2023年08月11日

高校物理「円運動」「波動」2023年共通テスト第3問の問4より

高校物理「円運動」「波動」2023年共通テスト第3問の問4より

◆問題

全方向に等しく音を出す小球状の音源が、図1のように、点Oを中心として半径r,速さvで時計回りに等速円運動をしている。音源は一定の振動数f0の音を出しており、音源の円軌道を含む平面上で静止している観測者が、届いた音波の振動数fを測定する。

音源と観測者の位置をそれぞれ点P,Qとする。点Qから円に引いた2本の接点のうち、音源が観測者に近づきながら通過する方をA,遠ざかりながら通過する方をBとする。また、直線OQが円と交わる2点のうち観測者に近い方をC,遠い方をDとする。vは音速Vより小さく、風は吹いていない。



問1 音源にはたらいている向心力の大きさと、音源が円軌道を点Cから点Dまで半周する間に向心力がする仕事を表す式を求めよ。ただし、音源の質量をmとする。

問2 空欄に入る記号を図2の点の中から全て選べ。

音源の等速円運動にともなってfは周期的に変化するるこれは音源の速度の直線PQ方向の成分によるドップラー効果がおこるからである(図2)。このことから、fがf0と等しくなるのは、音源が[ ]を通過したときに出した音を測定した場合であることがわかる。



問3 音源が点A,点Bを通過したときに出した音を観測者が測定したところ、振動数はそれぞれfA,fBであった。fAと音源の速さvを表す式を求めよ。

問4  次に、音源と観測者を入れ替えた場合を考える。図3に示すように、音源を点Qの位置に固定し、観測者が点Oを中心に時計回りに等速円運動をする。



このとき、等速円運動をする観測者が測定する音の振動数についての記述として最も適当なものを、次の@〜Dのうちから1つ選べ。[ 19 ]
@ 点Aにおいて最も大きく、点Bにおいて最も小さい。
A 点Bにおいて最も大きく、点Aにおいて最も小さい。
B 点Cにおいて最も大きく、点Dにおいて最も小さい。
C 点Dにおいて最も大きく、点Cにおいて最も小さい。
D 観測の位置によらず常に等しい。


問4の解答解説はこのページ下


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◆解答解説

音源や観測者が移動していると、ドップラー効果により、音の振動数が変化して聞こえます。
具体的には、観測者が音源に近づくとき音は高く聞こえ、観測者が音源から遠ざかるとき音は低く聞こえます。

観測者が観測する音の振動数をf,音源から出る音の振動数をf0,音速をV,音源の速度をvs,観測者の速度をvoとすると、以下の式が成り立ちます。

★f={(V−vo)/(V−vs)}f0

ドップラー効果の式はコレですが、式を考えるまでもなくとにかく、

「近づくときは振動数が大きい。遠ざかるときは振動数が小さい」

と考えればいいですね。

ということは、「@点Aにおいて最も大きく、点Bにおいて最も小さい。」が正解です。


次の問題→図1の場合と図3の場合についての考察


◆関連項目
円運動ドップラー効果
円運動まとめ波動まとめ


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2023年08月10日

高校物理「円運動」「波動」2023年共通テスト第3問の問3より

高校物理「円運動」「波動」2023年共通テスト第3問の問3より

◆問題

全方向に等しく音を出す小球状の音源が、図1のように、点Oを中心として半径r,速さvで時計回りに等速円運動をしている。音源は一定の振動数f0の音を出しており、音源の円軌道を含む平面上で静止している観測者が、届いた音波の振動数fを測定する。

音源と観測者の位置をそれぞれ点P,Qとする。点Qから円に引いた2本の接点のうち、音源が観測者に近づきながら通過する方をA,遠ざかりながら通過する方をBとする。また、直線OQが円と交わる2点のうち観測者に近い方をC,遠い方をDとする。vは音速Vより小さく、風は吹いていない。



問1 音源にはたらいている向心力の大きさと、音源が円軌道を点Cから点Dまで半周する間に向心力がする仕事を表す式を求めよ。ただし、音源の質量をmとする。

問2 空欄に入る記号を図2の点の中から全て選べ。

音源の等速円運動にともなってfは周期的に変化するるこれは音源の速度の直線PQ方向の成分によるドップラー効果がおこるからである(図2)。このことから、fがf0と等しくなるのは、音源が[ ]を通過したときに出した音を測定した場合であることがわかる。



問3 音源が点A,点Bを通過したときに出した音を観測者が測定したところ、振動数はそれぞれfA,fBであった。fAと音源の速さvを表す式を求めよ。


問3の解答解説はこのページ下


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◆解答解説

音源や観測者が移動していると、ドップラー効果により、音の振動数が変化して聞こえます。

観測者が観測する音の振動数をf,音源から出る音の振動数をf0,音速をV,音源の速度をvs,観測者の速度をvoとすると、以下の式が成り立ちます。

★f={(V−vo)/(V−vs)}f0

今回の問題の点Aでは、音源の円運動の接線方向に観測者がいるので、vs=vとなります。
観測者は動いていないので、vo=0ですね。
ということで、

fA={V/(V−v)}f0

これでfAを表すことができました。
さらに、vも聞いているので、fBも出しておきましょう!

