重計a,bを離して置き、それぞれの体重計が正しく重さを計測できるように板を載せた。
 図1のように、体重計ではかると60kgの人が、板の全長を2:1に内分する位置(体重計aから遠く、体重計bに近い)に、片足立ちでのって静止した。このとき、体重計aとbの表示は、それぞれ何kgを示すか。数値の組み合わせとして最も適当なものを、後の@〜Eのうちから1つ選べ。ただし、板と角材の重さは考えなくてもよいものとする。[ 1 ]



  |体重計a|体重計b|
|@| 30 | 30 |
|A| 60 | 60 |
|B| 20 | 40 |
|C| 40 | 20 |
|D| 40 | 80 |
|E| 80 | 40 |


解答はこのページ下に掲載します。


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◆解答

問1 変形しない長い板を用意し、板の両端の下面に細い角材を取りつけた。水平な床の上に、2つの体重計a,bを離して置き、それぞれの体重計が正しく重さを計測できるように板を載せた。
 図1のように、体重計ではかると60kgの人が、板の全長を2:1に内分する位置(体重計aから遠く、体重計bに近い)に、片足立ちでのって静止した。このとき、体重計aとbの表示は、それぞれ何kgを示すか。

このようにしてはかった体重は、体重計aと体重計bの合計が60kgになることは容易に想像がつくと思います。
例えばちょうど真ん中に立てば、半分ずつで30kgずつになります。
どちらか片方に寄れば、寄った方に大きな力がかかります。

同様に考えれば、この問題の設定の通りに2:1の位置に立てば、支える体重計にかかる力は1:2の数値になると推定できますね?
体重計bに近いところに立っているので、bの方に大きな力がかかります。
つまり、aが20kg,bが40kgです。

選択肢はBが正解となります。


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2023年08月13日

高校物理「円運動」「波動」2023年共通テスト第3問の問5より

高校物理「円運動」「波動」2023年共通テスト第3問の問5より

◆問題

全方向に等しく音を出す小球状の音源が、図1のように、点Oを中心として半径r,速さvで時計回りに等速円運動をしている。音源は一定の振動数f0の音を出しており、音源の円軌道を含む平面上で静止している観測者が、届いた音波の振動数fを測定する。

音源と観測者の位置をそれぞれ点P,Qとする。点Qから円に引いた2本の接点のうち、音源が観測者に近づきながら通過する方をA,遠ざかりながら通過する方をBとする。また、直線OQが円と交わる2点のうち観測者に近い方をC,遠い方をDとする。vは音速Vより小さく、風は吹いていない。



問1 音源にはたらいている向心力の大きさと、音源が円軌道を点Cから点Dまで半周する間に向心力がする仕事を表す式を求めよ。ただし、音源の質量をmとする。

問2 空欄に入る記号を図2の点の中から全て選べ。

音源の等速円運動にともなってfは周期的に変化するるこれは音源の速度の直線PQ方向の成分によるドップラー効果がおこるからである(図2)。このことから、fがf0と等しくなるのは、音源が[ ]を通過したときに出した音を測定した場合であることがわかる。



問3 音源が点A,点Bを通過したときに出した音を観測者が測定したところ、振動数はそれぞれfA,fBであった。fAと音源の速さvを表す式を求めよ。

問4  次に、音源と観測者を入れ替えた場合を考える。図3に示すように、音源を点Qの位置に固定し、観測者が点Oを中心に時計回りに等速円運動をする。



このとき、等速円運動をする観測者が測定する音の振動数についての記述として最も適当なものを、次の@〜Dのうちから1つ選べ。[ 19 ]
@ 点Aにおいて最も大きく、点Bにおいて最も小さい。
A 点Bにおいて最も大きく、点Aにおいて最も小さい。
B 点Cにおいて最も大きく、点Dにおいて最も小さい。
C 点Dにおいて最も大きく、点Cにおいて最も小さい。
D 観測の位置によらず常に等しい。


音源が等速円運動している場合(図1)と観測者が等速円運動している場合(図3)の音の速さや波長について考える。

問5 次の文章(a)〜(d)のうち、正しいものの組み合わせを、後の@〜Eのうちから1つ選べ。[ 20 ]

(a) 図1の場合、観測者から見ると、点Aを通過したときに出した音の速さの方が、点Bを通過したときに出した音の速さより大きい。
(b) 図1の場合、原点Oを通過する音波の波長は、音源の位置によらずすべて等しい。
(c) 図3の場合、音源から見た音の速さは、音が進む向きによらずすべて等しい。
(d) 図3の場合、点Cを通過する音波の波長は、点Dを通過する音波の波長より長い。


問5の解答解説はこのページ下


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◆解答解説

正しいものの組み合わせを選ぶ問題ですが、つまりはa〜dそれぞれの正誤を判断すればOKです!

(a) 図1の場合、観測者から見ると、点Aを通過したときに出した音の速さの方が、点Bを通過したときに出した音の速さより大きい。
→風が吹くなどの要素がないので、音速は変わりません。つまり、aは誤り。

(b) 図1の場合、原点Oを通過する音波の波長は、音源の位置によらずすべて等しい。
→音源がOを中心とする等速円運動をしているので、音源からOの方向の速度の変化はありません。だから、振動数は一定、音速も変わらないので波長も変わりません。つまり、bは正しい。

(c) 図3の場合、音源から見た音の速さは、音が進む向きによらずすべて等しい。
→aと同様に、音速は一定です。つまりcは正しい。

(d) 図3の場合、点Cを通過する音波の波長は、点Dを通過する音波の波長より長い。
→音波の進む向きに対する速度はどちらもゼロなので、bと同様に、振動数は一定、音速も一定だから波長も一定です。つまり、dは誤り。

というわけで、「bとcが正しい」ですね!


この問題の最初に戻る→音源にはたらいている向心力の大きさと、向心力がする仕事を表す式


◆関連項目
円運動ドップラー効果
円運動まとめ波動まとめ


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