2018年11月09日

本日配信のメルマガ。2013年センター数学2B第2問 微分積分

本日配信のメルマガでは、2013年大学入試センター試験数学2B第2問を解説します。


【高校数学】読むだけでわかる!センター数学の考え方
 http://www.mag2.com/m/0001641004.html


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■ 問題

第2問

 aを正の実数として、xの関数f(x)を

  f(x)=x^3−3a^2x+a^3

とする。

 関数y=f(x)は、x=[アイ]で極大値[ウ]a^[エ]をとり、x=[オ]で
極小値[カ]a^[キ]をとる。このとき、2点

  ([アイ],[ウ]a^[エ]),([オ],[カ]a^[キ])

と原点を通る放物線

  y=[ク]x^2−[ケ]a^[コ]・x

をCとする。原点におけるCの接線lの方程式は

  y=[サシ]a^[ス]・x

である。また、原点を通りlに垂直な直線mの方程式は

  y=(1/[セ]a^[ソ])x

である。

 x軸に関して放物線Cと対称な放物線

  y=−[ク]x^2+[ケ]a^[コ]・x

をDとする。Dとlで囲まれた図形の面積Sは

  S=([タチ]/[ツ])a^[テ]

である。

 放物線Cと直線mの交点のx座標は、0と(4a^[ト]+1)/(2a^[ナ])で
ある。Cとmで囲まれた図形の面積をTとする。S=Tとなるのは
a^[テ]=[ニ]/[ヌ]のときであり、このとき、S=[ネ]/[ノ]である。


※分数は(分子)/(分母)、xの2乗はx^2、マーク部分の□は[ ]で表記しています。

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■ 解説目次

 ◆1 導関数は傾きを表す
 ◆2 極値では導関数の値が0
 ◆3 積分は微分の逆で、面積
 ◆4 極大極小なら導関数=0
 ◆5 3乗の係数がプラスなら右上がり

(以下略)

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■ 解説

◆1〜3は省略します。


 ◆4 極大極小なら導関数=0

では、前置きはこの辺にして、今回の問題に入りましょう!

まず、f(x)=x^3−3a^2x+a^3とあります。
3次関数ですね。

最初の設問は、y=f(x)の極大極小についてです。

極大極小といえば、導関数!微分!ですね。

y'=3x^2−3a^2

これがy=f(x)の傾きを表す関数になるわけです。
極値ではy'=0なので、このまま=0で解いてみます。

 3x^2−3a^2=0
   x^2−a^2=0
(x+a)(x−a)=0
∴x=±a

まずは、x=−aのところとx=aのところで極値を取ることがわかりました。


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 ◆5 3乗の係数がプラスなら右上がり

そして、これらの極値のどちらが極大で、どちらが極小なのか、それぞれ値は
いくつになるのかを求めてみましょう。

y=f(x)=x^3−3a^2x+a^3は、x^3の係数がプラスなので、全体として
右上がりの曲線になります。

すると、2つの極値のうち・・・


(以下略)


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解説の続き・解答や公式一覧などは・・・

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ラベル:数学
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2018年11月08日

「10秒でわかる高校数学」≪数学2B「微分積分」P.69 定積分を含む方程式2≫

本日配信のメルマガでは、数学2Bの微分積分の書籍から1問ピックアップしてご紹介します。


今回は、新刊の

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の問題を取り上げます。


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■[問題]

 「次の等式を満たす関数f(x)を求めよ。
  ∫[0〜x] (t+2)f(t)dt=x^3+5x^2+8x 」


このときはまず最初に何をすれば良いでしょうか?
あまり悩まず、パッと選択肢を選んで、次のページへ!


■[選択肢]

 {1} ∫[0〜x] (t+2)f(t)dt=kとおく

 {2} 左辺は定積分だから、右辺を微分する

 {3} 左辺は定積分だから、右辺も同じ区間で定積分する

 {4} 両辺を微分する


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■[選択肢の解答・解説]

 {4} 両辺を微分する

 0からxの区間の定積分は、積分した式にxを入れたやつから0を入れたやつを
引くので、事実上、普通に「xの整式を積分する」のと同じです。だから、それを
微分すればもとの関数が現れる。ということができます。

 積分した関数を微分するともとの関数になり、もとの関数は積分する前の関数
なので、∫とdxが消えて計算がしやすくなるのですね!


