2023年06月10日

高校物理「力学」台上の物体を落とすときB

高校物理「力学」台上の物体を落とすときB

地面からの高さがhの台に、自然長がh/2のゴムひもで、質量mの物体がつり下げられている。この物体を台上に載せ、時刻0で静かに落下させる。次の問いに答えよ。
ただし、位置エネルギーの基準を地面とと、重力加速度はgとし、物体の大きさ、ゴムひもの質量は無視できるものとし、ゴムひもは、自然の長さから伸びているときはばね定数kのばねと同様のふるまいをする。

(1) 物体が台上にあるとき、その重力による位置エネルギーはいくらか。

(2) 物体が地面からh/2の高さまで落下したときの時刻t0と、そのときの物体の運動エネルギーK0を求めよ。

(3) 物体の加速度が0になるような物体の地面からの高さh1を求めよ。


この記事では(3)を解説します。


解き方の習得におすすめの問題集です。



ゴムひもが伸び始めると、物体はゴムひもから鉛直上向きの力を受けることになります。
ゴムひもの自然長はh/2なので、物体がh/2以上落ちると、ゴムひもの弾性力が発生し、ゴムひもが伸びれば伸びるほど弾性力は大きくなります。

「加速度が0」になるのは、物体に働く力の「合力がゼロ」になるときです。
つまり、ゴムひもの弾性力と重力が等しいとき、加速度がゼロになります。

地面からの高さがh1のとき、ゴムひもの伸びは、(h/2−h1)ですね。
ばね定数(ゴム定数?)は、kなので、このときのゴムひもの弾性力はk(h/2−h1)となります。

物体にはたらく重力はmgだから、「加速度が0」のときに成り立つ式は、

k(h/2−h1)=mg

コレです。
h1を聞いてるので、h1について解きます。

h/2−h1=mg/k
   −h1=mg/k−h/2
    h1=h/2−mg/k


次の問題→ゴムひもの弾性力による位置エネルギー


◆関連項目
重力運動エネルギー
力〜エネルギーまとめ


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2023年06月09日

高校物理「力学」台上の物体を落とすときA

高校物理「力学」台上の物体を落とすときA

地面からの高さがhの台に、自然長がh/2のゴムひもで、質量mの物体がつり下げられている。この物体を台上に載せ、時刻0で静かに落下させる。次の問いに答えよ。
ただし、位置エネルギーの基準を地面とと、重力加速度はgとし、物体の大きさ、ゴムひもの質量は無視できるものとし、ゴムひもは、自然の長さから伸びているときはばね定数kのばねと同様のふるまいをする。

(1) 物体が台上にあるとき、その重力による位置エネルギーはいくらか。

(2) 物体が地面からh/2の高さまで落下したときの時刻t0と、そのときの物体の運動エネルギーK0を求めよ。


この記事では(2)を解説します。


解き方の習得におすすめの問題集です。



ゴムひもはバネと違って、自然長より短い時は押し戻す力ははたらかないと考えられます。
つまり、自然長になるまでは、自由落下と同じ。というわけです。

もとの高さがhで、問題で聞いている高さがh/2だから、それまでに落下した距離はh−h/2=h/2ですね。

h/2落下するのにかかる時間は、

等速直線運動の公式を用いて、

h/2=(1/2)g・t02
  h=gt02
t02=h/g
よって、t0=√(h/g)

さらに、v=v0+atだから、そのときの物体の速さは、

v=gt0=g・√(h/g)=√(gh)

運動エネルギーK=(1/2)mv2に、このvを代入すると、

K=(1/2)m√(gh)2
 =(1/2)mgh


次の問題→物体の加速度が0になるとき


◆関連項目
重力運動エネルギー
力〜エネルギーまとめ


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2023年06月07日

高校物理「力学」台上の物体を落とすとき@

高校物理「力学」台上の物体を落とすとき@

地面からの高さがhの台に、自然長がh/2のゴムひもで、質量mの物体がつり下げられている。この物体を台上に載せ、時刻0で静かに落下させる。次の問いに答えよ。
ただし、位置エネルギーの基準を地面とと、重力加速度はgとし、物体の大きさ、ゴムひもの質量は無視できるものとし、ゴムひもは、自然の長さから伸びているときはばね定数kのばねと同様のふるまいをする。

