本日配信のメルマガ。2022年共通テスト数学２Ｂ第４問

本日配信のメルマガでは、2022年大学入学共通テスト数学２Ｂ第４問を解説します。


【高校数学】読むだけでわかる！共通テスト数学の考え方
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■　問題

2022年共通テスト数２Ｂより

第４問

　以下のように、歩行者と自転車が自宅を出発して移動と停止を繰り返している。
歩行者と自転車の働きについて、数学的に考えてみよう。
　自宅を原点とする数直線を考えて、歩行者と自転車をその数直線上を動く点と
みなす。数直線上の点の座標がｙであるとき、その点は位置ｙにあるということに
する。また、歩行者が自宅を出発してからｘ分経過した時点を時刻ｘと表す。
歩行者は時刻０に自宅を出発し、毎分１の速さで歩き始める。自転車は時刻２に
自宅を出発し、毎分２の速さで歩行者を追いかける。自転車が歩行者に追いつくと、
歩行者と自転車はともに１分だけ停止する。その後、歩行者は再び正の向きに
毎分１の速さで歩き出し、自転車は毎分２の速さで自宅に戻る。自転車は自宅に
到着すると、１分だけ停止した後、再び毎分２の速さで歩行者を追いかける。
これを繰り返し、自転車は自宅と歩行者の間を往復する。
　ｘ＝ａnを自転車がｎ回目に自宅を出発する時刻とし、ｙ＝ｂnをそのときの
歩行者の位置とする。

(1) 花子さんと太郎さんは、数列{ａn}，{ｂn}の一般項を求めるために、歩行者と
自転車について、時刻ｘにおいて位置ｙにいることをＯを原点とする座標平面上の
点(ｘ，ｙ)で表すことにした。

グラフ→http://www.a-ema.com/img/2022math2b4a.png

　ａ1＝２，ｂ1＝２により、自転車が最初に自宅を出発するときの時刻と自転車の
位置を表す点の座標は(２，０)であり、そのときの時刻と歩行者の位置を表す点の
位置は(２，２)である。また、自転車が最初に歩行者に追いつくときの時刻と位置を
表す点の座標は([ア]，[ア])である。よって

　　ａ2＝[イ]，ｂ2＝[ウ]

である。

┌―――――――――――――――――――――――――――――――――――┐
｜花子：数列{ａn}，{ｂn}の一般項について考える前に、([ア]，[ア])の求め方｜
｜　　　について整理してみようか。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　｜
｜太郎：花子さんはどうやって求めたの？　　　　　　　　　　　　　　　　　｜
｜花子：自転車が歩行者を追いかけるときに、間隔が１分間に１ずつ縮まって　｜
｜　　　いくことを利用したよ。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　｜
｜太郎：歩行者と自転車の動きをそれぞれ直線の方程式で表して、交点を計算　｜
｜　　　して求めることもできるね。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　｜
└―――――――――――――――――――――――――――――――――――┘

自転車がｎ回目に自宅を出発するときの時刻と自転車に位置を表す点の座標は
(ａn，０)であり、そのときの時刻と歩行者の位置を表す点の座標は(ａn，ｂn)で
ある。よって、ｎ回目に自宅を出発した自転車が次に歩行者に追いつくときの時刻
と位置を表す点の座標はａn，ｂnを用いて、([エ]，[オ])と表せる。

グラフ→http://www.a-ema.com/img/2022math2b4b.png

[エ]，[オ]の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)
┌―――――――――――――――――――――――――――┐
｜{0} ａn　　　{1} ｂn　　　{2} ２ａn　　　　　　　　　 ｜
｜{3} ａn＋ｂn　　　{4} ２ｂn　　　{5} ３ａn　　　　　　｜
｜{6} ２ａn＋ｂn　　　{7} ａn＋２ｂn　　　{8} ３ｂn　　 ｜
└―――――――――――――――――――――――――――┘


　以上から、数列{ａn}，{ｂn}について、自然数ｎに対して、関係式

　　ａn+1＝ａn＋[カ]ｂn＋[キ]　……{1}
　　ｂn+1＝３ｂn＋[ク]　……{2}

が成り立つことがわかる。まず、ｂ1＝２と{2}から

　　ｂn＝[ケ]　(ｎ＝１，２，３，…)

を得る。この結果と、ａ1＝２および{1}から

　　ａn＝[コ]　(ｎ＝１，２，３，…)

がわかる。

[ケ]，[コ]の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)
┌――――――――――――――――――――――――――――――――――┐
｜{0} ３^(n-1)＋１　　　　　　　　{1} (１／２)・３^n＋１／２　　　 　 ｜
｜{2} ３^(n-1)＋ｎ　　　　　　　　{3} (１／２)＋ｎ−１／２　　　　　　｜
｜{4} ３^(n-1)＋ｎ^2　　　　　　　{5} (１／２)・３^n＋ｎ^2−１／２　　｜
｜{6} ２・３^(n-1)　　　　　　　　{7} (５／２)・３^(n-1)−１／２　　　｜
｜{8} ２・３^(n-1)＋ｎ−１　　　　{9} (５／２)・３^(n-1)＋ｎ−３／２　｜
｜{a} ２・３^(n-1)＋ｎ^2−１　　　{b} (５／２)・３^(n-1)＋ｎ^2−３／２｜
└――――――――――――――――――――――――――――――――――┘

(2) 歩行者がｙ＝３００の位置に到着するときまでに、自転車が歩行者に追いつく
回数は[サ]回である。また、[サ]回目に自転車が歩行者に追いつく時刻は
ｘ＝[シスセ]である。


※分数は(分子)／(分母)、ｘの２乗はｘ^2、マーク部分の□は[ ]で表記しています。

　　数列まとめ→http://a-ema.seesaa.net/article/479520450.html

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■　解説目次

　◆１　算数の問題としてはよくある設定
　◆２　歩行者は速さ１，自転車は速さ２

(以下略)

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■　解説


　◆１　算数の問題としてはよくある設定

2022年数学２Ｂは第４問に、数列についての問題が配置されました。
一応数列ですが、従来とは少し違って、中学受験でよく出題される規則性の問題に
近い出題となりました。身近な事柄を題材にした問題にすることを優先するあまり、
無駄に文章が長く、多くの大学受験生が受験する共通テストの問題としては適切か
どうか疑問ですが、実際に出されたわけですし、今後基本的にこういう流れだと
思います。

仕方ないので、まずはしっかり読み取っていきましょう！

「歩行者と自転車が自宅を出発して移動と停止を繰り返している」という設定です。
算数の問題としてはよくある設定ですね。算数の問題としては・・・


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

　◆２　歩行者は速さ１，自転車は速さ２

続いて、どのように移動したのか一つ一つチェックしていきます。

「自宅を原点とする数直線を考えて、歩行者と自転車をその数直線上を動く点と
みなす」
「歩行者が自宅を出発してからｘ分経過した時点を時刻ｘ」
「歩行者は時刻０に自宅を出発し、毎分１の速さで歩き始める」
「自転車は時刻２に自宅を出発し、毎分２の速さで歩行者を追いかける」
「自転車が歩行者に追いつくと、歩行者と自転車はともに１分だけ停止する」
「その後、歩行者は再び正の向きに毎分１の速さで歩き出し、自転車は毎分２の
速さで自宅に戻る」
「自転車は自宅に到着すると、１分だけ停止した後、再び毎分２の速さで歩行者を
追いかける」

このような動きを繰り返すようです。

そして、ａn，ｂnを

「ｘ＝ａnを自転車がｎ回目に自宅を出発する時刻」
「ｙ＝ｂnをそのときの歩行者の位置」

と定めています。


(以下略)


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解説の続き・解答や公式一覧などは・・・

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本日配信のメルマガ。2024年共通テスト追試英語第４問 ２ページ目前半

本日配信のメルマガでは、2024年大学入学共通テスト追試英語第４問の本文２ページ目前半の内容を掲載します。


【高校英語】共通テストの英文解釈
http://www.mag2.com/m/0001641009.html


■　問題

2024年大学入学共通テスト追試より

第４問

You are a volunteer for a family event at a community center. You get the
following handout and write a memo with other members to prepare for the
final meeting.