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数学は、1Aはもちろん、2Bも掲載します。
英語は、文法セクションだけでなく、長文も解答・解説・全文訳つきです。
数学も英語も2014年の問題から順に全問題を解説します。

リクエストや質問も受け付けますので、お気軽にご連絡くださいね!


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■[他の選択肢は?]

 @ ∫[0〜x] (t+2)f(t)dt=kとおく
→定積分の区間が0からxだから、定積分の部分は定数でないので、定数kに
置き換えるのは適切ではない

 A 左辺は定積分だから、右辺を微分する
→一見して筋が通っているように見えるが、右辺だけを微分すると・・・

続きは、

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【高校物理】読むだけでわかる!物理基礎・物理の考え方
 http://pmana.jp/pc/pm729.html

【中学5科】高校入試の重要ポイント
 http://pmana.jp/pc/pm707.html


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[おわりに]

実際の書籍では、[他の選択肢は?]の続きはもちろん、実際に解いた場合の
計算式や図表、関連問題とその解答なども掲載しています。

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皆さんもぜひ使ってみてくださいね。


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ラベル:数学
posted by えま at 15:22| Comment(0) | 高校数学 | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする

2018年11月07日

本日配信のメルマガ。2017年センター英語第3問C 長めの対話文

本日配信のメルマガでは、2017年大学入試センター試験英語第3問Cを解説します。


【高校英語】過去問攻略!センター英語
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■ 問題

第3問 次の問い(A〜C)に答えよ。

C 次の会話は、「市の発展」をテーマとして、ある町で行われた住民による
話し合いでのやりとりの一部である。[ 32 ]〜[ 34 ]に入れるのに最も適当な
ものを、それぞれ下の{1}〜{4}のうちから一つずつ選べ。

Alice: The mayor has asked me to lead this meeting to discuss ways to
develop our town. Tom, how about beginning with you?
Tom: Sure. If a new factory is built here, more people will move to our
town. This would help local shops and restaurants because there would be
more customers. Also, some of our residents working in the next town could
find jobs here. Many people have complained about their long drive back
and forth to work. Working closer to home would improve their family life
by giving them more time to spend together.
Alice: Tom, are you saying that [ 32 ]?

{1} many of our residents prefer traveling to another town to work
{2} new businesses should do much more to increase their sales
{3} people in our town would benefit from a new workplace here
{4} working in the next town may make people's lives better

Tom: Yes, that's correct.
Carol: Well, I think it would be better to build a shopping mall. It would
be good for both customers and shop owners. When the new housing complex
is completed in the northeastern part of town, people living there would
be pleased with a nearby mall to shop at. Lots of my fellow merchants have
been wishing they could move to a new place. Such a mall would be a benefit
to shop owners because more people would visit their shops.

Rick: I agree. A mall would also be useful for people in other parts of
town because they could do all of their shopping at one place. It would
save everyone time, and families would enjoy their lives more. And the
highway exit is in the same area. So, not only would people in our town
shop at a mall built there but people from other towns would also have
easy access to it. That would increase our local businesses' profits.
Carol: Right. It would make family life here much better as well as bring
more customers to our town.
Alice: So, you both feel that a mall would help [ 33 ].

{1} bring money into our town to fix the highway
{2} develop downtown and the northeastern areas
{3} give rise to a lot of controversies and arguments
{4} improve our town's economy and convenience

Leslie: I don't think building a mall or opening a business is the only
way to help our economy grow. We should find ways of using the beauty of
nature, which our town is already famous for. It makes our town a nice
place for families to live in.
Ellen: I think so, too. We should try to develop without changing the
things that families living here and visitors enjoy. Using the beautiful
scenery of our town in more creative ways would encourage people to come
and live here. That would bring more money into our town.
Leslie: I completely agree. In the long run, our town will be hurt if its
natural surroundings are not preserved.