(1) 物体が台上にあるとき、その重力による位置エネルギーはいくらか。


解き方の習得におすすめの問題集です。



まず(1)では、台の上にある物体の位置エネルギーを聞いています。

位置エネルギーはU=mghですね。

今回の問題でも、物体の質量はm,重力加速度はg,台の高さはhだから、求める位置エネルギーは

mgh

となります。


次の問題→物体がh/2の高さになるときの時刻と運動エネルギー


◆関連項目
重力
力〜エネルギーまとめ


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2023年05月08日

高校物理「磁気」抵抗に交流電圧を加えたときの消費電力B

高校物理「磁気」抵抗に交流電圧を加えたときの消費電力B

◆問題

100Ωの抵抗に、V=100√2・sin100Πt[V]の交流電圧を加える。

(1) 抵抗に流れる電流I[A]を、時刻tを用いて表せ。

(2) 抵抗で消費される電力P[W]を、時刻tを用いて表せ。

(3) 交流の1周期分について、電力の平均値を求めよ。


(3)の解答解説はお知らせの下


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(2)より、P=100(1−cos200πt)[W]
ですね。

つまり、電力はコサインの関数になっています。

P=100を中心に、増加と減少を同じ割合で繰り返すことなります。

グラフを考えると、山と谷がちょうど同じ形と高さ・深さで繰り返されます。

ということは、電力の平均値は、その振動の中心つまり、P=100[W]になる。と判断できますね!


この問題の最初に戻る→(1) 抵抗に流れる電流I[A]を、時刻tを用いて表せ。


◆関連項目
電気・磁気まとめ


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2023年05月07日

高校物理「磁気」抵抗に交流電圧を加えたときの消費電力A

高校物理「磁気」抵抗に交流電圧を加えたときの消費電力A

◆問題

100Ωの抵抗に、V=100√2・sin100Πt[V]の交流電圧を加える。

(1) 抵抗に流れる電流I[A]を、時刻tを用いて表せ。

(2) 抵抗で消費される電力P[W]を、時刻tを用いて表せ。


(2)の解答解説はお知らせの下


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交流電流でも、オームの法則は成り立ちますし、電力=電流×電圧すなわちP=IVは変わりません。

(1)で、I=√2・sin100Πtを求めました。
そして問題文に、V=100√2・sin100Πtが与えられています。

これらを代入して計算すればOK!ですね!

P=√2・sin100Πt・100√2・sin100Πt
 =200sin2100πt

これで終わりでも間違いではありませんが、サインの2乗は、解答では、なるべく2乗にならないように変形した方がよいです。

三角関数の2倍角の公式より

cos2θ=cos2θ−sin2θ
    =1−2sin2θ
よって、sin2θ=(1/2)(1−cos2θ)

つまり、

sin2100πt=(1/2)(1−cos200πt)となります。
だから、

P=200・(1/2)(1−cos200πt)
 =100(1−cos200πt)[W]


次の問題→電力Pの平均


◆関連項目
電気・磁気まとめ


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2023年05月05日

高校物理「磁気」抵抗に交流電圧を加えたときの消費電力@

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◆問題

100Ωの抵抗に、V=100√2・sin100Πt[V]の交流電圧を加える。

(1) 抵抗に流れる電流I[A]を、時刻tを用いて表せ。


解答解説はお知らせの下


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交流電流でも、オームの法則は成り立ちます。

つまり、この問題でもV=RIの関係が使えます。

I=V/Rに、V=100√2・sin100Πt,R=100を代入して、

I=100√2・sin100Πt/100=√2・sin100Πt

この問題はこれだけで終わりです!


次の問題→抵抗で消費される電力


◆関連項目
電気・磁気まとめ


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2023年01月11日

高校物理(用語)「光電管」

高校物理(用語)「光電管」

★光電管(phototube)

光電効果を利用して、光を電流に変える作用を持つ電子管。


陰極に光を当てて光電子を放出させ、それを陽極に集めて電流を得る装置で、主に光電効果の実験の問題に登場します。
陽極の電位をある値より小さくすると、陰極を飛び出した光電子が陽極にたどりつけなくなり、光電流が流れなくなる。このときの電圧(阻止電圧)を用いて、光電子の運動エネルギーや仕事関数などを表すことができます。


物理の問題集は、市販問題集ではコレをオススメしています。迷ったら一度試してみては?