Hello volunteers! There are four new activities this year, so check the
descriptions on the back side of this handout. Please read the table and
the information below to prepare for the final planning at 9:30 a.m. on
September 14.

◆"Fun Day" Activities and Locations, September 21

(表は省略します)

◆Information
−Set-up: 9:00 a.m. Registration: 9:30 a.m. Start: 10:00 a.m.
−6 groups (A to F) with 10 people each
−Groups move from one activity to the next in order until all are completed
−Starting points: Group A → #1, Group B → #2, and so on
−Volunteers' Tasks:
　●Make schedules for each activity. Check the number of volunteers
carefully. We need two volunteers for each of the refreshments and each
activity except #1 and #3.
　●Explain activities and check participants' understanding (see back for
details)
　●Make a list of needed materials. SC has enough cones, table tennis
balls, ropes, spoons, tape measures, and a children's pool. Also, remember
that SC only has two portable music players.


　―back―
◆New Activities
　(Activities #1 & #3 are the same as last year. Ask the coordinators for
details.)

[#2　Limbo Dance]
A pole is held at about chest height. The players take turns dancing under
it, bending their knees and arching their backs while music is playing. The
pole height is gradually lowered until no one can pass under.

[#4 Flaying Disc Throwing]
Place a large cone at the starting point and another at the goal about 100
meters away between a hula hoop and a children's pool full of water. Each
player throws their own disc toward the goal-cone at the same time. The
objective is to land the disc inside the hoop, avoiding the pool. After
each throw, players go to their disc and throw it again. The fewer throws,
the better. If the disc ends up in the pool, you are out!


つづく


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■　スラッシュリーディング

第４問

You are a volunteer / for a family event / at a community center.
あなたはボランティアだ / ファミリーイベントの / コミュニティセンターでの

You get the following handout / and write a memo / with other members
/ to prepare / for the final meeting.
あなたは次の資料をもらう / そしてメモを書く / 他のメンバーと一緒に
/ 準備するために / 最終ミーティングに向けて


Hello volunteers!
こんにちはボランティアの皆さん！

There are four new activities / this year, / so / check the descriptions
/ on the back side / of this handout.


(以下略)


(有料版では、解説の続きも掲載しています)
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■　問題

2022年共通テスト数１Ａより

第３問

　複数人がそれぞれプレゼントを一つずつ持ち寄り、交換会を開く。ただし、
プレゼントはすべて異なるとする。プレゼントの交換は次の[手順]で行う。

┌―手順――――――――――――――――――――――――――――――――┐
｜　外見が同じ袋を人数分用意し、各袋にプレゼントを一つずつ入れたうえで、｜
｜各参加者に袋を一つずつでたらめに配る。各参加者は配られた袋の中の　　　｜
｜プレゼントを受け取る。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　｜
└―――――――――――――――――――――――――――――――――――┘

　交換の結果、１人でも自分の持参したプレゼントを受け取った場合は、交換を
やり直す。そして、全員が自分以外の人の持参したプレゼントを受け取った
ところで交換会を終了する。

(1) ２人または３人で交換会を開く場合を考える。

　(i) ２人で交換会を開く場合、１回目の交換で交換会が終了するプレゼントの
受け取り方は[ア]通りある。したがって、１回の交換で交換会が終了する確率は
[イ]／[ウ]である。

　(ii) ３人で交換会を開く場合、１回目の交換で交換会が終了するプレゼントの
受け取り方は[エ]通りある。したがって、１回目の交換で交換会が終了する確率は
[オ]／[カ]である。

　(iii) ３人で交換会を開く場合、４回以下の交換で交換会が終了する確率は
[キク]／[ケコ]である。


(2) ４人で交換会を開く場合、１回目の交換で交換会が終了する確率を次の[構想]
に基づいて求めてみよう。

┌―構想――――――――――――――――――――――――――――――┐
｜　１回目の交換で交換会が[終了しない]プレゼントの受け取り方の総数を｜
｜求める。そのために、自分の持参したプレゼントを受け取る人数によって｜
｜場合分けをする。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　｜
└―――――――――――――――――――――――――――――――――┘

　１回目の交換で、４人のうち、ちょうど１人が自分の持参したプレゼントを
受け取る場合は[サ]通りあり、ちょうど２人が自分のプレゼントを受け取る場合
は[シ]通りある。このように考えていくと、１回目のプレゼントの受け取り方の
うち、１回目の交換で交換会が終了しない受け取り方の総数は[スセ]である。

　したがって、１回目の交換で交換会が終了する確率は[ソ]／[タ]である。


(3) ５人で交換会を開く場合、１回目の交換で交換会が終了する確率は
[チツ]／[テト]である。


(4) Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅの５人が交換会を開く。１回目の交換でＡ，Ｂ，Ｃ，Ｄが
それぞれ自分以外の人の持参したプレゼントを受け取ったとき、その回で交換会が
終了する条件付き確率は[ナニ]／[ヌネ]である。


※分数は(分子)／(分母)、ｘの２乗はｘ^2、マーク部分の□は[ ]で表記しています。

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■　解説目次

　◆１　Ｐは順列、Ｃは組み合わせ
　◆２　同時に起こるなら×、同時に起こらないなら＋
　◆３　２人なら交換するかしないかだけ
　◆４　３人ならａ，ｂ，ｃの順列

(以下略)

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■　解説


◆１，２はここでは省略します。


　◆３　２人なら交換するかしないかだけ

では今回の問題です。

「プレゼントの交換会をする」という設定です。

┌―手順――――――――――――――――――――――――――――――――┐
｜　外見が同じ袋を人数分用意し、各袋にプレゼントを一つずつ入れたうえで、｜
｜各参加者に袋を一つずつでたらめに配る。各参加者は配られた袋の中の　　　｜
｜プレゼントを受け取る。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　｜
└―――――――――――――――――――――――――――――――――――┘

　交換の結果、１人でも自分の持参したプレゼントを受け取った場合は、交換を
やり直す。そして、全員が自分以外の人の持参したプレゼントを受け取った
ところで交換会を終了する。

以上のように交換会を行うようです。


まずは２人で交換会をする場合を考えます。

２人でランダムに交換するならば・・・

自分のプレゼントを受け取るか、相手のプレゼントを受け取るかの２パターンしか
ありませんね。

「１回目の交換で交換会が終了する」のは、相手のプレゼントを受け取った場合
なので、１通りですね。

全体は２通りなので、１回で終了する確率は１／２です。

よって、[ア]＝１，[イ]＝１，[ウ]＝２


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

　◆４　３人ならａ，ｂ，ｃの順列

３人で交換会を開く場合はもう少し複雑です。
ここからはちゃんと考えていきましょう！

３人をＡ，Ｂ，Ｃとして、それぞれが持参したプレゼントをａ，ｂ，ｃとします。

どのような交換の仕方があるかと考えてみると・・・


つづく


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解説の続き・解答や公式一覧などは・・・

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本日配信のメルマガ。2024年共通テスト追試英語第４問 １ページ目前半

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【高校英語】共通テストの英文解釈
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■　問題

2024年大学入学共通テスト追試より

第４問

You are a volunteer for a family event at a community center. You get the
following handout and write a memo with other members to prepare for the
final meeting.