点Bでの接線上に観測者がいて、音源は観測者から速さvで遠ざかるので、vs=−vとなります。だから、

fB={V/(V+v)}f0

これらを合成して、f0を消去し、vについて解けばOKです。

fBの式の両辺に(V+v)をかけると、

fB(V+v)=Vf0

これをfAの式に代入すれば、

fA=fB(V+v)/(V−v)
fA(V−v)=fB(V+v)
fAV−fAv=fBV+fBv
−fAv−fBv=−fAV+fBV
v(fA+fB)=V(fA−fB)
v=V(fA−fB)/(fA+fB)


次の問題→音源と観測者を入れ替えた場合


◆関連項目
円運動ドップラー効果
円運動まとめ波動まとめ


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2023年08月08日

高校物理「円運動」「波動」2023年共通テスト第3問の問2より

高校物理「円運動」「波動」2023年共通テスト第3問の問2より

◆問題

全方向に等しく音を出す小球状の音源が、図1のように、点Oを中心として半径r,速さvで時計回りに等速円運動をしている。音源は一定の振動数f0の音を出しており、音源の円軌道を含む平面上で静止している観測者が、届いた音波の振動数fを測定する。

音源と観測者の位置をそれぞれ点P,Qとする。点Qから円に引いた2本の接点のうち、音源が観測者に近づきながら通過する方をA,遠ざかりながら通過する方をBとする。また、直線OQが円と交わる2点のうち観測者に近い方をC,遠い方をDとする。vは音速Vより小さく、風は吹いていない。



問1 音源にはたらいている向心力の大きさと、音源が円軌道を点Cから点Dまで半周する間に向心力がする仕事を表す式を求めよ。ただし、音源の質量をmとする。

問2 空欄に入る記号を図2の点の中から全て選べ。

音源の等速円運動にともなってfは周期的に変化するるこれは音源の速度の直線PQ方向の成分によるドップラー効果がおこるからである(図2)。このことから、fがf0と等しくなるのは、音源が[ ]を通過したときに出した音を測定した場合であることがわかる。




問2の解答解説はこのページ下


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◆解答解説

音源や観測者が移動していると、ドップラー効果により、音の振動数が変化して聞こえます。
逆に言えば、音源や観測者が移動していなければ、観測する振動数は変わらない。ということができます。

今回の問題では、観測者は止まっているので、音源の移動方向が観測者に向かう音の方向に対して速度ゼロになる点を探せばよい。というわけです。

例えば点Aを通過する瞬間に発生した音波は、音源は観測者の方向へ進んでいることになるので、f>f0となります。

一方、点Cを通過する瞬間は、図では真下に向かっていることになるので、観測者が観測する音の進行方向に対しての速度はゼロになります。
だから、振動数の変化はなく、f=f0です。

同様に、点Dでもf=f0です。

というわけで、解答はC,Dの2ヶ所となります。


次の問題→fAと音源の速さvを表す式


◆関連項目
円運動ドップラー効果
円運動まとめ波動まとめ


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2023年08月07日

高校物理「力学」「円運動」2023年共通テスト第3問の問1より

高校物理「円運動」「波動」2023年共通テスト第3問の問1より

◆問題

全方向に等しく音を出す小球状の音源が、図1のように、点Oを中心として半径r,速さvで時計回りに等速円運動をしている。音源は一定の振動数f0の音を出しており、音源の円軌道を含む平面上で静止している観測者が、届いた音波の振動数fを測定する。

音源と観測者の位置をそれぞれ点P,Qとする。点Qから円に引いた2本の接点のうち、音源が観測者に近づきながら通過する方をA,遠ざかりながら通過する方をBとする。また、直線OQが円と交わる2点のうち観測者に近い方をC,遠い方をDとする。vは音速Vより小さく、風は吹いていない。



問1 音源にはたらいている向心力の大きさと、音源が円軌道を点Cから点Dまで半周する間に向心力がする仕事を表す式を求めよ。ただし、音源の質量をmとする。


解答解説はこのページ下


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◆解答解説

まずは、円運動をしている物体の向心力と仕事についての設問です。

「音を出している」「観測者」「風はない」などの情報がありますが、問1に関して必要な情報は要するに、

「質量mの物体が速さvで円運動をしている」

です。
この条件の向心力と仕事を求めればOK!というわけです。

向心力はF=mrω2ですね。
ω=v/rでωを消去すると、

F=mv2/r

この式が得られます。
今回の問題でも、音源の質量はm,速さはv,円運動の半径はrだから、このままで向心力の式は完成です!


