2024年06月14日

高校数学「図形と方程式」△ABQの重心の軌跡

高校数学「図形と方程式」△ABQの重心の軌跡

◆問題
点Qが円x2+y2=4上を動くとき、3点A(5,1),B(1,−4),Qを頂点とする△ABQの重心Pの軌跡を求めよ。


軌跡に関する少し難しい問題です。
昨日の直線上の点の問題と、コレが主な2パターンになります。


↓解答解説はお知らせの下に↓

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◆解答解説

軌跡の問題では、基本的には点Pを(x,y)とおきます。
そして点P以外に移動する点があれば、それも文字で置きます。
例えば、Q(s,t)とするのが標準的だと思います。

今回の問題も、この置き方でやっていきます。

Qはx2+y2=4上の点なので、円の式に代入することができますね。
つまり、s2+t2=4です。

今回はこの時点ではsとtを消去できないので、続いて他の条件に従って式を立てます。

Pは△ABQの重心という条件があります。
重心の公式に従って式を作ることができそうですね!
重心は座標の平均なので、

x=(5+1+s)/3=(6+s)/3,y=(1−4+t)/3=(−3+t)/3

このような式を作ることができます。
それぞれs,tについて解くと、

6+s=3xより、s=3x−6
−3+t=3yより、t=3y+3

ここまで作った式を確認してみると・・・

s,tを円の式に代入すれば、s,tが消去できて、x,yの式ができそうですね!
やってみましょう!

(3x−6)2+(3y+3)2=4

一度展開してまとめてもいいのですが、これは円の方程式だと先に推定しておけば、x,yの係数が消えるように両辺を割れば良いことがわかると思います。
両辺を9で割れば、

(x−2)2+(y+1)2=4/9

割とノーマルな円の式ができあがりましたね!
よって求める軌跡は、

中心(2,−1),半径2/3の円

です!


◆関連項目
2点O(0,0),A(6,0)からの距離の比が2:1である点Pの軌跡
軌跡の立式の仕方
図形と方程式まとめ


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ラベル:数学
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本日配信のメルマガ。2024年共通テスト数学2B第3問(2)前半

本日配信のメルマガでは、2024年大学入学共通テスト数学2B第3問の(2)前半までを解説します。


【高校数学】読むだけでわかる!共通テスト数学の考え方
 http://www.mag2.com/m/0001641004.html


リクエスト等ございましたら、mm@a-ema.comまでお知らせください。


■ 問題

2024年共通テスト数2Bより

第3問

 以下の問題を解答するにあたっては、必要に応じて47ページの正規分布表を
用いてもよい。また、ここでの[晴れ]の定義については、気象庁の天気概況の
「快晴」または「晴」とする。

※正規分布表はブログにも掲載しています。
http://a-ema.seesaa.net/article/503202201.html


(1) 太郎さんは、自分が住んでいる地域において、日曜日に[晴れ]となる確率を
考えている。
 [晴れ]の場合は1,[晴れ]以外の場合は0の値をとる確率変数をXと定義する。
また、X=1である確率をpとすると、その確率分布は表1のようになる。

        表1
  ―――┬――――――┬―――
   X │ 0  1 │ 計
  ―――┼――――――┼―――
   確率│1−p p | 1
  ―――┴――――――┴―――

 この確率変数Xの平均(期待値)をmとすると

  m=[ア]

となる。

 太郎さんは、ある期間における連続したn週の日曜日の天気を、表1の確率分布を
もつ母集団から無作為に抽出した大きさnの標本とみなし、それらのXを確率変数
X1,X2,…,Xnで表すことにした。そして、その標本平均を利用して、母平均m
を推定しようと考えた。実際にn=300として晴れの日数を調べたところ、表2の
ようになった。

     表 2
  ――――┬――――
   天気 │ 日数
  ――――┼――――
   晴れ │  75
  ――――┼――――
  晴れ以外|  225
  ――――┼――――
    計 |  300
  ――――┴――――