◆ 関連項目
光電効果仕事関数
原子まとめ


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2023年01月10日

高校物理(用語)「光電子」

高校物理(用語)「光電子」

★光電子(photoelectron)

金属表面に光をあてると電子が飛び出す現象を光電効果といい、このとき飛び出した電子を光電子という。


光が強ければ、光子の数が多いので、光電子も多くなり、光電流が大きくなる。
そして光電管を含む回路に電流を流した場合、光電流は光子の数によって決まるので、電圧がゼロでも光電流は流れ、電源の電圧を高くしても光電流は変化しない。という関係があることを把握しておきましょう。


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◆ 関連項目
光電効果仕事関数
原子まとめ


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2023年01月07日

高校物理(用語)「限界振動数」

高校物理(用語)「限界振動数」

★限界振動数(threshold frequency)

光の振動数がある値よりも小さければ、光電効果が起こらない。この「ある値」を限界振動数といい、限界振動数は通常ν0で表す。


金属表面に光をあてると電子が飛び出す現象を光電効果といい、限界振動数は金属の種類によって異なります。
また、金属内部の電子を飛び出させるには仕事が必要で、この仕事の最小値を仕事関数といいます。


物理の問題集は、市販問題集ではコレをオススメしています。迷ったら一度試してみては?



◆ 関連項目
光電効果仕事関数
原子まとめ


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2023年01月05日

高校物理「電子と光」磁場中の電子の運動

高校物理「電子と光」磁場中の電子の運動

◆問題

速さ2.0×107m/sの電子が、磁束密度2.0×10-2Tの一様な磁場に垂直に入射したところ、電子は、半径5.6×10-3mの円軌道を描いて等速円運動をした。電子の比電荷はいくらか?


↓教科書の内容の習得から共通テストに対応する実力をつけるためには↓

良問の風物理頻出・標準入試問題集 (河合塾シリーズ)

◆解説

この問題の磁場中に入射した電子は、等速円運動をします。
磁場から受けるローレンツ力を向心力として一定の速さでグルグル回る。ということができます。

円運動の向心力は、F=mrω2=mr(v/r)2=mv2/r
ローレンツ力は、F=evB

です。
これらが等しいとき等速円運動をするので、

mv2/r=evB

比電荷はe/mだから、この等式をe/mについて解きます。

mv/r=eB
 e/m=v/Br

これに与えられた値をそれぞれ代入して、

e/m=2.0×107/(2.0×10-2×5.6×10×-3)
   =1.0×107/5.6×10-5
   =(1/5.6)×1012
   =0.178…×1012
   ≒1.78×1011

有効数字を2桁とすれば、e/m=1.8×1011[C/kg]


◆関連項目
向心力ローレンツ力比電荷
原子まとめ


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2022年12月28日

高校物理「波動」「光波」回折格子の筋の数

高校物理「波動」「光波」回折格子の筋の数

◆問題

波長5.0×10-7mの単色光を、回折格子に垂直に入射させたところ、入射方向と30°の角をなす方向に、4次の明線が見られた。この回折格子には、1.0cmあたり何本の筋があるか求めよ。


解答解説はこのページ下


★★ お知らせ ★★

AE個別学習室(えまじゅく)水戸教室では、学校の授業の補習、定期テスト対策だけでなく、「大学入試共通テスト」の対策授業を行っています。
従来のセンター試験や試行テストの内容を踏まえて、理系文系全科目の指導が可能です。
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適切な時期に適切な対策をすれば、どんな目標でも達成可能です。志望校を諦める前に、まずは一度ご相談ください。


◆解説

回折格子の明線の条件式は、「dsinθ=mλ」です。
dは格子定数、θは入射方向とのなす角、λは入射光の波長です。
この式でm番目の明線が見える条件を求めることができます。

この問題では、λ=5.0×10-7,θ=30°,m=4ですね。

d=mλ/sinθ
 =4・5.0×10-7/sin30°
 =20×10-7/(1/2)
 =40×10-7
 =4.0×10-6[m]

つまり、筋と筋の間隔は、4.0×10-6mであることがわかりました。
「1.0cmあたり何本の筋があるか?」を聞いているので、cmに直すと、

4.0×10-4[cm]