Hello volunteers! There are four new activities this year, so check the
descriptions on the back side of this handout. Please read the table and
the information below to prepare for the final planning at 9:30 a.m. on
September 14.

◆"Fun Day" Activities and Locations, September 21

(表は省略します)

◆Information
−Set-up: 9:00 a.m. Registration: 9:30 a.m. Start: 10:00 a.m.
−6 groups (A to F) with 10 people each
−Groups move from one activity to the next in order until all are completed
−Starting points: Group A → #1, Group B → #2, and so on
−Volunteers' Tasks:
　●Make schedules for each activity. Check the number of volunteers
carefully. We need two volunteers for each of the refreshments and each
activity except #1 and #3.
　●Explain activities and check participants' understanding (see back for
details)
　●Make a list of needed materials. SC has enough cones, table tennis
balls, ropes, spoons, tape measures, and a children's pool. Also, remember
that SC only has two portable music players.


つづく


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■　スラッシュリーディング

第４問

You are a volunteer / for a family event / at a community center.
あなたはボランティアだ / ファミリーイベントの / コミュニティセンターでの

You get the following handout / and write a memo / with other members
/ to prepare / for the final meeting.
あなたは次の資料をもらう / そしてメモを書く / 他のメンバーと一緒に
/ 準備するために / 最終ミーティングに向けて


Hello volunteers!
こんにちはボランティアの皆さん！

There are four new activities / this year, / so / check the descriptions
/ on the back side / of this handout.


(以下略)


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本日配信のメルマガ。2022年共通テスト数学２Ｂ第２問[2]

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リクエスト等ございましたら、[e-mail]までお知らせください。


■　問題

2022年共通テスト数２Ｂより

第２問

[2] ｂ＞０とし、ｇ(ｘ)＝ｘ^3−３ｂｘ＋３ｂ^2，ｈ(ｘ)＝ｘ^3−ｘ^2＋ｂ^2と
おく。座標平面上の曲線ｙ＝ｇ(ｘ)をＣ1，曲線ｙ＝ｈ(ｘ)をＣ2とする。

　Ｃ1とＣ2は２点で交わる。これらの交点のｘ座標をそれぞれα，β(α＜β)と
すると、α＝[サ]，β＝[シス]である。

　α≦ｘ≦βの範囲でＣ1とＣ2で囲まれた図形の面積をＳとする。またｔ＞βとし、
β≦ｘ≦ｔの範囲でＣ1とＣ2および直線ｘ＝ｔで囲まれた図形の面積をＴとする。
このとき

　　Ｓ＝∫[α〜β][セ]ｄｘ
　　Ｔ＝∫[β〜t][ソ]ｄｘ
　　Ｓ−Ｔ＝∫[α〜t][タ]ｄｘ

であるので

　　Ｓ−Ｔ＝([チツ]／[テ])(２ｔ^3−[ト]ｂｔ^2＋[ナニ]ｂ^2ｔ−[ヌ]ｂ^3)

が得られる。

　したがって、Ｓ＝Ｔとなるのはｔ＝([ネ]／[ノ])ｂのときである。


[セ]〜[タ]の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)
┌―――――――――――――――――――――――――――┐
｜{0} {ｇ(ｘ)＋ｈ(ｘ)}　　{1} {ｇ(ｘ)−ｈ(ｘ)}　　　　　｜
｜{2} {ｈ(ｘ)−ｇ(ｘ)}　　{3} {２ｇ(ｘ)＋２ｈ(ｘ)}　　　｜
｜{4} {２ｇ(ｘ)−２ｈ(ｘ)}　　{5} {２ｈ(ｘ)−２ｇ(ｘ)}　｜
｜{6} ２ｇ(ｘ)　　{7} ２ｈ(ｘ)　　　　　　　　　　　　　｜
└―――――――――――――――――――――――――――┘


※分数は(分子)／(分母)、ｘの２乗はｘ^2、マーク部分の□は[ ]で表記しています。

　　微分積分まとめ→http://a-ema.seesaa.net/article/478475977.html

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■　解説目次

　◆１　積分は面積を表す
　◆２　交点なら連立方程式

(以下略)

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■　解説


　◆１　積分は面積を表す

2022年共通テストも数学２Ｂ第２問は、微分積分の問題でした。

[2]は、主に面積に関する問題なので、座標平面上の図形の面積と積分について
簡単に説明しておきます。

まず、微分の逆が積分です。

導関数ｆ'(ｘ)を積分すると、もとの関数ｆ(ｘ)になる。という関係です。

微分するときには、「指数を１下げて、もとの指数を係数に掛ける」という方法
だったので、積分するときはこれの逆をして、

★「指数を１上げて、新しい指数の逆数を掛ける」

とします。

例えば、ｘ^2を積分すると、(１／３)ｘ^3となります。

また、★積分は、基本的に、積分した関数と横軸との間の面積を表します。

物理や図形の公式には、微分積分の関係になっているものがいくつもあるので、
探してみると良いですよ！


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　◆２　交点なら連立方程式

では今回の問題です。

「ｂ＞０とし、ｇ(ｘ)＝ｘ^3−３ｂｘ＋３ｂ^2，ｈ(ｘ)＝ｘ^3−ｘ^2＋ｂ^2」と
おいて、「ｙ＝ｇ(ｘ)をＣ1，曲線ｙ＝ｈ(ｘ)をＣ2」としています。

要するに、

Ｃ1：ｙ＝ｘ^3−３ｂｘ＋３ｂ^2
Ｃ2：ｙ＝ｘ^3−ｘ^2＋ｂ^2

ですね。

最初の設問では、これらの関数の交点を求めます。
交点は同時に両方を満たす点なので・・・


(以下略)


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■　問題

2024年大学入学共通テスト追試より

第３問

Ｂ　You have been asked to keep an online diary available only to other
students in the class, to follow at least one other student and to respond
to their posts, You chose to read Christina's diary because you are also
thinking of moving into an apartment.


I'm so happy to be leaving the university dorm and moving into a quiet
apartment :-)! Renting an apartment is expensive in Osaka! The day before
yesterday, I finally received a money transfer from my mum and dad in
Singapore and was able to pay the apartment agency. I'd wanted to move in
this Wednesday, but they say the earliest I can move in is Thursday. But
that's my birthday, and I have other more important things to do :-), so
I'll be getting my key on Friday the 24th at 9 a.m.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　2023.03.19 Sun. 11:16


Because of the design of my new apartment, I've had to think carefully about
the order I'm having stuff delivered. You have to walk through the
kitchen/living room to get to the bedroom, and the only place I can put my
second-hand washing machine is right next to genkan. So my big wardrobe,
a present from my mum and dad, is being delivered first, tomorrow, with the
special permission of the agency. I decided to have the washing machine
delivered the week after I move in and everything has settled down. The
delivery of my fridge and kitchen table is scheduled for late afternoon on
the day I move in.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　2023.03.21 Tue. 22:24


I had my birthday party today :-)! Very busy―moving in tomorrow! Also very
annoyed―my wardrobe wasn't delivered :-(. They've promised me it'll come
next week, but I don't know if that'll be before or after the washing
machine...
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　2023.03.23 Thur. 23:08


Almost done :-). Bought some dishes and a rug at a discount store this
afternoon. It's great to be out of the dorm and have some privacy.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　2023.03.25 Sat. 18:46


Both the wardrobe and the washing machine came today (see photos). Luckily,
they came in the right order :-). Got to start studying again, I've done
very little at all for more than a week now...
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　2023.03.29 Wed. 14:20


問１　The following events are described in Christina's online diary:
{1} Christina buys a rug and dishes.
{2} Christina has her birthday party.
{3} Christina moves into her apartment.
{4} Christina's fridge comes.
{5} Christina's parents send her money.
{6} Christina's wardrobe is delivered.
{7} Christina's washing machine arrives.