そして仕事は「仕事=力×距離」ですが、この距離は「力の方向に動いた距離」なので、向心力のした仕事はゼロです。

向心力は常に円の中心方向です。
円周上を動く物体の運動の方向は常に円周方向です。つまり、接線の方向です。
だから、向心力の向きと物体の運動の向きは常に直角です。
というわけで、「力の方向に動いた距離」はゼロだから、仕事もゼロ。となります。


つまり解答は、
向心力・・・mv2/r,仕事・・・0


次の問題→fとf0が等しくなるとき


◆関連項目
円運動向心力仕事
円運動まとめ


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2023年07月27日

高校物理「交流電流」コイルの抵抗と自己インダクタンス

高校物理「交流電流」コイルの抵抗と自己インダクタンス

抵抗の無視できない導線でつくったコイルに、6.0Vの直流電圧を加え、充分に時間が経過した後電流を測定したところ、2.0Aであった。同じコイルに実効値6.0V,周波数50Hzの交流電圧を加えたとき、電流の実効値は1.2Aであった。このコイルの抵抗と自己インダクタンスを求めよ。


共通テスト・センター過去問



抵抗の無視できないコイルは、抵抗を無視できる(抵抗ゼロ)のコイルと抵抗との直列接続とみなして計算すればOKです。

6.0Vの直流電圧をかけたら2.0Aの電流が流れたのだから、まずは普通にオームの法則で、

6.0=2.0×Rより、R=3.0[Ω]


自己インダクタンスを求めるには、インピーダンスの式を使うと良いです。

Z=√{R2+(ωL)2}

ですね。
さらに、ω=2πfだから、

Z=√{R2+(2πfL)2}

と表すことができます。
この式のLを求めたい。ということで、残りの文字の値を求めていきます。

まず「交流電圧をかけた」という部分から、

6.0=1.2×Zより、Z=5.0[Ω]


Z=5.0,R=3.0だから、

  5.0=√{3.02+(2πfL)2}
   25=9+(2πfL)2 ←両辺を2乗した
(2πfL)2=16
2πfL=4.0
   L=4.0/2πf

f=50,π=3.14を代入すると、

   L=4.0/(2×50×3.14)
    =0.04/3.14
    ≒1.27×10-2[H]


◆関連項目
インピーダンスを求める問題
電気・磁気まとめ


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2023年07月08日

高校物理(用語)「コンプトン効果」

高校物理(用語)「コンプトン効果」

★コンプトン効果(Compton effect)

X線が物質に当たって散乱すると、散乱前よりも波長が長いX線が観測される現象があり、これをコンプトン効果という。


コンプトン効果に関する問題では、X線光子と物質(電子など)の弾性衝突によってこのコンプトン効果が生じると考えて、運動量保存の式と、エネルギー保存の式を立てて連立して解くものがノーマルだと思います。
X線や電子などの粒子を扱いますが、普通の物体の衝突と立式の仕方は同じであることを意識して解いてみると、何とかなるはずです!


物理の問題集は、市販問題集ではコレをオススメしています。迷ったら一度試してみては?



◆ 関連項目
力学的エネルギーの保存運動量
プランク定数原子まとめ


江間淳の書籍はこちら
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2023年07月07日

高校物理「熱力学」シリンダー内の気体の膨張A

高校物理「熱力学」シリンダー内の気体の膨張A

◆問題

断面積が0.010m2の円筒形のシリンダーを鉛直に立てて、なめらかに動くピストンを用いて気体を密封する。このピストンの上にある質量のおもりを載せたとき、ピストンは底から0.20mの位置で静止し、シリンダー内の気体の圧力は2.0×105Pa,温度は27℃だった。
さらに、この状態で、外から気体を熱したところ、温度は87℃になった。

(1) ピストンは何m上昇するか求めよ。

(2) 気体が外部にした仕事を求めよ。


↓この記事では(2)を解説します↓


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AE個別学習室(えまじゅく)水戸教室では、学校の授業の補習、定期テスト対策だけでなく、「大学入試共通テスト」の対策授業を行っています。
従来のセンター試験や試行テストの内容を踏まえて、理系文系全科目の指導が可能です。
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適切な時期に適切な対策をすれば、どんな目標でも達成可能です。志望校を諦める前に、まずは一度ご相談ください。