です。
筋の間隔がコレなので、1.0cm何本かを求めるには、割り算をして、

1/(4.0×10-4=0.25×104=2.5×103


◆関連項目
ヤングの実験の問題
強め合う条件・弱め合う条件
波動まとめ


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2022年12月22日

高校物理「波動」「光波」ヤングの実験B

高校物理「波動」「光波」ヤングの実験B

◆問題

単スリットSのある板1と間隔dの複スリットS1,S2のある板2を平行に並べる。スリットから距離L離れた位置にスクリーンを置き、Sに入射した光を観察する。ただし、板1,板2,スクリーンは平行で、S1とS2のちょうど中間とSを結んだ直線上にスクリーンの中心Oが位置する。スクリーン上のOからの距離xの点をPとし、x≪L,d≪L、整数m=0,1,2,…として、次の問いに答えよ。

(1) Sに波長λの単色光を入射させると、スクリーン上に等間隔の明暗の縞模様ができる。Pの位置に明線が見えるとき、S1P,S2P,λの関係式を求めよ。

(2) S1PとS2Pは、ほぼ平行とみなすことができる。このとき、|S1P−S2P|を、d,L,xを用いて表せ。

(3) 明線の間隔Δxを、d,L,λを用いて表せ。

この記事では(3)を解説します。


参考図

 | |    |P
 |  S1  |
S  |    |O
 |  S2  |
 | |    |
板1 板2  スクリーン


解答解説はこのページ下
(ご自分で図を描きながら読むことをおすすめします)


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適切な時期に適切な対策をすれば、どんな目標でも達成可能です。志望校を諦める前に、まずは一度ご相談ください。


◆解説

いわゆる「ヤングの実験」の問題です。
このような装置を用意し、Sに単色光を入射させると、スクリーン上に縞模様が見える。というものです。

(3)では、スクリーン上に見える明線の間隔Δxを求めます。

明線の間隔はm番目とm+1番目の明線の位置の差ですね。

(1)より、明線の条件は、|S1P−S2P|=mλです。

(2)より、|S1P−S2P|=dx/Lです。

m番目の明線の位置をxmとすれば、mλ=dxm/Lと表すことができます。
これをxmについて解くと、xm=mLλ/dですね。

Δx=xm+1−xmだから、

Δx=(m+1)Lλ/d−mLλ/d
 =Lλ/d


この問題の最初に戻る→(1) Sに波長λの単色光を入射させると、スクリーン上に等間隔の明暗の縞模様ができる。Pの位置に明線が見えるとき、S1P,S2P,λの関係式を求めよ。


◆関連項目
ヤングの実験(スリットの間隔が2dのとき)
波動まとめ


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2022年12月21日

高校物理「波動」「光波」ヤングの実験A

高校物理「波動」「光波」ヤングの実験A

◆問題

単スリットSのある板1と間隔dの複スリットS1,S2のある板2を平行に並べる。スリットから距離L離れた位置にスクリーンを置き、Sに入射した光を観察する。ただし、板1,板2,スクリーンは平行で、S1とS2のちょうど中間とSを結んだ直線上にスクリーンの中心Oが位置する。スクリーン上のOからの距離xの点をPとし、x≪L,d≪L、整数m=0,1,2,…として、次の問いに答えよ。

(1) Sに波長λの単色光を入射させると、スクリーン上に等間隔の明暗の縞模様ができる。Pの位置に明線が見えるとき、S1P,S2P,λの関係式を求めよ。

(2) S1PとS2Pは、ほぼ平行とみなすことができる。このとき、|S1P−S2P|を、d,L,xを用いて表せ。


この記事では(2)を解説します。


参考図

 | |    |P
 |  S1  |
S  |    |O
 |  S2  |
 | |    |
板1 板2  スクリーン


解答解説はこのページ下
(ご自分で図を描きながら読むことをおすすめします)


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マンツーマンの授業なので「ゼロからのスタートの人は中学の復習から」「基本ができている人は応用問題の解き方中心に」など、ひとりひとりの状況に合わせて授業を行います。
適切な時期に適切な対策をすれば、どんな目標でも達成可能です。志望校を諦める前に、まずは一度ご相談ください。