Which of {1}, {3} and {4} happened [first]? [ 18 ]
Which of {2}, {3} and {5} happened [first]? [ 19 ]

Which of {1}, {2} and {6} happened [last]? [ 20 ]
Which of {4}, {6} and {7} happened [last]? [ 21 ]

(You must have [all] of [ 18 ]〜[ 21 ] correct to get points.)

問２　You are checking all the student responses to Christina's 2023.03.23.
post. Which response appears to be a [misunderstanding]? [ 22 ]
{1} Calm down! Try not to get so angry! Tomorrow is another day!
{2} Do you need any help moving in? I'd really love to give you a hand.
{3} Good to hear your wardrobe will come tomorrow! Best of luck!
{4} Which delivery company are you using? I don't want to use them...

問３　Which of these is [not] true about Christina? [ 23 ]
{1} Her birthday is important to her.
{2} She frequently gets very lonely.
{3} She is a very organised person.
{4} She is quite careful with money.

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■　スラッシュリーディング

Ｂ　You have been asked / to keep an online diary / available
/ only to other students / in the class,
あなたは頼まれた / オンラインの日記をつけることを / 利用可能な
/ 他の学生だけに / クラスで

/ to follow / at least / one other student / and to respond
/ to their posts.
フォローするために / 少なくとも / 一人の他の学生を / そして応答するために
/ 彼らの投稿に

You chose to read / Christina's diary / because / you are also thinking
/ of moving into an apartment.
あなたは読むことを選んだ / Christinaの日記を / なぜなら / あなたも考えている
/ あるアパートに引っ越すことを


(以下略)


(有料版では、解説の続きも掲載しています)
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■　問題

2024年大学入学共通テスト追試より

第３問

Ｂ　You have been asked to keep an online diary available only to other
students in the class, to follow at least one other student and to respond
to their posts, You chose to read Christina's diary because you are also
thinking of moving into an apartment.


I'm so happy to be leaving the university dorm and moving into a quiet
apartment :-)! Renting an apartment is expensive in Osaka! The day before
yesterday, I finally received a money transfer from my mum and dad in
Singapore and was able to pay the apartment agency. I'd wanted to move in
this Wednesday, but they say the earliest I can move in is Thursday. But
that's my birthday, and I have other more important things to do :-), so
I'll be getting my key on Friday the 24th at 9 a.m.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　2023.03.19 Sun. 11:16


Because of the design of my new apartment, I've had to think carefully about
the order I'm having stuff delivered. You have to walk through the
kitchen/living room to get to the bedroom, and the only place I can put my
second-hand washing machine is right next to genkan. So my big wardrobe,
a present from my mum and dad, is being delivered first, tomorrow, with the
special permission of the agency. I decided to have the washing machine
delivered the week after I move in and everything has settled down. The
delivery of my fridge and kitchen table is scheduled for late afternoon on
the day I move in.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　2023.03.21 Tue. 22:24


I had my birthday party today :-)! Very busy―moving in tomorrow! Also very
annoyed―my wardrobe wasn't delivered :-(. They've promised me it'll come
next week, but I don't know if that'll be before or after the washing
machine...
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　2023.03.23 Thur. 23:08


Almost done :-). Bought some dishes and a rug at a discount store this
afternoon. It's great to be out of the dorm and have some privacy.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　2023.03.25 Sat. 18:46


Both the wardrobe and the washing machine came today (see photos). Luckily,
they came in the right order :-). Got to start studying again, I've done
very little at all for more than a week now...
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　2023.03.29 Wed. 14:20


問１　The following events are described in Christina's online diary:
{1} Christina buys a rug and dishes.
{2} Christina has her birthday party.
{3} Christina moves into her apartment.
{4} Christina's fridge comes.
{5} Christina's parents send her money.
{6} Christina's wardrobe is delivered.
{7} Christina's washing machine arrives.

Which of {1}, {3} and {4} happened [first]? [ 18 ]
Which of {2}, {3} and {5} happened [first]? [ 19 ]

Which of {1}, {2} and {6} happened [last]? [ 20 ]
Which of {4}, {6} and {7} happened [last]? [ 21 ]

(You must have [all] of [ 18 ]〜[ 21 ] correct to get points.)


つづく


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■　問題

2022年共通テスト数２Ｂより

第２問

[1] ａを実数とし、ｆ(ｘ)＝ｘ^3−６ａｘ＋１６とおく。

(1) ｙ＝ｆ(ｘ)のグラフの概形は

　　ａ＝０のとき、[ア]
　　ａ＜０のとき、[イ]

である。

[ア]，[イ]については、最も適当なものを、次の{0}〜{5}のうちから一つずつ
選べ。ただし、同じものを繰り返し選んでもよい。

グラフはこちら→http://www.a-ema.com/img/2022math2b2a.png


(2) ａ＞０とし、ｐを実数とする。座標平面上の曲線ｙ＝ｆ(ｘ)と直線ｙ＝ｐが
３個の共有点をもつようなｐの値の範囲は[ウ]＜ｐ＜[エ]である。

　ｐ＝[ウ]のとき、曲線ｙ＝ｆ(ｘ)と直線ｙ＝ｐは２個の共有点をもつ。それらの
ｘ座標をｑ，ｒ(ｑ＜ｒ)とする。曲線ｙ＝ｆ(ｘ)と直線ｙ＝ｐが点(ｒ，ｐ)で
接することに注意すると

　　ｑ＝[オカ]√[キ]・ａ^(1/2)，ｒ＝√[ク]・ａ^(1/2)

と表せる。

[ウ]，[エ]の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)
┌――――――――――――――――――――――――――――――┐
｜{0} ２√２・ａ^(3/2)＋１６　　{1} −２√２・ａ^(3/2)＋１６　｜
｜{2} ４√２・ａ^(3/2)＋１６　　{3} −４√２・ａ^(3/2)＋１６　｜
｜{4} ８√２・ａ^(3/2)＋１６　　{5} −８√２・ａ^(3/2)＋１６　｜
└――――――――――――――――――――――――――――――┘


(3) 方程式ｆ(ｘ)＝０の異なる実数解の個数をｎとする。次の{0}〜{5}のうち、
正しいものは[ケ]と[コ]である。

[ケ]，[コ]の解答群(解答の順序は問わない。)

┌―――――――――――――――――――――――――┐
｜{0} ｎ＝１ならばａ＜０　　{1} ａ＜０ならばｎ＝１　｜
｜{2} ｎ＝２ならばａ＜０　　{3} ａ＜０ならばｎ＝２　｜
｜{4} ｎ＝３ならばａ＞０　　{5} ａ＞０ならばｎ＝３　｜
└―――――――――――――――――――――――――┘