Alice: So, Leslie and Ellen are talking about the importance of maintaining
the natural features of our town. Well, from our discussion so far, it
seems everyone thinks, when developing our town, we should [ 34 ]. Let's
see if there are any other points we need to take into account.

{1} build a large shopping center
{2} consider residents' family lives
{3} increase the number of employees
{4} think of the natural environment


※マーク部分の□や下線部は[ ]で、マル1は{1}で表記しています。

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■ 解答・解説

第3問Cは、少し長めの対話文があり、各選択肢がそこまでの内容のまとめと
なっています。ほとんどの問題が、内容をよく把握すれば、迷わず選べるように
作られていますのでしっかり読み取っていきましょう!


Alice: The mayor has asked me / to lead this meeting / to discuss ways
/ to develop our town.
市長は私に頼みました / この会議をリードするよう / 方法を議論するように
/ 私たちの町を発展させるための

Tom, / how about beginning / with you?
Tomさん / 始めてはどうですか / あなたから

Tom: Sure. / If a new factory is built / here, / more people
/ will move / to our town.
もちろん / もし新しい工場が建てられたら / ここに / より多くの人々が
/ 引っ越してくるでしょう / 私たちの町に

This would help / local shops and restaurants / because
/ there would be more customers.


(以下略)


(有料版では、解説の続きや語句コーナー、解答一覧も掲載しています)
 http://www.mag2.com/m/0001641009.html


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■ 全文訳(基本的に直訳ですが、一部意訳しています)

Alice:市長は私に、私たちの町を発展させる方法を議論するためのこの会議を
リードするよう頼みました。Tom、あなたから始めてはいかがですか?
Tom:わかりました。もし新しい工場がここに建てられたら…

(続きは http://www.mag2.com/m/0001641009.html でご覧ください)

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■ 今回の高校レベルの単語・熟語など

≪[ 32 ]と選択肢まで≫
mayor:cityの政治面のトップの人。「市長」
discuss:他動詞なので、前置詞は必要ないことに注意!「〜を議論する」
develop:デベロッパーとはソフトウェアなどを「開発する」人のこと。
customer:カタカナの「カスタマー」からわかるはず。「客、顧客」
resident:形容詞は「居住している」名詞は「住人、住民」
complain:カタカナ語の「クレーム」の意味に近い。「不平、不満を言う」

(以下略)

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解説の続きは、本日21時配信予定の

【高校英語】過去問攻略!センター英語
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ラベル:英語
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2018年11月06日

本日配信のメルマガ。2013年センター数学1A第2問 2次関数

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■ 問題

2013年センター試験数1Aより

第2問

 座標平面上にある点Pは、点A(−8,8)から出発して、直線y=−x上を
x座標が1秒あたり2増加するように一定の速さで動く。また、同じ座標平面
上にある点Qは、点PがAを出発すると同時に原点Oから出発して、直線
y=10x上をx座標が1秒あたり1増加するように一定の速さで動く。出発
してからt秒後の2点P,Qを考える。点PがOに到達するのはt=[ア]のとき
である。以下0<t<[ア]で考える。

(1) 点Pとx座標が等しいx軸上の点をP',点Qとx座標が等しいx軸上の点
 をQ'とおく。△OPP'と△OQQ'の面積の和Sをtで表せば

  S=[イ]t^2−[ウエ]t+[オカ]

 となる。これより0<t<[ア]においては、t=[キ]/[ク]でSは最小値
 [ケコサ]/[シ]をとる。

  次に、aを0<a<[ア]−1を満たす定数とする。以下、a≦t≦a+1
 におけるSの最大・最小について考える。

 (i) Sがt=[キ]/[ク]で最小となるようなaの値の範囲は

  [ス]/[セ]≦a≦[ソ]/[タ]である。

 (ii) Sがt=aで最大となるようなaの値の範囲は0<a≦[チ]/[ツテ]
  である。

(2) 3点O,P,Qを通る2次関数のグラフが関数y=2x^2のグラフを平行
 移動したものになるのは、t=[ト]/[ナ]のときであり、x軸方向に
 [ニヌ]/[ネ]、y軸方向に[ノハヒ]/[フ]だけ平行移動すればよい。
 

