2025年04月11日

高校数学「場合の数」「同じものを含む順列」7個の数字を並べるB

高校数学「場合の数」「同じものを含む順列」7個の数字を並べるB

■ 問題

1,1,1,2,2,3,3の7個の数字を一列に並べる。このとき、次の問いに答えよ。

(1) 並べ方は全部で何通りあるか?

(2) 1が2個だけ隣り合う並べ方は何通りあるか?

(3) どの数字も同じ数字は隣り合わない並べ方は何通りあるか?


↓(3)の解答解説はお知らせの下に↓


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10秒でわかる!高校数学1A「場合の数・確率」の考え方

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■ 解答解説

「どの同じ数字も隣り合わない」ためには、例えば「同じ数字を並べて、その間に別の数字を入れる」という考えができます。

いくつかの考え方ができますが、まずは1を3つ並べて、間に2,3を入れる方式で考えてみます。

 1 1 1
^ ^ ^ ^
@ A B C
 
1が連続しないために、他の数字を入れることができる場所は以上の4ヶ所があります。

(i)4ヶ所に数字を1つずつ入れるとき
2と3の入れ方は何でもいいので、4!/(2!・2!)=6通り

(ii) 4ヶ所のうち3ヶ所に数字を入れるとき
3ヶ所の選び方は、1が連続しないためには、@ABかABCの2通り。
そのうち1ヶ所は23または32で、その場所の選び方は3通り。
残りの2ヶ所に入る数字は2,3か3,2
よって、2×2×3×2=24通り

(iii) 4ヶ所のうち2ヶ所に数字を入れるとき
2ヶ所の選び方は、ABのみ。
その2ヶ所の数字の入れ方は、2個&2個または3個&1個。
2個ずつの場合は、どちらも23,23で、それぞれ2通りの並べ方があるので、2×2=4通り。
3個と1個の場合は、3個は232か323で、残り1個は自動的に決まります。そして、AとBのどちらに3個が入るかが2通りあります。
つまりこの場合、2×2=4通り。

全部合計すると、6+24+4+4=38通りです!


この問題の最初に戻る→全部で何通り?






◆関連項目
確率まとめ


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ラベル:数学
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2025年04月10日

高校英語「文型」文型の分析の練習問題B

高校英語「文型」文型の分析の練習問題B


◆問題

例にならってSVOCを示し、和訳をしてください。
例:
The kings of France used every means.
→S[The kings of France] V[used] O[every means] .
「フランスの王たちはあらゆる手段を使った。」

@The library should let people know more about what it can provide.

AThe library always closes too early for us.

BIt isn't open even on weekends.

CWhat kind of responses did you get?

DStudents can make us requests to buy books.


類似の問題はプロ家庭教師・翻訳者が教える「最重要ポイントだけ」高校英文法問題集(前編)にも掲載されています。
よかったらご利用ください。


◆解説

今回は第1から第5文型の5種類の文を用意してみました。
それぞれの文型の特徴などは、以下の記事を参考にしてください。
第1文型SV第2文型SVC第3文型SVO第4文型SVOO第5文型SVOC
文型まとめ


@S[The library] V[should let] O[people] C[know more about what it can provide]. 第5文型SVOC
「図書館は人々に、それが何を提供できるかもっと知らせるべきです」
letは使役動詞で「let 人 do」の形で「人に〜させる」などの意味を表します。
※関連項目→原形不定詞

AS[The library] always V[closes] too early for us. 第1文型SV
「その図書館はいつも、私たちには閉まるのが早すぎます」
too early for usは副詞であり修飾語なので、文型には影響しません。

BS[It] V[isn't] C[open] even on weekends. 第2文型SVC
「それは週末には開いてさえいません」
be動詞の文は「S=C」の構造になり、SVCになることが多いです。

CO[What kind of responses] did S[you] V[get]? 第3文型SVO
「あなたはどんな種類の反応を得ましたか?」
疑問詞は文頭に置きますが、この場合は動詞getの対象になっているので目的語Oになります。
また、助動詞は動詞とセットでVと考えることができます。

DS[Students] V[can make] O[us] O[requests] to buy books. 第4文型SVOO
「学生は私たちに本を買うようリクエストをすることができます」
usとrequestは別の内容なので、どちらもOと考えられます。


和訳(と文型の分析)はあくまで一例です。
ここに示したものが唯一絶対の見方というわけではありません。
また、文章の理解のためには、SVさえしっかりわかっていればそれほど問題ないと思います。






このブログの記事をもとに、新しい書籍を出版する予定です。ご意見・ご要望などありましたら、何でもお気軽にご連絡ください


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ラベル:英語
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高校数学「場合の数」「同じものを含む順列」7個の数字を並べるA

高校数学「場合の数」「同じものを含む順列」7個の数字を並べるA

■ 問題

1,1,1,2,2,3,3の7個の数字を一列に並べる。このとき、次の問いに答えよ。

(1) 並べ方は全部で何通りあるか?