◆解説

気体がその圧力の分の力でピストンを押してピストンが動いたので、その分の仕事が「気体が外部にする仕事」となります。
だから、

W=pΔV

です。
今回の問題では、(1)でピストンを動かした距離を求めているので、「W=Fs」で求めた方が簡単かも知れません。

「力=圧力×面積」だから、F=2.0×105×0.010=2.0×103
ピストンは4.0×10-2m動いたので、

W=2.0×103×4.0×10-2=80J


(1)に戻る


ちなみに、このシリンダー内の気体は外部から熱を得て、温度上昇と外部への仕事をしたので、得た熱量は80Jよりも大きいと推定できます。


◆関連項目
熱力学まとめ


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2023年07月06日

高校物理「熱力学」シリンダー内の気体の膨張@

高校物理「熱力学」シリンダー内の気体の膨張@

◆問題

断面積が0.010m2の円筒形のシリンダーを鉛直に立てて、なめらかに動くピストンを用いて気体を密封する。このピストンの上にある質量のおもりを載せたとき、ピストンは底から0.20mの位置で静止し、シリンダー内の気体の圧力は2.0×105Pa,温度は27℃だった。
さらに、この状態で、外から気体を熱したところ、温度は87℃になった。

(1) ピストンは何m上昇するか求めよ。


↓解答解説はお知らせの下↓


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適切な時期に適切な対策をすれば、どんな目標でも達成可能です。志望校を諦める前に、まずは一度ご相談ください。


◆解説

まず気体の状態が変化する設定なので、(ボイル・)シャルルの法則が使えるのではないか?と考えます。

つまり、PV/Tは一定です。

そして、「なめらかに動くピストン」ということは、摩擦力はゼロとみなしてよい。と考えられます。
また、ピストンが動いても、おもり(+ピストン)の質量は変わらないので、シリンダー内の気体の圧力は変わらない。ということができます。

Pは変化しないのでPを消去して、「V/Tが一定」と考えて、等式を作りましょう。
xm上昇するとすると、

(0.010×0.20)/(27+273)={0.010×(0.20+x)}/(87+273)

あとは普通に解いていきます。

0.002/300=0.010(0.20+x)/360
 3(0.20+x)=0.72
   0.6+3x=0.72
       3x=0.12
        x=0.04

有効数字を2ケタとすれば、4.0×10-2


次の問題→気体が外部にした仕事


◆関連項目
熱力学まとめ


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2023年06月30日

高校物理「熱力学」窒素分子の運動・圧力C

高校物理「熱力学」窒素分子の運動・圧力C

◆問題

窒素分子の運動について、次の問いに答えよ。ただし、N=14,アボガドロ定数を6.0×1023、気体定数を8.3[J/(mol・K)]、√24.9≒5.0とする。

(1) 窒素分子1個の質量は何kgか?

(2) 7℃における窒素分子の二乗平均速度は何m/sか?

(3) (2)の速さの窒素分子1個が、容器の壁に垂直に弾性衝突して跳ね返るとき、壁に与える力積の大きさを求めよ。

(4) この条件の窒素分子が、容器の壁に衝突するとき、1気圧(1.0×105Pa)の圧力を生じるためには、1m2あたり毎秒何個の窒素分子が衝突すればよいか求めよ。


↓(4)の解答解説はお知らせの下↓


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適切な時期に適切な対策をすれば、どんな目標でも達成可能です。志望校を諦める前に、まずは一度ご相談ください。


◆解説

1.0×105Paの圧力なので、1m2に1.0×105Nの力が加わればよいですね。

さらに、1秒あたりの力積で考えると、1.0×105N・sですね。

これが1.0×105Paの圧力を生じるために必要な力積となります。

窒素子1個が壁に与える力積は、(3)で求めたように、4.66×10-23[N・s]なので、何個分で1.0×105N・sになるかを考えればOK!というわけです。

求める分子数をnとすると、

n=1.0×105N・s÷4.66×10-23
 =(1/4.66)×1028
 =0.214…×1028
 ≒2.14×1027

有効数字を2ケタとすれば、2.1×1027


(1)に戻る


◆関連項目
熱力学まとめ


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2023年06月29日

高校物理「熱力学」窒素分子の運動・圧力B

高校物理「熱力学」窒素分子の運動・圧力B

◆問題

窒素分子の運動について、次の問いに答えよ。ただし、N=14,アボガドロ定数を6.0×1023、気体定数を8.3[J/(mol・K)]、√24.9≒5.0とする。

(1) 窒素分子1個の質量は何kgか?