※分数は(分子)/(分母)、xの2乗はx^2、マーク部分の□は[ ]で表記しています。

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■ 解説目次

 ◆1 まずは落ち着いて文章を読もう
 ◆2 −8から0まで2ずつ変化するので・・・

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■ 解説

 ◆1 まずは落ち着いて文章を読もう

旧課程では毎年第2問は、2次関数の問題でした。
2013年も2次関数には違いありませんが、見た目上は珍しい、文章問題の形に
なっていました。

過去問にしっかり取り組んできた準備万端な人ほど、問題を開いた途端に、
見慣れない問題に動揺したかも知れません。

それは無理もないことですが、気を取り直して、しっかり条件を把握すれば、
実はたいしたことがないかも知れません。
これからも様々な変更が予定されているので、過去問とは違ったスタイルの
問題が出題される可能性は、常にあります。
そんなときにも、落ち着いて普段の能力を発揮できるかどうかは、入試だけで
なく、実社会の様々な場面で役に立ちます。

実際のところこの問題は、世間で言うほどは難しくないと思います。


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 ◆2 −8から0まで2ずつ変化するので・・・

それでは条件をしっかり把握しながら、問題を確認していきましょう!

A,P,Qがどんな点で、直線とどういう関連性があるかきちんと把握して
ください。それさえできれば、ホントにこの問題は難しくないです。

まず、点A(−8,8)があります。

この点Aを通る直線y=−xがあり、点PはAを出発し、y=−x上を動く。
そして、点Pのx座標は毎秒2ずつ増える。

さらに、直線y=10xと点Qがあり、点Qは、点PがA出発するのと同時に
原点を出発する。点Qのx座標は毎秒1ずつ増える。

設問に入る前の、状況説明はこんなところです。
問題用紙にはグラフが描いてないので、自分で描きながら読んでいくとよいです。

ちなみに、グラフをざっと描くとこんなかんじです。

(ここでは図は省略します)

ここら辺で最初の設問を確認してみると、「点PがOに到達するのは何秒後か?」
と聞いています。問題の内容を把握していれば、簡単過ぎるくらいの設問です。

「点PはA(−8,8)を出発し、x座標が毎秒2ずつ増える」と言っているの
だから・・・


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解説の続き・解答や公式一覧などは・・・

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■ 問題

2013年センター試験数1Aより

第2問

 座標平面上にある点Pは、点A(−8,8)から出発して、直線y=−x上を
x座標が1秒あたり2増加するように一定の速さで動く。また、同じ座標平面
上にある点Qは、点PがAを出発すると同時に原点Oから出発して、直線
y=10x上をx座標が1秒あたり1増加するように一定の速さで動く。出発
してからt秒後の2点P,Qを考える。点PがOに到達するのはt=[ア]のとき
である。以下0<t<[ア]で考える。

(1) 点Pとx座標が等しいx軸上の点をP',点Qとx座標が等しいx軸上の点
 をQ'とおく。△OPP'と△OQQ'の面積の和Sをtで表せば

  S=[イ]t^2−[ウエ]t+[オカ]

 となる。これより0<t<[ア]においては、t=[キ]/[ク]でSは最小値
 [ケコサ]/[シ]をとる。

  次に、aを0<a<[ア]−1を満たす定数とする。以下、a≦t≦a+1
 におけるSの最大・最小について考える。

 (i) Sがt=[キ]/[ク]で最小となるようなaの値の範囲は

  [ス]/[セ]≦a≦[ソ]/[タ]である。

 (ii) Sがt=aで最大となるようなaの値の範囲は0<a≦[チ]/[ツテ]
  である。

(2) 3点O,P,Qを通る2次関数のグラフが関数y=2x^2のグラフを平行
 移動したものになるのは、t=[ト]/[ナ]のときであり、x軸方向に
 [ニヌ]/[ネ]、y軸方向に[ノハヒ]/[フ]だけ平行移動すればよい。
 