※分数は(分子)／(分母)、ｘの２乗はｘ^2、マーク部分の□は[ ]で表記しています。

　　微分積分まとめ→http://a-ema.seesaa.net/article/478475977.html

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■　解説目次

　◆１　導関数は傾きを表す
　◆２　極値では導関数の値(＝微分係数)が０
　◆３　定数項はｙ軸上の点
　◆４　ｙ'＝０は極値を表す

(以下略)

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■　解説


◆１〜２は省略します。


　◆３　定数項はｙ軸上の点

では今回の問題です。
ｙ＝ｆ(ｘ)のグラフについての設問です。

「ｆ(ｘ)＝ｘ^3−６ａｘ＋１６」であり、まずはａ＝０の場合を考えます。

この場合の関数の式は「ｙ＝ｘ^3＋１６」ですね。

これはｙ＝ｘ^3に１６を足しただけなので、ｙ＝ｘ^3のグラフを上に１６移動した
ものです。定数項が１６だから、ｙ軸上の１６の点を通る。と考えてもよいです。

ｙ＝ｘ^3のグラフは全体として右上がりで、原点で接線の傾きがゼロとなるので、
１番が適切ですね。

よって、[ア]＝１


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

　◆４　ｙ'＝０は極値を表す

次はａ＜０のときです。

グラフの形を考えるときは、まずは微分して極値のときのｘの値を求めるのが王道
です。

ｙ'＝３ｘ^2−６ａ

ａ＜０なので、このｙ'の値は常にプラスになります。
つまり接線の傾きは常にプラスであり、極値を持ちません。

全体として右上がりであることと、ｙ軸上は１６の点を通ることは変わらないので


(以下略)


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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■　問題

2024年大学入学共通テスト追試より

第３問

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Because of the design of my new apartment, I've had to think carefully about
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special permission of the agency. I decided to have the washing machine
delivered the week after I move in and everything has settled down. The
delivery of my fridge and kitchen table is scheduled for late afternoon on
the day I move in.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　2023.03.21 Tue. 22:24


I had my birthday party today :-)! Very busy―moving in tomorrow! Also very
annoyed―my wardrobe wasn't delivered :-(. They've promised me it'll come
next week, but I don't know if that'll be before or after the washing
machine...
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　2023.03.23 Thur. 23:08


Almost done :-). Bought some dishes and a rug at a discount store this
afternoon. It's great to be out of the dorm and have some privacy.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　2023.03.25 Sat. 18:46


Both the wardrobe and the washing machine came today (see photos). Luckily,
they came in the right order :-). Got to start studying again, I've done
very little at all for more than a week now...
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　2023.03.29 Wed. 14:20


つづく


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■　問題

2022年共通テスト数１Ａより

第２問

[2]

(3) 各国における2018年度の学習者数を100としたときの2009年度の学習者数Ｓ、
および、各国における2018年度の教員数を100としたときの2009年度の教員数Ｔを
算出した。
　例えば、学習者数について説明すると、ある国において、2009年度が44272人、
2018年度が174521人であった場合、2009年度の学習者数Ｓは(44272／174521)×100
より２５．４と算出される。
　表１はＳとＴについて、平均値、標準偏差および共分散を計算したものである。
ただし、ＳとＴの共分散は、Ｓの偏差とＴの偏差の積の平均値である。
　表１の数値が四捨五入していない正確な値であるとして、ＳとＴの相関係数を
求めると[ソ]．[タチ]である。

　表１　平均値，標準偏差および共分散
┌――――――――――――――――――――――┐
｜Ｓの　｜Ｔの　｜　Ｓの　｜　Ｔの　｜ＳとＴの｜
｜平均値｜平均値｜標準偏差｜標準偏差｜共分散　｜
├――――――――――――――――――――――┤
｜ 81.8 ｜ 72.9 ｜　39.3　｜　29.9　｜ 735.3　｜
└――――――――――――――――――――――┘


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■　解説目次

　◆１　相関係数＝共分散／標準偏差の積
　◆２　まずは約分

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■　解説


　◆１　相関係数＝共分散／標準偏差の積

2022年共通テスト数学１Ａ第２問[2]は、データの分析の問題でした。
(3)以外は「見てわかることを答える」問題だったので、省略します。

(3)は相関係数を与えられた数量を用いて計算する問題でした。

まずは相関係数の求め方を確認しておきましょう！

★　相関係数＝共分散／標準偏差の積

ですね。

そして

★　共分散＝偏差の積の平均
★　標準偏差＝√(分散)

であり、さらに

★　分散＝偏差の２乗の平均
★　偏差＝平均との差

です。

また、問題によっては「分散＝２乗の平均−平均の２乗」を使うこともあります。


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

　◆２　まずは約分

では今回の問題です。

表に、それぞれの標準偏差と共分散の値が与えられているので、そのまま使えば
ＯＫですね！

相関係数＝７３５．３／(３９．３×２９．９)

あとはひたすら計算・・・ですが、少し約分した方が楽だと思います。

７３５．３は、７＋３＋５＋３＝１８なので３で割り切れます。
３９．３は、３＋９＋３＝１５なので３で割り切れます。

だからまずは３で約分して、


つづく


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■　問題

2024年大学入学共通テスト追試より

第３問

Ｂ　You have been asked to keep an online diary available only to other
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I had my birthday party today :-)! Very busy―moving in tomorrow! Also very
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next week, but I don't know if that'll be before or after the washing
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つづく


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/ to their posts.
フォローするために / 少なくとも / 一人の他の学生を / そして応答するために
/ 彼らの投稿に

You chose to read / Christina's diary / because / you are also thinking
/ of moving into an apartment.
あなたは読むことを選んだ / Christinaの日記を / なぜなら / あなたも考えている
/ あるアパートに引っ越すことを


(以下略)


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本日配信のメルマガ。2024年共通テスト追試英語第３問Ｂ ２つめの記事

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■　問題

2024年大学入学共通テスト追試より

第３問

Ｂ　You have been asked to keep an online diary available only to other
students in the class, to follow at least one other student and to respond
to their posts, You chose to read Christina's diary because you are also
thinking of moving into an apartment.


I'm so happy to be leaving the university dorm and moving into a quiet
apartment :-)! Renting an apartment is expensive in Osaka! The day before
yesterday, I finally received a money transfer from my mum and dad in
Singapore and was able to pay the apartment agency. I'd wanted to move in
this Wednesday, but they say the earliest I can move in is Thursday. But
that's my birthday, and I have other more important things to do :-), so
I'll be getting my key on Friday the 24th at 9 a.m.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　2023.03.19 Sun. 11:16


Because of the design of my new apartment, I've had to think carefully about
the order I'm having stuff delivered. You have to walk through the
kitchen/living room to get to the bedroom, and the only place I can put my
second-hand washing machine is right next to genkan. So my big wardrobe,
a present from my mum and dad, is being delived first, tomorrow, with the
special permission of the agency. I decided to have the washing machine
delivered the week after I move in and everything has settled down. The
delivery of my fridge and kitchen table is scheduled for late afternoon on
the day I move in.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　2023.03.21 Tue. 22:24


つづく


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■　スラッシュリーディング

Ｂ　You have been asked / to keep an online diary / available
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本日配信のメルマガ。2022年共通テスト数学２Ｂ第１問[2]