(2) 7℃における窒素分子の二乗平均速度は何m/sか?

(3) (2)の速さの窒素分子1個が、容器の壁に垂直に弾性衝突して跳ね返るとき、壁に与える力積の大きさを求めよ。


↓解答解説はお知らせの下↓


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◆解説

(2)で窒素分子の二乗平均速度を求めました。
5.0×102[m/s]ですね。

窒素分子は壁で弾性衝突するので、その運動量の変化は

mv−(−mv)=2mv

となります。
「運動量=力積」で、壁に与えた力積と窒素分子の受けた力積は等しいので、壁に与えた力積も2mvとなります。

窒素分子の質量は(1)で求めたので、これらを代入して、

2mv=2×4.66×10-26×5.0×102
  =4.66×10-23[N・s]


次の問題→1気圧のとき


◆関連項目
熱力学まとめ


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高校物理「熱力学」窒素分子の運動・圧力A

高校物理「熱力学」窒素分子の運動・圧力A

◆問題

窒素分子の運動について、次の問いに答えよ。ただし、N=14,アボガドロ定数を6.0×1023、気体定数を8.3[J/(mol・K)]、√24.9≒5.0とする。

(1) 窒素分子1個の質量は何kgか?

(2) 7℃における窒素分子の二乗平均速度は何m/sか?


↓(2)の解答解説はお知らせの下↓


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◆解説

分子量M,絶対温度T[K]の気体分子の二乗平均速度は、

二乗平均速度=√(3RT/NAm)

で表されます。

Amは1molのグラム質量なので、NAm=M×10-3[kg/mol]です。
与えられた値を代入すると、

二乗平均速度=√[(3×8.3×(7+273)}/28×10-3]
      =√(7470/28×10-3)
      ≒√(24.9×104)
      ≒5.0×102[m/s]


次の問題→窒素分子が壁に与える力積


◆関連項目
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2023年06月28日

高校物理「熱力学」窒素分子の運動・圧力@

高校物理「熱力学」窒素分子の運動・圧力@

◆問題

窒素分子の運動について、次の問いに答えよ。ただし、N=14,アボガドロ定数を6.0×1023、気体定数を8.3[J/(mol・K)]とする。

(1) 窒素分子1個の質量は何kgか?


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◆解説

窒素の原子量は14で、窒素はN2だから分子量は28です。
分子量が28ということは、1molの窒素分子の質量は28gです。

1mol=6.0×1023だから、窒素分子1個の質量は

28/6.0×1023[g]

となります。
今回の問題では、kgで聞いているので、さらにkgに直して、できるだけ簡単にします。

 28/6.0×1023[g]
=(28/6.0×1023)×10-3[kg]
=(28/6)×10-26
=4.66…×10-26

有効数字を2ケタとすれば、求める質量は4.7×10-26kg


次の問題→7℃における二乗平均速度


◆関連項目
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2023年06月17日

高校物理「力学」「円運動」ピンがあるときの振り子B

高校物理「力学」「円運動」ピンがあるときの振り子B

◆問題

軽い糸の一端を点Oに固定し、他端に質量mの小球をつける。点Oから鉛直下向きにaだけ離れた点Pにはピンがつけられている。今小球は直線OP上で自然に静止し、糸はまっすぐ伸びた状態になっている。このときの小球の位置をBとする。この糸が伸びた状態のまま小球を持ち上げ、糸が水平になったときの小球の位置をAとする。
Aから小球を静かに離すと、小球がBを通過するときに糸はピンにかかり、小球は点Pを中心とする半径bの円運動を始めた。その後、小球がBを通過して中心角αだけ回転した直後に糸がたるみ始めたとする。重力加速度をgとして次の問いに答えよ。

(1) ∠CPBがθとなる点Cを通過するときの小球の速さvCを求めよ。

(2) 小球が点Cを通過するときの、糸の張力Tを求めよ。

(3) ∠DPBをαとして、cosαの値を求めよ。


この記事では(3)を解説します。


参考図

↓ A――――O
      |a
     P|――C↑
      |b
      B
      →
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◆解答解説

Cより上のDまで行ったとき、糸がたるみ始める。という設定です。

物体がBを通過して上がっていくと、だんだんスピードが遅くなり、それに伴い糸の張力も小さくなっていきます。
そして、たるみ始める瞬間に、糸の張力がゼロになります。

というわけで、(2)で求めたTの式を利用して、T=0で解けばOKですね!

