2019年06月14日

高校数学「2点間の距離」「軌跡」「三平方の定理」

高校数学「2点間の距離」「軌跡」「三平方の定理」

基本的な軌跡の問題では、移動する点Pを考えて、「AP=BP」の形で立式することがあります。
これを計算するためには、たいていは「AP^2=BP^2」とする必要があります。

「なぜ2乗しなければいけないのですか?」と質問すると、物知り顔で「そういうルールだから」「2乗したらマイナスがプラスになるから」などと苦し紛れの説明をする人もいますが、そんなアブない考えに基づいてではなく、必然的に2乗する必要があるので2乗するのです。

この記事では、なぜこの場合、2乗が必要なのか解説します。


まずはじめに当然ですが、APはAとPの距離、BPはBとPの距離を表します。

2点間の距離は、三平方の定理を使って表すことができます。
三平方の定理を使って表される辺の長さは、必然的に√がつきますね?
a^2+b^2=c^2だから、c=√(a^2+b^2)です。
詳しい座標等はここでは省略しますが、つまりは、AP=√●●,BP=√◆◆という形でAP,BPは表すことができます。

この形で表した2つの辺の長さが等しいのだから、

√●●=√◆◆

ですね。
この式を計算しようとして、移項してまとめようとしても、ルートの中身が違っている場合そのままでは計算できません。
計算するためには、いったん√を外す必要があります。
√を外すためには、両辺を2乗!です。

だから、AP=BPを計算するためには、両辺を2乗する必要がある。というわけです。


具体的な問題等の解説は後日掲載するかも知れません。リクエストがあればお気軽にどうぞ!

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ラベル:数学
posted by えま at 08:43| Comment(0) | 高校数学 | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする

書き換え英作文解答「助動詞」「比較」「最上級」「副詞」

書き換え英作文解答「助動詞」「比較」「最上級」「副詞」


ここは「He swims fast.」の書き換え英作文の解答ページです。


直接このページに来た人はまずは問題ページへgo!





He swims fast.


@「彼はとても速く泳ぐことができます」という意味に→「とても速く」→「very fast」、「〜できます」→「can」助動詞の後の動詞は原形にする
He can swim very fast.
など


A「彼は私よりも速く泳ぐことができます」という意味に→比較級にする。「私よりも」は「than me」など
He can swim faster than me.
など


B「彼は世界で一番速く泳ぐことができます」という意味に→最上級にする。「世界で」は「in the world」が基本
He can swim the fastest in the world.
など


C「彼ほど速く泳げる人はいません」という意味に→「彼と同じくらい速く泳げる人は誰もいない」と考えて、
No one can swim as fast as he does.
など


D「彼は朝早く泳ぎます」という意味に→「早い」は「early」。「速い」と「早い」の違いを意識して表現してください。
He swims early in the morning.
など


さらに詳しい解説や、他の解答例がほしい方は、えまじゅくのメール添削をご利用ください。

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ラベル:英語
posted by えま at 00:44| Comment(0) | 書き換え英作文 | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする

2019年06月13日

高校数学「因数定理」「2次式で割った余り」

高校数学「因数定理」「2次式で割った余り」

整式P(x)=x^3+ax^2+bx+1をx^2+x−2で割った余りが−2x+3であるとき、定数a,bの値を求めよ。

この問題の場合、割る数が2次式なので因数定理や剰余の定理は使えない・・・と思うかも知れませんね。
確かに、因数定理や剰余の定理は、1次式で割った場合の余りがわかる定理です。2次式では直接的には使えません。
ならば、使えるように式を立ててみれば良いのではないか?と考えられると良いです。

この場合の割り算の関係を、商をQ(x)として方程式に表すと、

P(x)=(x^2+x−2)・Q(x)−2x+3

となりますね。
因数分解すると、

P(x)=(x+2)(x−1)・Q(x)−2x+3

こうなります。
これならば、剰余の定理が仕えそうですね!?

(x+2)(x−1)・Q(x)の部分は、x=1やx=−2のときゼロになってしまうので、そのときの余りが求められるというわけです。

P(1)=−2+3=1
P(−2)=−2×(−2)+3=4+3=7

また、与式から、P(1)=1+a+b+1=a+b+2
P(−2)=−8+4a−2b+1=4a−2b−7

という式が得られます。P(1)はP(1)同士、P(−2)はP(−2)同士等しいに決まってるので、

P(1)=a+b+2=1
      a+b=1−2
      a+b=−1

P(−2)=4a−2b−7=7
       4a−2b=7+7
       4a−2b=14

aとbについての式が2つできたので、連立して解けばa,bの値を求めることができます。

計算すると、a=2,b=−3が得られます。


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ラベル:数学
posted by えま at 23:22| Comment(0) | 高校数学 | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする

書き換え英作文問題「助動詞」「比較」「最上級」「副詞」

書き換え英作文問題「助動詞」「比較」「最上級」「副詞」

指示に従って書き換えてください。

He swims fast.