 母標準偏差をσとすると、n=300は充分に大きいので、標本平均は近似的に
正規分布N(m,[イ])に従う。

 一般に、母標準偏差σがわからないとき、標本の大きさnが大きければ、σの
かわりに標本の標準偏差Sを用いてもよいことが知られている。Sは

http://www.a-ema.com/img/2024m2b3.png

で計算できる。ここで、X1^2=X1,X2^2=X2,…,Xn^2=Xnであることに
着目し、右辺を整理すると、S=√[エ]と表されることがわかる。

 よって、表2より、大きさn=300の標本から求められる母平均mに対する
信頼度95%の信頼区間は[オ]となる。


 [ア]の解答群
┌――――――――――――――――――――――――――――――――――――┐
|{0} p    {1} p^2    {2} 1−p    {3} (1−p)^2     |
└――――――――――――――――――――――――――――――――――――┘

 [イ]の解答群
┌――――――――――――――――――――――――――――――――――――┐
|{0} σ  {1} σ^2  {2} σ/n  {3} σ^2/n  {4} σ/√n    |
└――――――――――――――――――――――――――――――――――――┘

 [ウ],[エ]の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)
┌――――――――――――――――――――――――――――――――――――┐
|{0} 標本平均            {1} (標本平均)^2          |
|{2} 標本平均・(1−標本平均)    {3} 1−標本平均          |
└――――――――――――――――――――――――――――――――――――┘

 [オ]については、最も適当なものを、次の{0}〜{5}のうちから一つ選べ。
┌――――――――――――――――――――――――――――――――――――┐
|{0} 0.201≦m≦0.299   {1} 0.209≦m≦0.291   |
|{2} 0.225≦m≦0.250   {3} 0.255≦m≦0.275   |
|{4} 0.247≦m≦0.253   {5} 0.250≦m≦0.275   |
└――――――――――――――――――――――――――――――――――――┘


(2) ある期間において、「ちょうど3週続けて日曜日の天気が[晴れ]になること」が
どのくらいの頻度で起こり得るのかを考察しよう。以下では、連続するk週の日曜日
の天気について、(1)の太郎さんが考えた確率変数のうちX1,X2,…,Xkを用いて
調べる。ただし、kは3以上300以下の自然数とする。

 X1,X2,…,Xkの値を順に並べたときの0と1からなる列において、
「ちょうど3つ続けて1が現れる部分」をAとし、Aの個数を確率変数Ukで表す。
例えば、k=20とし、X1,X2,…,X20の値を順に並べたとき

1,1,1,1,0,[1,1,1],0,0,1,1,1,1,1,0,0,[1,1,1]
            A                        A

であったとする。この例では、下線部分(ここでは[ ]で囲んだ部分)はAを示して
おり、1が4つ以上続く部分はAとはみなさないので、U20=2となる。

 k=4のとき、X1,X2,X3,X4のとり得る値と、それに対応したU4の値を
書き出すと、表3のようになる。

       表 3
  ―――――――――――┬――――
   X1 X2 X3 X4 │ U4
  ―――――――――――┼――――
   0  0  0  0  │ 0
   1  0  0  0  │ 0
   0  1  0  0  │ 0
   0  0  1  0  │ 0
   0  0  0  1  │ 0
   1  1  0  0  │ 0
   1  0  1  0  │ 0
   1  0  0  1  │ 0
   0  1  1  0  │ 0
   0  1  0  1  │ 0
   0  0  1  1  │ 0
   1  1  1  0  │ 1
   1  1  0  1  │ 0
   1  0  1  1  │ 0
   0  1  1  1  │ 1
   1  1  1  1  │ 0
  ―――――――――――┴――――

 ここで、Ukの期待値を求めてみよう。(1)におけるpの値をp=1/4とする。
k=4のとき、Ukの期待値は

  E(U4)=[カ]/128

となる。k=5のときU5の期待値は

  E(U5)=[キク]/1024

となる。


つづく

 _
※Xは「標本平均」、分数は(分子)/(分母)、xの2乗はx^2、
マーク部分の□は[ ]で表記しています。

  確率統計まとめ→http://a-ema.seesaa.net/article/503260113.html

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■ 解説目次

 ◆1 確率統計の解説も行います!
 ◆2 平均(期待値)は「値×確率」の合計

(以下略)

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■ 解説

 ◆1 確率統計の解説も行います!

2025年の共通テストでは、数学2Bの選択問題が1問増えて、確率統計を使う人が
多くなりそうです。というわけで、このメルマガでも第3問の解説も配信することに
しました。
数学1Aの場合の数・確率とデータの分析の発展的な内容となります。

ブログには、期待値(平均)、分散、標準偏差、二項分布、正規分布、統計的な推測
などの標準的な問題と解説も掲載しています。
基本的なやり方や公式が怪しい!という人はまずはブログの解説をご覧ください。

確率統計まとめ→http://a-ema.seesaa.net/article/503260113.html

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 ◆2 平均(期待値)は「値×確率」の合計

では早速最初の設問について考えていきましょう!