移項するなどの計算をするので、mgでくくる前の式を使うと計算しやすいです。

T=2mga/b+3mgcosθ

これにT=0,θ=αを代入すると、

   0=2mga/b+3mgcosα
3cosα=−2a/b
 cosα=−2a/3b


この問題の最初に戻る→(1) ∠CPBがθとなる点Cを通過するときの小球の速さvCを求めよ。


◆関連項目
糸が鉛直方向とθの角をなすような点Aまで持ち上げ、静かにはなした。円運動
円運動まとめ


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2023年06月16日

高校物理「力学」「円運動」ピンがあるときの振り子A

高校物理「力学」「円運動」ピンがあるときの振り子A

◆問題

軽い糸の一端を点Oに固定し、他端に質量mの小球をつける。点Oから鉛直下向きにaだけ離れた点Pにはピンがつけられている。今小球は直線OP上で自然に静止し、糸はまっすぐ伸びた状態になっている。このときの小球の位置をBとする。この糸が伸びた状態のまま小球を持ち上げ、糸が水平になったときの小球の位置をAとする。
Aから小球を静かに離すと、小球がBを通過するときに糸はピンにかかり、小球は点Pを中心とする半径bの円運動を始めた。その後、小球がBを通過して中心角αだけ回転した直後に糸がたるみ始めたとする。重力加速度をgとして次の問いに答えよ。

(1) ∠CPBがθとなる点Cを通過するときの小球の速さvCを求めよ。
(2) 小球が点Cを通過するときの、糸の張力Tを求めよ。


この記事では(2)を解説します。


参考図

 A――――O
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◆解答解説

円運動をしている物体は、一定の向心力を受けて円軌道上に留まっていると考えられます。
この物体に働いている力は、糸の張力と重力ですね。
だから、これら張力と重力の合力が向心力になっている。ということができます。

重力は鉛直下向きにmgですが、点Cでは糸がθだけ斜めになっているので、その向き(回転の中心の方向)の分力を考える必要があります。
円周上の点を頂点とする三角形を考えてみると、つまり、もとめる分力はmgcosθです。

つまり、「Tとmgcosθの差が向心力」ですね。

向心力の公式は、F=mrω2で、ω=v/rだから、F=mv2/rです。

ということで、

mvC2/b=T−mgcosθ

このような式ができます。
これをTについて解くと、

T=mvC2/b+mgcosθ

さらに、(1)よりvC=√{2g(a+bcosθ)}がわかっているので、代入してみましょう!

T=m{2g(a+bcosθ)/b}+mgcosθ
 =2mga/b+2mgbcosθ/b+mgcosθ
 =2mga/b+3mgcosθ

これで終わりでも問題ありませんが、mgでくくった方が模範的だと思います。

 =mg(2a/b+3cosθ)


次の問題→∠DPB


◆関連項目
糸が鉛直方向とθの角をなすような点Aまで持ち上げ、静かにはなした。円運動
円運動まとめ


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2023年06月15日

高校物理「力学」「円運動」ピンがあるときの振り子@

高校物理「力学」「円運動」ピンがあるときの振り子@

◆問題

軽い糸の一端を点Oに固定し、他端に質量mの小球をつける。点Oから鉛直下向きにaだけ離れた点Pにはピンがつけられている。今小球は直線OP上で自然に静止し、糸はまっすぐ伸びた状態になっている。このときの小球の位置をBとする。この糸が伸びた状態のまま小球を持ち上げ、糸が水平になったときの小球の位置をAとする。
Aから小球を静かに離すと、小球がBを通過するときに糸はピンにかかり、小球は点Pを中心とする半径bの円運動を始めた。その後、小球がBを通過して中心角αだけ回転した直後に糸がたるみ始めたとする。重力加速度をgとして次の問いに答えよ。

(1) ∠CPBがθとなる点Cを通過するときの小球の速さvCを求めよ。


参考図

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◆解答解説

糸が張っている状態では小球の力学的エネルギーは保存します。
例えば、点A,B,Cどの位置でも、位置エネルギーと運動エネルギーの和は一定です。
この関係から、方程式を作りましょう!
どちらか片方がゼロの項ができるように位置エネルギーの基準をとると簡単に計算できる場合があります。

例えば、点Cの高さを位置エネルギーの基準とすれば、

点Cの位置エネルギーはゼロ、点Aの位置エネルギーはmg(a+bcosθ)となります。

そして、点Cの運動エネルギーは(1/2)mvC2、点Aの運動エネルギーはゼロですね。

力学的エネルギーの保存より、

mg(a+bcosθ)+0=0+(1/2)mvC2

こんな式ができます。
vCについて解いてみると、

mvC2=2mg(a+bcosθ)
 vC2=2g(a+bcosθ)
 vC=√{2g(a+bcosθ)}



次の問題→Cでの張力の大きさ


◆関連項目
糸が鉛直方向とθの角をなすような点Aまで持ち上げ、静かにはなした。円運動
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2023年06月11日