@「彼はとても速く泳ぐことができます」という意味に


A「彼は私よりも速く泳ぐことができます」という意味に


B「彼は世界で一番速く泳ぐことができます」という意味に


C「彼ほど速く泳げる人はいません」という意味に


D「彼は朝早く泳ぎます」という意味に


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解答解説はここ
ラベル:英語
posted by えま at 18:30| Comment(0) | 書き換え英作文 | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする

高校数学「3乗の展開」

高校数学「3乗の展開」

(a−3b)^3を展開することを考えます。

3乗の展開の公式は、

(a+b)^3=a^3+3a^2・b+3ab^2+b^3

ですね。

間がマイナスの場合は、

(a−b)^3=a^3−3a^2・b+3ab^2−b^3

に代入する。と考えるのがノーマルです。
これに、a=a,b=3bを代入すると、

(a−3b)^3=a^3−3a^2・3b+3a(3b)^2−(3b)^3
      =a^3−9a^2・b+27ab^2−27b^3

このように展開することができます。
これがわかりにくい人は、
(a+b)^3=a^3+3a^2・b+3ab^2+b^3に、a=a,b=−3bを代入すると考えてもよいです。

(a−3b)^3=a^3+3a^2(−3b)+3a(−3b)^2+(−3b)^3
      =a^3−9a^2・b+27ab^2−27b^3

この方が公式を使い分けなくてよいので、個人的にはこちらの方が簡単だと思います。
どちらでも展開した結果は同じなので、まずは自分にとって理解しやすい方法を選んでマスターしていきましょう!


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ラベル:数学
posted by えま at 08:48| Comment(0) | 高校数学 | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする

2019年06月12日

書き換え英作文解答「過去形」「進行形」「関係代名詞」

書き換え英作文解答「過去形」「進行形」「関係代名詞」


ここは「I read a book.」と「I borrowed a book.」の書き換え英作文の解答ページです。


直接このページに来た人はまずは問題ページへgo!





I read a book.(私は本を読みます)

@yesterdayを加えて過去形に→readの過去形はread
I read a book yesterday.(私は昨日本を読みました)


Anowを加えて現在進行形に→be動詞+〜ingの形にする。be動詞は現在形に
I am reading a book now.(私は今本を読んでいます)


I borrowed a book.(私は本を借りました)

@「私は図書館から本を借りました」という意味に→「図書館から」は「from the library」普通は行きつけの最寄りの図書館に行くはずなので、「the library」
I borrowed a book from the library.
など


A「これは私が図書館から借りた本です」という意味に→「図書館から借りた」が「本」の修飾語になる
This is the book that I borrowed from the library.
など


B「私は図書館から借りた本を読んでいます」という意味に→まず「私は本を読んでいます」と言う。どんな本かといえば「私が図書館から借りた本」となるので
I am reading a book which I borrowed from the library.
など


さらに詳しい解説や、他の解答例がほしい方は、えまじゅくのメール添削をご利用ください。

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ラベル:英語
posted by えま at 23:31| Comment(0) | 書き換え英作文 | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする

小学算数「等差数列の和」

小学算数「等差数列の和」

6,10,14,18,22,26,30
この数列の数を全て加えると、その和はいくつになりますか。

中学受験レベルの場合、小学算数でも数列を扱う場合があります。
中学受験向けの問題集などには、

「等差数列の和=(最初の数+最後の数)×個数÷2」

のように、公式として書いてある場合が多いです。
もちろん公式として覚えて当てはめれば正解は出せるので、それはそれでかまわないのですが、どうしてそんな式になるかを覚えておいた方が何かと応用が利きます。

等差数列は一定の増え方をしていくので、「(最初の数+最後の数)÷2」をすると平均になります。

平均がわかれば、「平均×個数=合計」ですね。
つまり、

(最初の数+最後の数)÷2×個数=等差数列の和

だから、

「等差数列の和=(最初の数+最後の数)×個数÷2」

ということができます。


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本日配信のメルマガ。2019年センター英語第6問完成

本日配信のメルマガでは、2019年大学入試センター試験英語第6問を解説します。


【高校英語】過去問攻略!センター英語
http://www.mag2.com/m/0001641009.html


■ 問題

第6問 次の文章を読み、下の問い(A・B)に答えよ。なお、文章の左にある
(1)〜(6)はパラグラフ(段落)の番号を表している。

(1) From quiet paths by a stream in a forest to busy roads running through
a city, people have created various forms of routes in different places.
These now exist all around us, and their use is [imperative] for societies.
These routes have enabled people to move, transport things, and send
information from one place to another quickly and safely. Throughout
history, they have been important in our daily lives.

(2) Early routes were often formed naturally on land. They gradually
developed over long periods of time while people traveled them on foot or
horseback. A significant turning point in their history arrived when the
first wheeled carts appeared in ancient times. Once this happened, people
recognized the importance of well-maintained routes. Therefore, towns,
cities, and entire countries improved them in order to prosper. As a
result, life become more convenient, communities grew, economies evolved,
and cultures expanded. The importance of land routes increased further,
especially after the appearance of automobiles.