「晴れ」を1,それ以外の天気を0として、確率変数Xについて考える問題となって
います。晴れの確率はp,それ以外の確率は1−pと与えられていますね。

この条件で平均(期待値)を求めます。

期待値は「値×確率」の合計だから、


(以下略)


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解説の続き・解答や公式一覧などは・・・

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          発行者 江間淳(EMA Atsushi)
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ラベル:数学
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高校情報「アルゴリズム」

高校情報「アルゴリズム」

◆問題

空欄に適語を入れてください。

 [アルゴリズムとは]
ある目的を達成するために、一定の手順に従って解いていけるように表現されたものを(@)という。(@)はフローチャートなどの図式を用いて表現することもできる。
アルゴリズムを(A)を用いて表記したものが、プログラムである。


↓解答はお知らせの下に↓

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◆解答
@アルゴリズム、Aプログラム言語


 [アルゴリズムとは]
ある目的を達成するために、一定の手順に従って解いていけるように表現されたものをアルゴリズムという。アルゴリズムはフローチャートなどの図式を用いて表現することもできる。
アルゴリズムをプログラム言語を用いて表記したものが、プログラムである。


前の問題→モデル化の考え
次の問題→アルゴリズムを利用した処理の自動実行]


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2024年06月13日

高校化学「有機物」官能基の表の穴埋め問題(水溶液の性質)

高校化学「有機物」官能基の表の穴埋め問題(水溶液の性質)


水溶液の性質を空欄にしてみました。
空欄には、酸性・中性・塩基性のどれかが入ります。










官能基官能基の名称一般式一般名水溶液の性質
−OHヒドロキシ基R−OHアルコール
フェノール類
エタノールC25OH
フェノールC65OH
−CHOアルデヒド基R−CHOアルデヒドアセトアルデヒドCH3CHO
−C−
 || 
 O 
カルボニル基R−CO−RケトンアセトンCH3COCH3
−COOHカルボキシ基R−COOHカルボン酸酢酸CH3COOH
−NH2アミノ基R−NH2アミンアニリンC65NH2
−NO2ニトロ基R−NO2ニトロ化合物ニトロベンゼンC65NO
−O−エーテル結合R−O−RエーテルジエチルエーテルC25OC25
−COO−エステル結合R−COO−Rエステル酢酸エチルCHCOOC25



官能基と一般式の穴埋め問題
名前の穴埋め問題


◆関連項目
脂肪族炭化水素芳香族化合物

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高校数学「図形と方程式」直線y=2x+4上の点Qと点A(−5,2)との中点Pの軌跡

高校数学「図形と方程式」直線y=2x+4上の点Qと点A(−5,2)との中点Pの軌跡

◆問題
点Qが直線y=2x+4上を動くとき、点A(−5,2)と点Qを結ぶ線分AQの中点Pの軌跡を求めよ。


軌跡に関する少し難しい問題です。
定期テストレベルなら、このくらいが解ければだいたいOKだと思います。


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◆解答解説

軌跡の問題では、基本的には点Pを(x,y)とおきます。
そして点P以外に移動する点があれば、それも文字で置きます。
例えば、Q(s,t)とするのが標準的だと思います。

今回の問題も、この置き方でやっていきます。

Qはy=2x+4上の点なので、この直線の式に代入することができますね。
つまり、t=2s+4です。
ということは、Q(s,t)=(s,2s+4)と表すことができます。

点PはAQの中点なので、普通に中点の公式にしたがって式を立てます。

x=(s−5)/2,y=(2s+4+2)/2=(2s+6)/2=s+3

求めるのはPの軌跡、つまり、xとyの関係式です。
だから、これら2つの式を合成して、sを消去すればOK!と考えます。

 x=(s−5)/2
2x=s−5
−s=−2x−5
 x=2x+5

これをyの式に代入すると、

y=2x+5+3
y=2x+8

よって求める軌跡は、直線y=2x+8


◆関連項目
2点O(0,0),A(6,0)からの距離の比が2:1である点Pの軌跡
軌跡の立式の仕方
図形と方程式まとめ


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ラベル:数学
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