高校物理「力学」台上の物体を落とすときD

高校物理「力学」台上の物体を落とすときD

地面からの高さがhの台に、自然長がh/2のゴムひもで、質量mの物体がつり下げられている。この物体を台上に載せ、時刻0で静かに落下させる。次の問いに答えよ。
ただし、位置エネルギーの基準を地面とと、重力加速度はgとし、物体の大きさ、ゴムひもの質量は無視できるものとし、ゴムひもは、自然の長さから伸びているときはばね定数kのばねと同様のふるまいをする。

(1) 物体が台上にあるとき、その重力による位置エネルギーはいくらか。

(2) 物体が地面からh/2の高さまで落下したときの時刻t0と、そのときの物体の運動エネルギーK0を求めよ。

(3) 物体の加速度が0になるような物体の地面からの高さh1を求めよ。

(4) 物体が地面まで達したとして、そのときのゴムひもの弾性力による位置エネルギーを求めよ。ただし、弾性力による位置エネルギーの基準は、ゴムひもの長さがh/2のときとする。

(5) 物体が地面に衝突しないためのkの条件を求めよ。


この記事では(5)を解説します。


解き方の習得におすすめの問題集です。



物体が地面に衝突しないためには、物体の高さが0になる前に、物体の速度が0になればOKですね。
物体の速度がゼロならば、運動エネルギーもゼロになるので、力学的エネルギーの保存を考えるとやりやすいと思います。

物体が落下し始めるときは、速度ゼロ、高さはhなので、最初の状態の力学的エネルギーは、

0+mgh

です。

地面に衝突しない場合の最下点まで行ったときは、速度ゼロ=運動エネルギーゼロ、弾性力による位置エネルギーは(4)より(1/8)kh2、そしてギリギリ地面に衝突しない場合は重力による位置エネルギーはゼロと考えて、

0+(1/8)kh2+0

力学的エネルギーの保存より、これら2つの状態のエネルギーは保存されるので、イコールで結びます。
つまり、

mgh=(1/8)kh2
kh2=8mgh
 k=8mgh/h2
 k=8mg/h

地面すれすれまで物体が下がるときのkの値がコレで、kが大きければ物体の速度がゼロになるのはもっと上の位置になるから、
求めるkの値の範囲は、

k>8mg/h


この問題の最初に戻る→(1) 物体が台上にあるときの重力による位置エネルギー


◆関連項目
重力力学的エネルギーの保存
力〜エネルギーまとめ


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高校物理「力学」台上の物体を落とすときC

高校物理「力学」台上の物体を落とすときC

地面からの高さがhの台に、自然長がh/2のゴムひもで、質量mの物体がつり下げられている。この物体を台上に載せ、時刻0で静かに落下させる。次の問いに答えよ。
ただし、位置エネルギーの基準を地面とと、重力加速度はgとし、物体の大きさ、ゴムひもの質量は無視できるものとし、ゴムひもは、自然の長さから伸びているときはばね定数kのばねと同様のふるまいをする。

(1) 物体が台上にあるとき、その重力による位置エネルギーはいくらか。

(2) 物体が地面からh/2の高さまで落下したときの時刻t0と、そのときの物体の運動エネルギーK0を求めよ。

(3) 物体の加速度が0になるような物体の地面からの高さh1を求めよ。

(4) 物体が地面まで達したとして、そのときのゴムひもの弾性力による位置エネルギーを求めよ。ただし、弾性力による位置エネルギーの基準は、ゴムひもの長さがh/2のときとする。


この記事では(4)を解説します。


解き方の習得におすすめの問題集です。



ゴムひもの自然長はh/2,地面の高さは0なので、物体が地面に達したときには、ゴムひもの伸びはh/2となります。

ゴムひもはバネと同じように考えて、弾性力による位置エネルギーは、

U=(1/2)kx2

で表します。

この問題では、ゴムひもの伸びはh/2だから、x=h/2を代入して、

U=(1/2)k×(h/2)2
 =(1/2)kh2/4
 =(1/8)kh2


次の問題→物体が地面に衝突しない条件


◆関連項目
F=kx運動エネルギー位置エネルギー
力〜エネルギーまとめ


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2023年06月10日

高校物理「力学」台上の物体を落とすときB

高校物理「力学」台上の物体を落とすときB

地面からの高さがhの台に、自然長がh/2のゴムひもで、質量mの物体がつり下げられている。この物体を台上に載せ、時刻0で静かに落下させる。次の問いに答えよ。
ただし、位置エネルギーの基準を地面とと、重力加速度はgとし、物体の大きさ、ゴムひもの質量は無視できるものとし、ゴムひもは、自然の長さから伸びているときはばね定数kのばねと同様のふるまいをする。