◆解説

いわゆる「ヤングの実験」の問題です。
このような装置を用意し、Sに単色光を入射させると、スクリーン上に縞模様が見える。というものです。

S1とS2は距離dだけ離れているので、厳密にはS1PとS2Pは平行ではありませんが、d≪L,x≪Lなので、ほとんど平行と考えます。

S1PとS2Pの経路差は、S1からS2Pに引いた垂線の足をHとすると、△S1S2HのS2Hの長さになります。
直角三角形なので、三平方の定理が成り立ち、辺の長さを使って三角比の式が成り立ちます。

∠S1S2H=θとすると、sinθ=S2H/S1S2

S1S2=d,S2H=|S1P−S2P|だから、sinθ=|S1P−S2P|/d
よって、|S1P−S2P|=dsinθ

d≪Lだから、sinθ=tanθと近似すると、

|S1P−S2P|=dtanθ
      =dx/L


次の問題→明線の間隔


◆関連項目
強め合う条件・弱め合う条件
波動まとめ


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2022年12月20日

高校物理「波動」「光波」ヤングの実験@

高校物理「波動」「光波」ヤングの実験@

◆問題

単スリットSのある板1と間隔dの複スリットS1,S2のある板2を平行に並べる。スリットから距離L離れた位置にスクリーンを置き、Sに入射した光を観察する。ただし、板1,板2,スクリーンは平行で、S1とS2のちょうど中間とSを結んだ直線上にスクリーンの中心Oが位置する。スクリーン上のOからの距離xの点をPとし、x≪L,d≪L、整数m=0,1,2,…として、次の問いに答えよ。

(1) Sに波長λの単色光を入射させると、スクリーン上に等間隔の明暗の縞模様ができる。Pの位置に明線が見えるとき、S1P,S2P,λの関係式を求めよ。

参考図

 | |    |P
 |  S1  |
S  |    |O
 |  S2  |
 | |    |
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◆解説

いわゆる「ヤングの実験」の問題です。
このような装置を用意し、Sに単色光を入射させると、スクリーン上に縞模様が見える。というものです。

簡単にこの現象を説明すると、

単色光がSに入射する
→Sを通った光はSから放射状に広がり、板2に達する
→そのうちS1を通った光とS2を通った光がスクリーンに達する
→S1PとS2Pの経路差により強め合ったり弱め合ったりして、縞模様が見える

こんなかんじです。

明線は明るく見える線です。
明るく見えるということは、光の波が強め合う。
だから、波の強め合う条件を考えます。

スリットを通過するだけでは位相の変化はないので、経路差が半波長の偶数倍すなわち、波長の整数倍のとき光が強め合います。

つまり、

|S1P−S2P|=mλ

です。

ちなみに、弱め合うときは半波長の奇数倍だから、暗線の見える条件は

|S1P−S2P|=(m+1/2)λ

です。


次の問題→|S1P−S2P|をd,L,xで表す


◆関連項目
強め合う条件・弱め合う条件
波動まとめ


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2022年12月06日

高校物理(用語)「光学距離」

高校物理(用語)「光学距離」

★光学距離(optical path length)

実際に光が進む距離に屈折率をかけたもの。光路長ともいう。
物質中では波の伝わる速さが屈折率に反比例して遅くなる。光も波動の性質があり、光学距離が等しければ光が届くのにかかる時間が等しい。


薄膜の干渉やくさび形空気層の干渉などで、光学距離の差つまり光路差を用いる問題が多いです。

薄膜がつけられたレンズに入射する光
屈折率nの媒質ではさまれたガラス板に入射する光
くさび形空気層の反射光
ニュートンリングの反射光

などなど。


◆関連項目
強め合う条件・弱め合う条件
波動まとめ


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2022年12月03日

高校物理「波動」「光波」ニュートンリングC

高校物理「波動」「光波」ニュートンリングC

◆問題

水平な平面ガラスの上に、曲率半径Rの平凸レンズを凸面を下にして置く。上から波長λの単色光をあてると、明暗の環が観測された。平凸レンズの球面の中心をO,平凸レンズと平面ガラスとの接点をC,Cからrだけ離れた点をB,Bの真上の平凸レンズの球面上の点をAとして、次の問いに答えよ。