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■　問題

2022年共通テスト数２Ｂより

第１問

[2] ａ，ｂは正の実数であり、ａ≠１，ｂ≠１を満たすとする。太郎さんは
ｌｏｇ[a]ｂとｌｏｇ[b]ａの大小関係を調べることにした。

(1) 太郎さんは次のような考察をした。

　まず、ｌｏｇ[3]９＝[ス]，ｌｏｇ[9]３＝１／[ス]である。この場合

　　ｌｏｇ[3]９＞ｌｏｇ[9]３

が成り立つ。

　一方、ｌｏｇ[1/4][セ]＝−３／２，ｌｏｇ[セ](１／４)＝−２／３である。
この場合

　　ｌｏｇ[1/4][セ]＜ｌｏｇ[セ](１／４)

が成り立つ。


(2) ここで

　　ｌｏｇ[a]ｂ＝ｔ　　……{1}

とおく。

　(1)の考察をもとにして、太郎さんは次の式が成り立つと推測し、それが正しい
ことを確かめることにした。

　　ｌｏｇ[b]ａ＝１／ｔ　　……{2}

　{1}により、[ソ]である。このときにより[タ]が得られ、{2}が成り立つことが
確かめられる。

[ソ]の解答群
┌―――――――――――――――――――――――┐
｜{0} ａ^b＝ｔ　　{1} ａ^t＝ｂ　　{2} ｂ^a＝ｔ　｜
｜{3} ｂ^t＝ａ　　{4} ｔ^a＝ｂ　　{5} ｔ^b＝ａ　｜
└―――――――――――――――――――――――┘

[タ]の解答群
┌―――――――――――――――――――――――――――――┐
｜{0} ａ＝ｔ^(1/b)　　{1} ａ＝ｂ^(1/t)　　{2} ｂ＝ｔ^(1/a)　｜
｜{3} ｂ＝ａ^(1/t)　　{4} ｔ＝ｂ^(1/a)　　{5} ｔ＝ａ^(1/b)　｜
└―――――――――――――――――――――――――――――┘


(3) 次に、太郎さんは(2)の考察をもとにして

　　ｔ＞１／ｔ　……{3}

を満たす実数ｔ(ｔ≠０)の値の範囲を求めた。

┌―太郎さんの考察―――――――――――――――――――――――――┐
｜　ｔ＞０ならば、{3}の両辺にｔを掛けることにより、ｔ^2＞１を得る。 ｜
｜このようなｔ(ｔ＞０)の値の範囲は１＜ｔである。　　　　　　　　　　｜
｜　ｔ＜０ならば、{3}の両辺にｔを掛けることにより、ｔ^2＜１を得る。 ｜
｜このようなｔ(ｔ＜０)の値の範囲は−１＜ｔ＜０である。　　　　　　　｜
└―――――――――――――――――――――――――――――――――┘

この考察により、{3}を満たすｔ(ｔ≠０)の値の範囲は

　　−１＜ｔ＜０，１＜ｔであることがわかる。

　ここで、ａの値を一つ定めたとき、不等式

　　ｌｏｇ[a]ｂ＞ｌｏｇ[b]ａ　……{4}

を満たす実数ｂ(ｂ＞０，ｂ≠１)の値の範囲について考える。

　{4}を満たすｂの値の範囲はａ＞１のときは[チ]であり、０＜ａ＜１のときは
[ツ]である。

[チ]の解答群
┌―――――――――――――――――――――――――――――――┐
｜{0} ０＜ｂ＜１／ａ，１＜ｂ＜ａ　　{1} ０＜ｂ＜１／ａ，ａ＜ｂ　｜
｜{2} １／ａ＜ｂ＜１，１＜ｂ＜ａ　　{3} １／ａ＜ｂ＜１，ａ＜ｂ　｜
└―――――――――――――――――――――――――――――――┘

[ツ]の解答群
┌―――――――――――――――――――――――――――――――┐
｜{0} ０＜ｂ＜ａ，１＜ｂ＜１／ａ　　{1} ０＜ｂ＜ａ，１／ａ＜ｂ　｜
｜{2} ａ＜ｂ＜１，１＜ｂ＜１／ａ　　{3} ａ＜ｂ＜１，１／ａ＜ｂ　｜
└―――――――――――――――――――――――――――――――┘


(4) ｐ＝１２／１３，ｑ＝１２／１１，ｒ＝１４／１３とする。

　次の{0}〜{3}のうち、正しいものは[テ]である。

[テ]の解答群
┌―――――――――――――――――――――――――――――――┐
｜{0} ｌｏｇ[p]ｑ＞ｌｏｇ[q]ｐかつｌｏｇ[p]ｒ＞ｌｏｇ[r]ｐ　　　｜
｜{1} ｌｏｇ[p]ｑ＞ｌｏｇ[q]ｐかつｌｏｇ[p]ｒ＜ｌｏｇ[r]ｐ　　　｜
｜{2} ｌｏｇ[p]ｑ＜ｌｏｇ[q]ｐかつｌｏｇ[p]ｒ＞ｌｏｇ[r]ｐ　　　｜
｜{3} ｌｏｇ[p]ｑ＜ｌｏｇ[q]ｐかつｌｏｇ[p]ｒ＜ｌｏｇ[r]ｐ　　　｜
└―――――――――――――――――――――――――――――――┘


※分数は(分子)／(分母)、ｘの２乗はｘ^2、マーク部分の□は[ ]で表記しています。

　　指数・対数まとめ→http://a-ema.seesaa.net/article/477928170.html

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■　解説目次

　◆１　分数は累乗根・マイナスは逆数
　◆２　指数・対数の関係
　◆３　対数の計算法則
　◆４　ｌｏｇ[a]ｃ＝ｂはａ^b＝ｃ
　◆５　１／２乗はルート、マイナスの指数は逆数

(以下略)

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■　解説


◆１〜３は省略します。


　◆４　ｌｏｇ[a]ｃ＝ｂはａ^b＝ｃ

では今回の問題です。
まずは対数の値を求めます。

◆２でも触れた「★ａ^b＝ｃならばｌｏｇ[a]ｃ＝ｂ」という指数・対数の関係を
使います。

ｌｏｇ[3]９は、３を９にするには何乗か？なので、２乗ですね。つまり、

ｌｏｇ[3]９＝２

ｌｏｇ[9]３は、９を３にするには何乗か？なので、１／２乗ですね。
√９＝３であり、平方根は１／２乗です。だから、

ｌｏｇ[9]３＝１／２

よって、[ス]＝２

ちなみに、２＞１／２だからｌｏｇ[3]９＞ｌｏｇ[9]３ですね。


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

　◆５　１／２乗はルート、マイナスの指数は逆数

同様にして、ｌｏｇ[1/4][セ]＝−３／２とｌｏｇ[セ](１／４)＝−２／３について
考えます。[セ]の部分をｘとすると、ｌｏｇ[1/4]ｘ＝−３／２だから、

ｘ＝(１／４)^(-3/2)

１／２乗は√だから、


(以下略)


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

解説の続き・解答や公式一覧などは・・・

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本日配信のメルマガ。2024年共通テスト追試英語第３問Ｂ １つめの記事

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■　問題

2024年大学入学共通テスト追試より

第３問

Ｂ　You have been asked to keep an online diary available only to other
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つづく


