本日配信のメルマガでは、2025年大学入学共通テスト数学２ＢＣ第４問の(2)までを解説します。
【高校数学】読むだけでわかる！共通テスト数学の考え方
http://www.mag2.com/m/0001641004.htmlリクエスト等ございましたら、mm@a-ema.comまでお知らせください。
■ 問題
2025年共通テスト数２ＢＣより
第４問
座標平面上で、ｘ座標とｙ座標がともに整数である点を格子点という。いくつかの
直線や曲線で囲まれた図形の内部にある格子点の個数を考えよう。ただし、図形の
内部は、境界(境界線)を含まないものとする。
例えば、直線ｙ＝－ｘ＋５とｘ軸，ｙ軸で囲まれた図形をＳとする。Ｓは図１の
灰色部分であり、Ｓの内部にある格子点を黒丸、内部にない格子点を白丸で表して
いる。したがって、Ｓの内部にある格子点の個数は６である。
図１→http:/www.a-ema.com/img/2025math2bc4.png
(1) 直線ｙ＝３ｘとｘ軸，直線ｘ＝２１で囲まれた図形をＴとする。Ｔの内部にある
格子点の個数を考える。
直線ｘ＝１上の格子点でＴの内部にあるものは、点(１，１)と点(１，２)の２個
である。点(１，０)と点(１，３)はＴの境界にあるため、内部にはない。
ｎを整数とする。直線ｘ＝ｎがＴの内部にある格子点を通るのは、１≦ｎ≦２０の
ときである。１≦ｎ≦２０のとき、直線ｘ＝ｎ上の格子点でＴの内部にあるものの
個数をａnとおく。ａ1＝２であり、ａ2＝[ア]，ａ3＝[イ]である。
数列{ａn}は[ウ]が[エ]の[オ]数列である。
したがって、Ｔの内部にある格子点の個数は[カキク]である。
[ウ]の解答群
┌――――――――――――――――――――――――――――――――――――┐
｜{0} 公差 {1} 公比 ｜
└――――――――――――――――――――――――――――――――――――┘
[オ]の解答群
┌――――――――――――――――――――――――――――――――――――┐
｜{0} 等差 {1} 等比 ｜
└――――――――――――――――――――――――――――――――――――┘
(2) ｎを自然数とする。関数ｙ＝２^xのグラフとｘ軸、ｙ軸および直線ｘ＝ｎ＋１で
囲まれた図形をＵとする。
ｋを整数とする。直線ｘ＝ｋがＵの内部にある格子点を通るとき、直線ｘ＝ｋ上の
格子点でＵの内部にあるものの個数は[ケ]である。
したがって、Ｕの内部にある格子点の個数は
Σ[k=1～[コ]]([ケ])＝[サ]
である。
[ケ]の解答群
┌――――――――――――――――――――――――――――――――――――┐
｜{0} ２ｋ－２ {1} ２ｋ－１ {2} ２ｋ ｜
｜{3} ２^(k-1)－２ {4} ２^(k-1)－１ {5} ２^(k-1) ｜
｜{6} ２^k－２ {7} ２^k－１ {8} ２^k ｜
└――――――――――――――――――――――――――――――――――――┘
[コ]の解答群
┌――――――――――――――――――――――――――――――――――――┐
｜{0} ｎ－１ {1} ｎ {2} ｎ＋１ ｜
｜{3} ２ｎ－１ {4} ２ｎ {5} ２ｎ＋１ ｜
｜{6} ２^n－１ {7} ２^n {8} ２^n＋１ ｜
└――――――――――――――――――――――――――――――――――――┘
[サ]の解答群
┌――――――――――――――――――――――――――――――――――――┐
｜{0} ２^n－２ｎ－１ {1} ２^n－２ｎ {2} ２^n－ｎ－１ ｜
｜{3} ２^n－ｎ {4} ２^n－３ {5} ２^(n+1)－２ｎ－２ ｜
｜{6} ２^(n+1)－２ｎ－１ {7} ２^(n+1)－ｎ－２ {8} ２^(n+1)－ｎ－１ ｜
｜{9] ２^(n+1)－３ ｜
└――――――――――――――――――――――――――――――――――――┘
つづく
※分数は(分子)／(分母)、ｘの２乗はｘ^2、ｋ＝１からｎまでのａnの数列の和は
Σ[k=1～n]ａkで、マーク部分の□は[ ]で表記しています。
数列まとめ→
http://a-ema.seesaa.net/article/479520450.html====================== お知らせ１ ==========================
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■ 解説目次
◆１ 第４問は数列
◆２ 格子点とは？
(以下略)
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■ 解説
◆１ 第４問は数列
2025年共通テスト数学２ＢＣでは、第４問から第７問が選択問題となりました。
ただし、第７問の複素数平面は旧数３の内容なので、実質的に第４問～第６問が
必修となってしまった人も多いかも知れません。
この第４問では、数列の問題が出題されました。
座標平面上の格子点を題材にしているので、よくみる数列の問題とはちょっと違う
感覚もあるとは思いますが、もちろん数列の基本的な公式や解き方は使います。
等差数列、等比数列、いろいろな数列、Σの公式など、一通りわかるようにして
おきましょう！
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リクエストにもお応えしますので、良かったらご利用ください。
数列まとめ→
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◆２ 格子点とは？
では今回の問題です。
まず１ページ目に格子点の説明があります。
「座標平面上で、ｘ座標とｙ座標がともに整数である点を格子点」といい、今回の
問題では格子点の個数を考えていきます。
わかっている人は読み飛ばしたくなってしまうと思いますが、この問題独自の設定が
あるかも知れないので・・・
(以下略)
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解説の続き・解答や公式一覧などは・・・
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発行者 江間淳(EMA Atsushi)
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