(1) AB間の距離がdであったとする。dをR,rで表せ。ただし、R≫dとする。

(2) 反射光が強め合う条件式をr,R,λ,mを使って表せ。ただし、m=0,1,2,…とする。

(3) 平凸レンズの中心の真上から見ると、レンズの中心は明るく見えるか、暗く見えるか。

(4) R=100m,λ=5.0×10-7のとき、中心から5番目の明環の半径を求めよ。


この記事では(4)を解説します。
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◆解説

条件式はすでに求めているので、あとは代入して計算です。

明環は「強め合う」ときなので、(2)で求めたように条件式は、

2/R=(m+1/2)λ

です。

これにR=100,λ=5.0×10-7と、m=4を代入します。
m=0,1,2,…で、ゼロが最初なので、5番目はm=4です。

2/100=(4+1/2)×5.0×10-7
    r2=(9/2)×5.0×10-5  ←両辺に100をかけた
    r2=22.5×10-5
    r2=2.25×10-4  ←小数点以上を1けたにした
    r=1.5×10-2[m]


この問題の最初に戻る→(1) AB間の距離がdであったとする。dをR,rで表せ。ただし、R≫dとする。


◆関連項目
三平方の定理(中学数学)
光学距離
波動まとめ


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2022年12月02日

高校物理「波動」「光波」ニュートンリングB

高校物理「波動」「光波」ニュートンリングB

◆問題

水平な平面ガラスの上に、曲率半径Rの平凸レンズを凸面を下にして置く。上から波長λの単色光をあてると、明暗の環が観測された。平凸レンズの球面の中心をO,平凸レンズと平面ガラスとの接点をC,Cからrだけ離れた点をB,Bの真上の平凸レンズの球面上の点をAとして、次の問いに答えよ。

(1) AB間の距離がdであったとする。dをR,rで表せ。ただし、R≫dとする。

(2) 反射光が強め合う条件式をr,R,λ,mを使って表せ。ただし、m=0,1,2,…とする。

(3) 平凸レンズの中心の真上から見ると、レンズの中心は明るく見えるか、暗く見えるか。


この記事では(3)を解説します。
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◆解説

明るく見える=反射光が強め合う
暗く見える=反射光が弱め合う

と考えればOKです。

反射光が強め合う条件式は(2)で求めたように

2/R=(m+1/2)λ

です。

またこの問題の場合、弱め合う場合は、半波長の偶数倍になるので、

2/R=mλ

となります。

レンズの中心はr=0です。
強め合う方の式にm=0を入れてもr=0とならず、弱め合う方の式にm=0を入れればr=0となるので、

レンズの中心は反射光が弱め合う点であり、暗く見える。とわかります。


次の問題→5番目の明環の半径


◆関連項目
三平方の定理(中学数学)
光学距離
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2022年11月30日

高校物理「波動」「光波」ニュートンリングA

高校物理「波動」「光波」ニュートンリングA

◆問題

水平な平面ガラスの上に、曲率半径Rの平凸レンズを凸面を下にして置く。上から波長λの単色光をあてると、明暗の環が観測された。平凸レンズの球面の中心をO,平凸レンズと平面ガラスとの接点をC,Cからrだけ離れた点をB,Bの真上の平凸レンズの球面上の点をAとして、次の問いに答えよ。

(1) AB間の距離がdであったとする。dをR,rで表せ。ただし、R≫dとする。

(2) 反射光が強め合う条件式をr,R,λ,mを使って表せ。ただし、m=0,1,2,…とする。


この記事では(2)を解説します。
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◆解説

「強め合う」条件を考えるということは、異なる2ヶ所で反射した光を考えることになります。
その2ヶ所とは、

平凸レンズの底面と平面ガラスの表面

ですね。

平凸レンズに入射した光は、まず一部が、平凸レンズと空気との境界面で反射します。
この場合は、屈折率が平凸レンズの方が大きいので、位相は変わりません。

そして平凸レンズと空気の境界面を通過した光は、空気と平面ガラスの表面の境界面で反射します。
この場合は、屈折率は平面ガラスの方が大きいので、位相がπ変わります。

これらの光が重なり合って干渉した結果、強め合う場合と弱め合う場合があります。
片方の光は位相が変わり、もう片方は変わらないので、経路差が半波長の奇数倍のときに強め合う。と判断できます。