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■　スラッシュリーディング

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■　問題

2022年共通テスト数１Ａより

第２問

[1] ｐ，ｑを実数とする。
　花子さんと太郎さんは、次の二つの２次方程式について考えている。

　　ｘ^2＋ｐｘ＋ｑ＝０　……{1}
　　ｘ^2＋ｑｘ＋ｐ＝０　……{2}

{1}または{2}を満たす実数ｘの個数をｎとおく。

(1) ｐ＝４，ｑ＝−４のとき、ｎ＝[ア]である。
　　また、ｐ＝１，ｑ＝−２のときｎ＝[イ]である。

(2) ｐ＝−６のとき、ｎ＝３になる場合を考える。

┌―――――――――――――――――――――――――――――――┐
｜花子：例えば、{1}と{2}をともに満たす実数ｘがあるときはｎ＝３に｜
｜　　　なりそうだね。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　｜
｜太郎：それをαとしたら、α^2−６α＋ｑ＝０とα^2＋ｑα−６＝０｜
｜　　　が成り立つよ。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　｜
｜花子：なるほど。それならば、α^2を消去すれば、αの値が求められ｜
｜　　　そうだね。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　｜
｜太郎：確かにαの値が求まるけど、実際にｎ＝３となっているかどう｜
｜　　　かの確認が必要だね。　　　　　　　　　　　　　　　　　　｜
｜花子：これ以外にもｎ＝３となる場合がありそうだね。　　　　　　｜
└―――――――――――――――――――――――――――――――┘

ｎ＝３となるｑの値は

　　ｑ＝[ウ]，[エ]

である。ただし、[ウ]＜[エ]とする。


(3) 花子さんと太郎さんは、グラフ表示ソフトを用いて、{1}，{2}の左辺をｙと
おいた２次関数ｙ＝ｘ^2＋ｐｘ＋ｑとｙ＝ｘ^2＋ｑｘ＋ｐのグラフの動きを考えて
いる。

ｐ＝−６に固定したまま、ｑの値だけを変化させる。

　　ｙ＝ｘ^2−６ｘ＋ｑ　……{3}
　　ｙ＝ｘ^2＋ｑｘ−６　……{4}

の二つのグラフについて、ｑ＝１のときのグラフを点線で、ｑの値を１から増加
させたときのグラフを実線でそれぞれ表す。このとき、{3}のグラフの移動の様子を
示すと[オ]となり、{4}のグラフの移動の様子を示すと[カ]となる。

[オ]，[カ]については、最も適当なものを、次の{0}〜{7}のうちから一つずつ選べ。
ただし、同じ物を繰り返し選んでもよい。なお、ｘ軸とｙ軸は省略しているが、
ｘ軸は右方向、ｙ軸は上方向がそれぞれ正の方向である。

グラフはこちら→http://www.a-ema.com/img/2022math1a21a.png


(4) [ウ]＜ｑ＜[エ]とする。全体集合Ｕを実数全体の集合とし、Ｕの部分集合
Ａ，Ｂを

　　Ａ＝{ｘ｜ｘ^2−６ｘ＋ｑ＜０}
　　Ｂ＝{ｘ｜ｘ^2＋ｑｘ−６＜０}
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＿
とする。Ｕの部分集合Ｘに対し、Ｘの補集合をＸと表す。このとき次のことが
成り立つ。

　・ｘ∈Ａは、ｘ∈Ｂであるための[キ]。
　　　　　　　　　＿
　・ｘ∈Ｂは、ｘ∈Ａであるための[ク]。

[キ]，[ク]の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)
┌――――――――――――――――――――――――――┐
｜{0} 必要条件であるが、十分条件ではない　　　　　　　｜
｜{1} 十分条件であるが、必要条件ではない　　　　　　　｜
｜{2} 必要十分条件である　　　　　　　　　　　　　　　｜
｜{3} 必要条件でも十分条件でもない　　　　　　　　　　｜
└――――――――――――――――――――――――――┘


※分数は(分子)／(分母)、ｘの２乗はｘ^2、マーク部分の□は[ ]で表記しています。

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■　解説目次

　◆１　第２問[1]は２次方程式、２次関数、必要条件・十分条件
　◆２　解の個数なら判別式

(以下略)

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■　解説


　◆１　第２問[1]は２次方程式、２次関数、必要条件・十分条件

2022年共通テスト数学１Ａ第２問[1]は、２次方程式、２次関数、必要・十分条件の
問題でした。
対話文も含む問題になっていますが、着実に読み取って解いていきましょう！

まず

　　ｘ^2＋ｐｘ＋ｑ＝０　……{1}
　　ｘ^2＋ｑｘ＋ｐ＝０　……{2}

これらの２つの２次方程式があり、これらを満たす実数ｘの個数をｎとしています。

解の個数についての問題なので、判別式を使うのがノーマルですが、それだけで
なく、実際に解がいくつになるかも考えた方が良い場合もあります。

高校数学の２次関数については、ブログでいろいろな論点について解説しています。
http://a-ema.seesaa.net/article/478441371.html
このメルマガとあわせて御覧ください。


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

　◆２　解の個数なら判別式

では(1)です。
ｐとｑの値が与えられて、そのときのｎの値を求めます。

まず「ｐ＝４，ｑ＝−４のとき」は、

ｘ^2＋４ｘ−４＝０　……{1}
ｘ^2−４ｘ＋４＝０　……{2}

です。
それぞれの判別式Ｄ＝ｂ^2−４ａｃの値を求めます。

Ｄ1＝４^2−４×１×(−４)＝１６＋１６＝３２＞０
Ｄ2＝(−４)^2−４×１×４＝１６−１６＝０

つまり・・・


つづく


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

解説の続き・解答や公式一覧などは・・・

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本日配信のメルマガ。2024年共通テスト英語第３問Ａ 完成

本日配信のメルマガでは、2024年大学入学共通テスト追試英語第３問Ａの内容を掲載します。


【高校英語】共通テストの英文解釈
http://www.mag2.com/m/0001641009.html


■　問題

2024年大学入学共通テスト追試より

第３問

Ａ　You are staying by yourself in Sydney, Australia, and thinking of
eating out. You are searching for tips and find a blog.

　　[Solo Dining]

As someone who frequently travels abroad alone, one thing I enjoy is dinner
in an elegant restaurant, but sometimes I feel uncomfortable. In many
English-speaking countries, eating out by yourself, "solo dining," is not
common. So, what do you do if it's just you? Finding a "table for one" to
enjoy dinner can be a big task.

Interestingly, on a recent trip alone to Australia I discovered that solo
diners are increasing. I ate dinner at The Weir, a riverside restaurant in
Adelaide. Before I went in, I could see diners eating alone on the terrace,
while checking their phones. When I entered, in the lounge there were only
couples and groups of guests. I was warmly welcomed, taken to the terrace,
and enjoyed a delicious meal.

My experience in Adelaide was a turning point in my feelings towards solo
dining. Later, I learnt that the rise of the smartphone and social media
has led to changes in attitudes towards it for both restaurants and guests.
On my next trip to Paris, I will try solo dining at one of the restaurants
I have long wanted to go to.