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■ 解説目次

 ◆1 まずは落ち着いて文章を読もう
 ◆2 −8から0まで2ずつ変化するので・・・

(以下略)

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■ 解説

 ◆1 まずは落ち着いて文章を読もう

旧課程では毎年第2問は、2次関数の問題でした。
2013年も2次関数には違いありませんが、見た目上は珍しい、文章問題の形に
なっていました。

過去問にしっかり取り組んできた準備万端な人ほど、問題を開いた途端に、
見慣れない問題に動揺したかも知れません。

それは無理もないことですが、気を取り直して、しっかり条件を把握すれば、
実はたいしたことがないかも知れません。
これからも様々な変更が予定されているので、過去問とは違ったスタイルの
問題が出題される可能性は、常にあります。
そんなときにも、落ち着いて普段の能力を発揮できるかどうかは、入試だけで
なく、実社会の様々な場面で役に立ちます。

実際のところこの問題は、世間で言うほどは難しくないと思います。


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 ◆2 −8から0まで2ずつ変化するので・・・

それでは条件をしっかり把握しながら、問題を確認していきましょう!

A,P,Qがどんな点で、直線とどういう関連性があるかきちんと把握して
ください。それさえできれば、ホントにこの問題は難しくないです。

まず、点A(−8,8)があります。

この点Aを通る直線y=−xがあり、点PはAを出発し、y=−x上を動く。
そして、点Pのx座標は毎秒2ずつ増える。

さらに、直線y=10xと点Qがあり、点Qは、点PがA出発するのと同時に
原点を出発する。点Qのx座標は毎秒1ずつ増える。

設問に入る前の、状況説明はこんなところです。
問題用紙にはグラフが描いてないので、自分で描きながら読んでいくとよいです。

ちなみに、グラフをざっと描くとこんなかんじです。

(ここでは図は省略します)

ここら辺で最初の設問を確認してみると、「点PがOに到達するのは何秒後か?」
と聞いています。問題の内容を把握していれば、簡単過ぎるくらいの設問です。

「点PはA(−8,8)を出発し、x座標が毎秒2ずつ増える」と言っているの
だから・・・


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解説の続き・解答や公式一覧などは・・・

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2018年11月05日

本日配信のメルマガ。2017年センター英語第3問B 文脈に合わない文を指摘する問題

本日配信のメルマガでは、2017年大学入試センター試験英語第3問Bを解説します。


【高校英語】過去問攻略!センター英語
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■ 問題

第3問 次の問い(A〜C)に答えよ。

B 次の問い(問1〜3)のパラグラフ(段落)には、まとまりをよくするために
[取り除いた方がよい文]が一つある。取り除く文として最も適当なものを、
それぞれ下線部{1}〜{4}のうちから一つずつ選べ。

問1[ 29 ]
Wearing proper shoes can reduce problems with your feet. Here are some
important points to think about in order to choose the right shoes.
{1}[Make sure the insole, the inner bottom part of the shoe, is made of
material which absorbs the impact on your foot when walking.] {2}[The
upper part of the shoe should be made of breathable material such as
leather or cloth. {3}[Some brand-name leather shoes are famous because
of their fashionable designs.] {4}[When you try on shoes, pay attention
not only to their length but also to their depth and width.] Wearing the
right shoes lets you enjoy walking with fewer problems.

問2[ 30 ]
In Japan, there are several ways of transporting goods. Each method has
its own advantages and disadvantages. {1}[Transportation by air, though
it can be expensive, is suitable for carrying goods which require speedy
delivery.] {2}{Buses can carry many passengers, and they are convenient
for daily life.] {3}[Ships, on the other hand, can carry large quantities
at low cost, but it takes much time for them to reach their destinations.]
Trains can stop only at stations, but their arrival times can easily be
estimated. {4}[Although trucks cannot carry much compared with trains,
they are useful for carrying things from door to door.] Such merits and
demerits of each method of transportation should be taken into
consideration, so the best way can be chosen, depending on the needs.