AB間の距離はdなので、経路差はその往復分で2dです。

ということで、

2d=(2m+1)λ/2

さらに、(1)よりd=r2/2Rだから、これを代入すると、

2・r2/2R=(2m+1)λ/2
  r2/R=(m+1/2)λ


次の問題→レンズの中心の見え方


◆関連項目
三平方の定理(中学数学)
光学距離
波動まとめ


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2022年11月29日

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◆問題

水平な平面ガラスの上に、曲率半径Rの平凸レンズを凸面を下にして置く。上から波長λの単色光をあてると、明暗の環が観測された。平凸レンズの球面の中心をO,平凸レンズと平面ガラスとの接点をC,Cからrだけ離れた点をB,Bの真上の平凸レンズの球面上の点をAとして、次の問いに答えよ。

(1) AB間の距離がdであったとする。dをR,rで表せ。ただし、R≫dとする。


解答解説はこのページ下
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◆解説

平凸レンズは、球を平面でカットした形をしています。
だからこの手のニュートンリングの問題の場合、元の球を復元して、平面の上に球が載っている形に描き直して、数学の図形の問題として考えるとよいと思います。
物理では、三平方の定理や三角比・三角関数が使えることが多いです。

AからOCに垂線を引き、OCとの交点をDとすると、直角三角形OADができます。
直角三角形なので三平方の定理が使えます。

OA2=OD2+AD2

ですね。
球の半径はRなので、OC=OA=Rです。
そして、AD=CB=r,OD=OC−CD=R−d
これらを代入します。

2=(R−d)2+r2

問題によっては普通に計算しますが、R≫dとあるので、計算を簡単にする近似を利用する方向で考えます。
αが1より充分に小さいとき、(1+α)2≒1+2αと近似することができます。
この形を利用するため、カッコの2乗の中身を(1+α)の形に直します。

両辺をR2で割ると、

2/R2=(R−d)2/R2+r2/R2
1={(R−d)/R}2+(r/R)2
1=(1−d/R)2+(r/R)2

これでカッコの中身が(1+α)の形になりました。
(1+α)2≒1+2αの近似を用いると、(1−d/R)2=1−2d/R
つまり、

1=1−2d/R+(r/R)2

あとはこれをdについて解くと、

2d/R=(r/R)2
  2d=r2/R
   d=r2/2R


次の問題→反射光が強め合う条件


◆関連項目
三平方の定理(中学数学)
光学距離
波動まとめ


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2022年11月27日

高校物理「波動」「光波」レンズに薄膜がつけられているときA

高校物理「波動」「光波」レンズに薄膜がつけられているときA

◆問題

屈折率1.8のレンズの表面に、屈折率n(1<n<1.8)の薄膜をつけ、波長λの光を垂直に入射させる。空気の屈折率を1,mを0以上の整数として、次の問いに答えよ。

(1) 空気中に戻ってくる反射光が弱め合っているとき、薄膜の厚さdをn,λ,mで表せ。

(2) n=1.4,λ=5.6×10-7のとき、レンズ内へ透過する透過光が強め合う最小のdを求めよ。


この記事では(2)を解説します。


参考図
     光
空気    ↓
   ―――――――――――
薄膜    ↓
   ―――――――――――
レンズ


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◆解説

このレンズに入射する透過光は、

(i)空気と薄膜との境界面を通過し、薄膜とレンズの境界面もそのまま通過するもの
(ii)空気と薄膜との境界面を通過し、薄膜とレンズの境界面で反射し、薄膜と空気の境界面でもう一度反射して、再び薄膜とレンズの境界面に達して通過するもの

があると考えます。

これらの透過光がレンズ内で干渉して強め合う場合について考える問題です。

まず、位相の変化について確認しましょう。

(i)は反射していないので、もちろん位相の変化はありません。
(ii)は、1回目の反射では位相が変化し、2回目の反射では位相は変化しません。

つまり、(i)の透過光と(ii)の透過光は位相がπだけずれている。と考えられます。

位相がπずれているので、強め合う条件は経路差が「半波長の奇数倍」です。

さらに、経路差は(1)の場合と同様に2dとなるので、

(1)で求めた「d=(2m+1)・λ/4n」の式を利用することができます。

この式に問題の「n=1.4,λ=5.6×10-7」と、「最小のd」から、m=0を代入すると、

d=(2×0+1)・5.6×10-7/4×1.4

あとはこれを計算すれば、求めるdの値がわかります。

d=5.6×10-7/5.6
 =1.0×10-7[m]


最初に戻る→(1) 反射光が弱め合っているとき、薄膜の厚さdをn,λ,mで表せ。


◆関連項目
屈折全反射
波動まとめ


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