(1) 物体が台上にあるとき、その重力による位置エネルギーはいくらか。

(2) 物体が地面からh/2の高さまで落下したときの時刻t0と、そのときの物体の運動エネルギーK0を求めよ。

(3) 物体の加速度が0になるような物体の地面からの高さh1を求めよ。


この記事では(3)を解説します。


解き方の習得におすすめの問題集です。



ゴムひもが伸び始めると、物体はゴムひもから鉛直上向きの力を受けることになります。
ゴムひもの自然長はh/2なので、物体がh/2以上落ちると、ゴムひもの弾性力が発生し、ゴムひもが伸びれば伸びるほど弾性力は大きくなります。

「加速度が0」になるのは、物体に働く力の「合力がゼロ」になるときです。
つまり、ゴムひもの弾性力と重力が等しいとき、加速度がゼロになります。

地面からの高さがh1のとき、ゴムひもの伸びは、(h/2−h1)ですね。
ばね定数(ゴム定数?)は、kなので、このときのゴムひもの弾性力はk(h/2−h1)となります。

物体にはたらく重力はmgだから、「加速度が0」のときに成り立つ式は、

k(h/2−h1)=mg

コレです。
h1を聞いてるので、h1について解きます。

h/2−h1=mg/k
   −h1=mg/k−h/2
    h1=h/2−mg/k


次の問題→ゴムひもの弾性力による位置エネルギー


◆関連項目
重力運動エネルギー
力〜エネルギーまとめ


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2023年06月09日

高校物理「力学」台上の物体を落とすときA

高校物理「力学」台上の物体を落とすときA

地面からの高さがhの台に、自然長がh/2のゴムひもで、質量mの物体がつり下げられている。この物体を台上に載せ、時刻0で静かに落下させる。次の問いに答えよ。
ただし、位置エネルギーの基準を地面とと、重力加速度はgとし、物体の大きさ、ゴムひもの質量は無視できるものとし、ゴムひもは、自然の長さから伸びているときはばね定数kのばねと同様のふるまいをする。

(1) 物体が台上にあるとき、その重力による位置エネルギーはいくらか。

(2) 物体が地面からh/2の高さまで落下したときの時刻t0と、そのときの物体の運動エネルギーK0を求めよ。


この記事では(2)を解説します。


解き方の習得におすすめの問題集です。



ゴムひもはバネと違って、自然長より短い時は押し戻す力ははたらかないと考えられます。
つまり、自然長になるまでは、自由落下と同じ。というわけです。

もとの高さがhで、問題で聞いている高さがh/2だから、それまでに落下した距離はh−h/2=h/2ですね。

h/2落下するのにかかる時間は、

等速直線運動の公式を用いて、

h/2=(1/2)g・t02
  h=gt02
t02=h/g
よって、t0=√(h/g)

さらに、v=v0+atだから、そのときの物体の速さは、

v=gt0=g・√(h/g)=√(gh)

運動エネルギーK=(1/2)mv2に、このvを代入すると、

K=(1/2)m√(gh)2
 =(1/2)mgh


次の問題→物体の加速度が0になるとき


◆関連項目
重力運動エネルギー
力〜エネルギーまとめ


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2023年06月07日

高校物理「力学」台上の物体を落とすとき@

高校物理「力学」台上の物体を落とすとき@

地面からの高さがhの台に、自然長がh/2のゴムひもで、質量mの物体がつり下げられている。この物体を台上に載せ、時刻0で静かに落下させる。次の問いに答えよ。
ただし、位置エネルギーの基準を地面とと、重力加速度はgとし、物体の大きさ、ゴムひもの質量は無視できるものとし、ゴムひもは、自然の長さから伸びているときはばね定数kのばねと同様のふるまいをする。

(1) 物体が台上にあるとき、その重力による位置エネルギーはいくらか。


解き方の習得におすすめの問題集です。



まず(1)では、台の上にある物体の位置エネルギーを聞いています。

位置エネルギーはU=mghですね。

今回の問題でも、物体の質量はm,重力加速度はg,台の高さはhだから、求める位置エネルギーは

mgh

となります。


次の問題→物体がh/2の高さになるときの時刻と運動エネルギー


◆関連項目
重力
力〜エネルギーまとめ


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