(3) People have established routes on water, too. Rivers and canals have
served as effective routes for people to move around and carry things. For
instance, in the old Japanese city of Edo, water routes were used for the
transportation of agricultural products, seafood, and wood, which supported
the city's life and economy. People have also opened routes across the sea.
The seaways, which developed based on winds, waves, water depths, and
coastline geography, were critical for the navigation of ships,
particularly in the days when they moved mainly by wind power. Using these
sea routes, people could travel great distance and go to places they had
not previously been able to reach. A number of important sea routes
emerged, leading to the exchange of natural resources, products and idea.
This, in turn, helped cities and towns thrive.

(4) People have gone on to open routes in the sky as well. Since the
invention of the airplane, these routes have made it possible for people
to travel long distances easily. They found the best routes by considering
conditions such as winds and air currents. Eventually, people became able
to travel safely and comfortably high in the sky, and going vast distances
only took a small amount of time. In fact, people used to need more than
one month to travel to Europe from Japan by ship, whereas today they can
travel between them in a single day by airplane. Owing to the establishment
of these sky routes, a great number of people now travel around the world
for sightseeing, visiting friends, and doing business.

(5) Today, we have a new type of route, the Internet, which specializes in
the electronic exchange of information. By using this worldwide route,
people can easily obtain information that once was available mainly from
books and face-to-face communication. They can also instantly send messages
to large numbers of people all at once. According to one study, more than
3.5 billion people, which is about half of the global population, have
access to this electronic route today. As technology advances, more and
more people will take advantage of this route to gather information and
communicate.

(6) As long as there have been people, there have been routes to connect
them. These have contributed not only to the movement of people, things,
and information, but also to the development of our communities, economies,
and cultures. Routes have played significant roles in the development and
prosperity of humankind. Currently unknown routes will surely take us even
further in the future.


A 次の問い(問1〜5)の[ 46 ]〜[ 50 ]に入れるのに最も適当なものを、
それぞれ下の{1}〜{4}のうちから一つずつ選べ。

問1 Which of the following is closest to the meaning of the underlined
word [imperative] in paragraph (1)? [ 46 ]

{1} accidental
{2} essential
{3} industrial
{4} traditional

問2 According to paragraph (2), which of the following statements is
true? [ 47 ]

{1} Early routes were created by people who traveled by wheeled carts.
{2} People's first routes on land followed the growth of towns and cities.
{3} The development of land routes led to progress in many areas of society.
{4} The improvement of routes resulted in the invention of the automobile.

問3 Why is the example of Edo introduced in paragraph (3)? [ 48 ]

{1} To describe the difficulty of creating routes on the water
{2} To emphasize the fact that it was an important city
{3} To explain the use of water routes to move along the coastlines
{4} To illustrate the important roles of water routes for cities

問4 What does paragraph (5) tell us about routes? [ 49 ]

{1} Routes can be thought of as existing invisibly in the world.
{2} Routs that move information can be regarded as dangerous.
{3} The fundamental functions of routes are declining.
{4} The importance of different kinds of routes is the same.

問5 What is the main point of this article? [ 50 ]

{1} Humankind first created various types of convenient routs on land.
{2} Improvements in transportation have come at great cost.
{3} Technology has interfered with opening up routes around the world.
{4} The advancement of humanity was aided by the development of routes.


※マーク部分の□は[ ]で、マル1は{1}で表記しています。

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■ 解答・解説

2019年も、第6問は長文読解でした。

まずはスラッシュリーディングで本文の内容を確認してみましょう!

(1) From quiet paths / by a stream / in a forest / to busy roads
/ running through a city, / people have created / various forms / of routes
/ in different places.
静かな小道から / 小川のそばの / 森の中の / 交通量の多い道への
/ 都市を通り抜ける / 人々は創造してきた / 様々な形を / 道の
/ 様々な場所で

These now exist / all around us, / and / their use is
/ [imperative] / for societies.
これらは今存在している / 私たちの周り中に / そして / その利用は
/ [imperative]である / 社会にとって

These routes / have enabled people / to move, / transport things,
/ and / send information / from one place to another / quickly and safely.
これらの道は / 人々を可能にする / 動くことを / 物を運ぶことを
/ そして / 情報を送ることを / ある場所から別の場所へ / 素早く安全に

Throughout history, / they have been important / in our daily lives.
歴史上ずっと / それらは重要だった / 私たちの日常生活において

今回は「route」についての話のようです。
道についての基本的な情報を述べていますね。


ここで下線部[imperative]が出てきたので・・・


(以下略)


(有料版では、解説の続きや語句コーナー、解答一覧も掲載しています)
 http://www.mag2.com/m/0001641009.html


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■ 全文訳(基本的に直訳ですが、一部意訳しています)

(1) ある都市の中を走る交通量の多い道路へ続く、森の中の小川のそばの静かな
小道から、人々は様々な場所に、様々な形の道を作ってきました。これらは今…

(以下略)

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■ 今回の高校レベルの単語・熟語など

(1)
path:route, road, wayなどの類義語。「道、小道」
stream:riverの小さいやつ。「小川、流れ」
various:バラエティ番組はvariousな企画がある番組のはず。「様々な」
form:fromと見間違えないように!「フォーム、形」

(以下略)

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解説の続きは、本日21時配信予定の

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