問3[ 31 ]
If you forget something you once learned, go back to the place where you
originally learned it. Experimental studies support this idea. For
instance, two groups of divers went into the sea. {1}[After listening to
a list of words underwater, they came back on land and wrote down as many
words as they could remember.] {2}[A day later, one group sat on land,
while the other went back into the sea.] {3}[Researchers carefully chose
the list of words, and the divers selected the diving site.] {4}[Each
group was asked to recall and write the words they had learned the day
before.] It turned out that the divers in the sea recalled words better
than the divers on land. Thus, a person's ability to remember seems to be
better if learning and recalling are done in the same environment.


※マーク部分の□や下線部は[ ]で、マル1は{1}で表記しています。

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■ 解答・解説

2017年第3問Bは、文脈に合わない文を指摘する問題が配置されました。

ただし、これは「完全に問題外」の文ではなく、文章のテーマを限定的に解釈
すると、「厳密にはテーマに合わない」というレベルの違いの場合もあります。

特に、個人のブログなどの、よく吟味されていない文章に日常的に接していると、
この問題での「テーマに合わない」文を探すのが逆に難しいかも知れません。

文章の内容を正確に把握し、論理的に判断することが大切です。


問1

Wearing proper shoes can reduce problems with your feet. Here are some
important points to think about in order to choose the right shoes.
{1}[Make sure the insole, the inner bottom part of the shoe, is made of
material which absorbs the impact on your foot when walking.] {2}[The
upper part of the shoe should be made of breathable material such as
leather or cloth. {3}[Some brand-name leather shoes are famous because
of their fashionable designs.] {4}[When you try on shoes, pay attention
not only to their length but also to their depth and width.] Wearing the
right shoes lets you enjoy walking with fewer problems.

自分に合った靴を選ぶことの大切さを説明した文章ですね。
靴を選ぶために重要なポイントを一つ一つ述べています。
下線部(ここでは[ ]で囲った部分)では・・・


(以下略)


(有料版では、解説の続きや語句コーナー、解答一覧も掲載しています)
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■ 全文訳(基本的に直訳ですが、一部意訳しています)

問1[ 29 ]
 適切な靴を履くことは足の問題を減少させることができます。正しい靴を選ぶ
ために考えるべき重要なポイントがいくつかあります。{1}[インソールつまり…

(続きは http://www.mag2.com/m/0001641009.html でご覧ください)

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■ 今回の高校レベルの単語・熟語など

(ここでは省略します)

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解説の続きは、本日21時配信予定の

【高校英語】過去問攻略!センター英語
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2018年11月03日

本日配信のメルマガ。2017年センター英語第3問A 短い対話文

本日配信のメルマガでは、2017年大学入試センター試験英語第3問Aを解説します。


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■ 問題

第3問
A 次の問い(問1・問2)の会話の[ 27 ]・[ 28 ]に入れるのに最も適当なものを、
それぞれ下の{1}〜{4}のうちから一つずつ選べ。

問1
Student: Do you have time later today to check the draft of my speech?
Teacher: No, I'm afraid I don't have time today. I have several
appointments this afternoon.
Student: I see. Well.... [ 27 ]
Teacher: Yes. And please send it to me by email so I can read it before
you come.
{1} Are you sure you can skip the appointments?
{2} Could I come to your office after school tomorrow?
{3} Shall I make an appointment with you for today?
{4} Would you kindly give me the draft to look at?