問１　Before the trip to Australia, the author of the blog [ 16 ].
{1} had mixed feelings about solo dining and worried about finding a table
just for himself
{2} had never experienced solo dining because he had always had someone to
dine with
{3} was negative about solo dining because his requests for a table to dine
alone had been rejected
{4} was positive about solo dining thanks to a good experience at his
favourite restaurant in Paris

問２　Choices {1} to {6} show the state of each table. Which one best
illustrates the situation when the author entered the restaurant? [ 17 ]


※図は省略します。


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■　スラッシュリーディング

Ａ　You are staying / by yourself / in Sydney, Australia,
/ and thinking / of eating out.
あなたは滞在している / 一人で / オーストラリアのシドニーに
/ そして考えている / 外食することを

You are searching / for tips / and find a blog.
あなたは探している / コツを / そしてあるブログを見つける


　　[Solo Dining][一人で食事をすること]

As / someone who frequently travels abroad / alone, / one thing / I enjoy
/ is dinner / in an elegant restaurant,


(以下略)


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■　問題

2024年大学入学共通テスト追試より

第３問

Ａ　You are staying by yourself in Sydney, Australia, and thinking of
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As someone who frequently travels abroad alone, one thing I enjoy is dinner
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2024年大学入学共通テスト追試より

第３問

Ａ　You are staying by yourself in Sydney, Australia, and thinking of
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■　問題

2022年共通テスト数２Ｂより

第１問

[1] 座標平面上に点Ａ(−８，０)をとる。また、不等式

　　ｘ^2＋ｙ^2−４ｘ−１０ｙ＋４≦０

の表す領域をＤとする。


(1) 領域Ｄは、中心が点([ア]，[イ])，半径が[ウ]の円の[エ]である。

[エ]の解答群
┌――――――――――――――――――┐
｜{0} 周　　{1} 内部　　{2} 外部　　　｜
｜{3} 周および内部　　{4} 周および外部｜
└――――――――――――――――――┘

　以下、点([ア]，[イ])をＱとし、方程式

　　ｘ^2＋ｙ^2−４ｘ−１０ｙ＋４＝０

の表す図形をＣとする。

(2) 点Ａを通る直線と領域Ｄが共有点をもつのはどのようなときかを考えよう。

(i) (1)により、直線ｙ＝[オ]は点Ａを通るＣの接線の一つとなることがわかる。

　太郎さんと花子さんは点Ａを通るＣのもう一つの接線について話している。
　点Ａを通り、傾きがｋの直線をｌとする。

┌――――――――――――――――――――――――――――――┐
｜太郎：直線ｌの方程式はｙ＝ｋ(ｘ＋８)と表すことができるから、｜
｜　　　これを　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　｜
｜　　　　　ｘ^2＋ｙ^2−４ｘ−１０ｙ＋４＝０　　　　　　　　　｜
｜　　　に代入することで接線を求められそうだね。　　　　　　　｜
｜花子：ｘ軸と直線ＡＱのなす角のタンジェントに注目することでも｜
｜　　　求められそうだよ。　　　　　　　　　　　　　　　　　　｜
└――――――――――――――――――――――――――――――┘

(ii) 太郎さんの求め方について考えてみよう。
　ｙ＝ｋ(ｘ＋８)をｘ^2＋ｙ^2−４ｘ−１０ｙ＋４＝０に代入すると、ｘについて
の２次方程式
　(ｋ^2＋１)ｘ^2＋(１６ｋ^2−１０ｋ−４)ｘ＋６４ｋ^2−８０ｋ＋４＝０
が得られる。この方程式が[カ]のときのｋの値が接線の傾きとなる。

[カ]の解答群
┌――――――――――――――――――――――┐
｜{0} 重解をもつ　　　　　　　　　　　　　　　｜
｜{1} 異なる二つの実数解をもち、一つは０である｜
｜{2} 異なる二つの正の実数解をもつ　　　　　　｜
｜{3} 正の実数解と負の実数解をもつ　　　　　　｜
｜{4} 異なる二つの負の実数解をもつ　　　　　　｜
｜{5} 異なる二つの虚数解をもつ　　　　　　　　｜
└――――――――――――――――――――――┘

(iii) 花子さんの求め方について考えてみよう。
　ｘ軸と直線ＡＱのなす角θ(０＜θ≦π／２)とすると

　　ｔａｎθ＝[キ]／[ク]

であり、直線ｙ＝[オ]と異なる接線の傾きはｔａｎ[ケ]と表すことができる。

[ケ]の解答群
┌――――――――――――――――――――――――┐
｜{0} θ　　{1} ２θ　　{2} (θ＋π／２)　　　　　｜
｜{3} (θ−π／２)　　{4} (θ＋π)　　{5} (θ−π)｜
｜{6} (２θ−π／２)　　{7} (２θ−π／２)　　　　｜
└――――――――――――――――――――――――┘

(iv) 点Ａを通るＣの接線のうち、直線ｙ＝[オ]と異なる接線の傾きをｋ0とする。
このとき、(ii)または(iii)の考え方を用いることにより

　　ｋ0＝[コ]／[サ]

であることがわかる。
　直線ｌと領域Ｄが共有点を持つようなｋの値の範囲は[シ]である。

[シ]の解答群
┌――――――――――――――――――┐
｜{0} ｋ＞ｋ0　　{1} ｋ≧ｋ0　　　　　｜
｜{2} ｋ＜ｋ0　　{3} ｋ≦ｋ0　　　　　｜
｜{4} ０＜ｋ＜ｋ0　　{5} ０≦ｋ≦ｋ0　｜
└――――――――――――――――――┘


※分数は(分子)／(分母)、ｘの２乗はｘ^2、マーク部分の□は[ ]で表記しています。

　　図形と方程式まとめ→http://a-ema.seesaa.net/article/498483918.html

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■　解説目次

　◆１　円の方程式と領域の基本
　◆２　円の中心と半径なら平方完成

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■　解説


　◆１　円の方程式と領域の基本

2022年共通テスト数学２Ｂ第１問[1]では、円が登場しました。本試験では近年
登場していなかったので、意表を突かれて混乱してしまった人もいたと思います。
そんなときほど、とにかく「出せるものを出す」という取り組み方が大切です。

まずは円の方程式と領域について基本的な事柄を掲載してみます。

★中心(ａ，ｂ)，半径ｒの円の方程式：(ｘ−ａ)^2＋(ｙ−ｂ)^2＝ｒ^2

そして、この式の等号が不等号になると、円の内側または外側の領域を表します。

★円の内側：(ｘ−ａ)^2＋(ｙ−ｂ)^2＜ｒ^2
★円の外側：(ｘ−ａ)^2＋(ｙ−ｂ)^2＞ｒ^2

(ｘ−ａ)^2＋(ｙ−ｂ)^2が円周上を表すので、それより小さければ内側、
大きければ外側。というわけです。


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　◆２　円の中心と半径なら平方完成

では今回の問題です。

ｘ^2＋ｙ^2−４ｘ−１０ｙ＋４≦０

これを領域Ｄとして、まずは円の中心と半径を求めます。

◆１でも触れたように、円は(ｘ−ａ)^2＋(ｙ−ｂ)^2＝ｒ^2の形になります。
この形になるように、与式を変形していきましょう！
カッコの２乗だから平方完成ですね。

　　　　　　　　　　　　ｘ^2＋ｙ^2−４ｘ−１０ｙ＋４≦０
　　　　　　　　　　(ｘ^2−４ｘ)＋(ｙ^2−１０ｙ)＋４≦０
(ｘ^2−４ｘ＋４−４)＋(ｙ^2−１０ｙ＋２５−２５)＋４≦０
　　　　　　　　(ｘ−２)^2−４＋(ｙ−５)^2−２５＋４≦０
　　　　　　　　　　　　　　　(ｘ−２)^2＋(ｙ−５)^2≦２５

これで中心と半径がわかる形になりました。
中心(２，５)，半径５ですね。

不等号の向きから・・・


(以下略)


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