問2
Ken: How about going to Memorial Park this weekend?
Ethan: How far is it from here?
Ken: Well, it takes about two hours by express train.
Ethan: Oh, that's a bit far. How much is it to get there?
Ken: About 6,000 yen. But I've heard it's really beautiful.
Ethan: I know, but [ 28 ]. Let's find somewhere else to go.
{1} I don't feel like going out
{2} it helps us to get there
{3} that's much too expensive
{4} we can't miss this chance


※マーク部分の□や下線部は[ ]で、マル1は{1}で表記しています。

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■ 解答・解説

2017年の第3問Aは、対話文の空所を埋める問題でした。
2018年はこの形式の問題は、なくなりました。
話の流れをちゃんと理解すれば特に難しくはありませんが、直前や直後だけを
見て答えると間違いやすいです。

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

問1
Student:今日後ほど、私のスピーチの原案をチェックしてもらう時間は
ありますか?
Teacher:いや、残念ながら今日は時間がありません。今日の午後にいくつか
約束があります。
Student:わかりました。ええと・・・[ 27 ]
Teacher:はい。そしてあなたが来る前に私が読めるように、電子メールでそれを
送ってください。

選択肢は次のような意味です。

{1} 本当にあなたは約束をすっぽかすことができるのですか?
{2} 明日の・・・


(以下略)


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■ 全文訳(基本的に直訳ですが、一部意訳しています)

今回は省略します。

(続きは http://www.mag2.com/m/0001641009.html でご覧ください)

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■ 今回の高校レベルの単語・熟語など

(ここでは省略します)

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解説の続きは、本日21時配信予定の

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2018年11月02日

本日配信のメルマガ。2013年センター数学2B第1問[2] 指数・対数

本日配信のメルマガでは、2013年大学入試センター試験数学2B第1問[2]を解説します。


【高校数学】読むだけでわかる!センター数学の考え方
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リクエスト等ございましたら、mm@a-ema.comまでお知らせください。


■ 問題

第1問

[2] 連立方程式

  {x+y+z=3
(*) {2^x+2^y+2^z=35/2
  {1/2^x+1/2^y+1/2^z=49/16

を満たす実数x,y,zを求めよう。ただし、x≦y≦zとする。

 X=2^x,Y=2^y,Z=2^zとおくと、x≦y≦zによりX≦Y≦Zである。
(*)から、X,Y,Zの関係式

  {XYZ=[ソ]
  {X+Y+Z=35/2
  {XY+YZ+ZX=[タチ]/[ツ]

が得られる。

 この関係式を利用すると、tの3次式(t−X)(t−Y)(t−Z)は

(t−X)(t−Y)(t−Z)=t^3−(X+Y+Z)t^2
                    +(XY+YZ+ZX)t−XYZ
=t^3−(35/2)t^2+([タチ]/[ツ])t−[ソ]
=(t−1/2)(t−[テ])(t−[トナ])

となる。したがって、X≦Y≦Zにより

  X=1/2,Y=[テ],Z=[トナ]

となり、x=log[ニ]X,y=log[ニ]Y,z=log[ニ]Zから

  x=[ヌネ],y=[ノ],z=[ハ]

であることがわかる。


※分数は(分子)/(分母)、xの2乗はx^2、底がa真数がbの対数はlog[a]b、
マーク部分の□は[ ]で表記しています。

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■ 解説目次

 ◆1 指数と対数は表裏一体
 ◆2 対数の計算法則
 ◆3 設定の通りに置き換えてみる
 ◆4 指数の等式は対数に変換

(以下略)

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■ 解説

◆1,2は省略します。


 ◆3 設定の通りに置き換えてみる

では、今回の問題の設定を確認しましょう!

まずx,y,zに関しての連立方程式があります。

  {x+y+z=3
(*) {2^x+2^y+2^z=35/2
  {1/2^x+1/2^y+1/2^z=49/16

このようになっています。
そして、「X=2^x,Y=2^y,Z=2^zとおく」そうです。
このようにおくと、この連立方程式を別の形に書き換えることができます。
一つ一つ確認してみましょう。

まず、一番わかりやすいのが、真ん中の2^x+2^y+2^z=35/2ですね。
X=2^x,Y=2^y,Z=2^zなので、これらを置き換えると、

X+Y+Z=35/2

となります。


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 ◆4 指数の等式は対数に変換

次に1個目の式について考えてみましょう。

x+y+z=3を変形して、XYZの形にすることを目指します。

それには、「xをXに置き換える」「xを消去する」などの方向性で考えて
みましょう。

すると・・・


(以下略)


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