(2) 1が2個だけ隣り合う並べ方は何通りあるか?


↓(2)の解答解説はお知らせの下に↓


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■ 解答解説

「1が2個だけ隣り合う」ので、残りは何でも良いです。
ただし、残り5個の数字を全部ランダムに並べてしまうと、1が3個隣り合う場合も含んでしまうので、少し工夫が必要です。

まず、2と3の4個の数字の並べ方を考えます。
これは(1)と同様に「同じものを含む順列」ですね。

 4!/(2!・2!)
=(4・3・2・1)/(2・1・2・1)
=2・3
=6通り

これら4つの数字の間に「11のかたまり」と「単独の1」を入れると考えれば、1が3つ連続してしまう場合を除外して、効率よく数えることができます。

 ○ ○ ○ ○
^ ^ ^ ^ ^

11または1を入れることができる場所は5ヶ所ありますね。
この中から2ヶ所に11と1を入れます。11と1は逆パターンは別の場合になるから、Pで計算します。

52=5・4=20通り

これらは同時に起こるのでかけ算して、

6×20=120通り


次の問題→同じ数字が隣り合わないとき






◆関連項目
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ラベル:数学
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高校数学「場合の数」「同じものを含む順列」7個の数字を並べる@

高校数学「場合の数」「同じものを含む順列」7個の数字を並べる@

■ 問題

1,1,1,2,2,3,3の7個の数字を一列に並べる。このとき、次の問いに答えよ。

(1) 並べ方は全部で何通りあるか?


↓解答解説はお知らせの下に↓


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■ 解答解説

いわゆる「同じものを含む順列」ですね。
全部で7個の数字があり、1が3個、2と3が2個ずつなので、

7!/(3!・2!・2!)

これで求める場合の数がわかります。

 (7・6・5・4・3・2・1)/(3・2・1・2・1・2・1)
=7・6・5
=210

よって、210通りの並べ方があります。


次の問題→1が2個だけが隣り合うとき






◆関連項目
確率まとめ


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ラベル:数学
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2025年04月09日

本日配信のメルマガ。2025年共通テスト英語第7問 本文最後までの和訳

本日配信のメルマガでは、2025年大学入学共通テスト英語第7問の本文最後までの和訳を掲載します。


【高校英語】共通テストの英文解釈
http://www.mag2.com/m/0001641009.html


■ 問題

2025年大学入学共通テストより

第7問

You are preparing a presentation for a science project on animal habits.
You found some interesting information in the article below and are now
making your outline.

┌────────────────────────────────────┐
|           [Animal Sleep Patterns]              |
|                                    |
| If you ever spend all day at home, you might notice that your pet cat |
|sleeps a lot during the day and is quite active in the evening and early|
|morning. Humans, on the other hand, are awake during most of the     |
|daylight and evening hours and then sleep for a long time at night.   |
| Sleep is essential for animals' physical and mental health, and for  |
|their bodies to function efficiently. For animals with brains and    |
|central nervous systems, sleep is generally defined as an altered state |
|of consciousness characterized by specific body positions, closed eyes, |
|a general decrease in physical activity, and slower response rates.   |
|Sleep also gives the brain neurons a chance to reset, and the body    |
|becomes energized. Most creatures experience states of sleep, but the  |
|types and patterns differ from species to species.           |
| Different sleep patterns over a 24-hour cycle have been identified in |
|various types of animals. Three common patterns are called monophasic, |
|biphasic, and polyphasic. Monophasic sleep, experienced by humans and  |
|many larger animals, happens when one is awake and active for many    |
|hours, and then one sleeps for an extended period. Some birds, insects, |
|and mammals utilize a kind of biphasic sleep, where the animal has two |
|waking and sleeping times, with one sleep being long and the other like |
|a nap. Dogs and cats are polyphasic, meaning they have four to six    |
|sleeping and waking periods throughout the day.             |
| There are variations in sleep patterns depending on the animal's size,|
|physical needs, and diet. Smaller animals such as squirrels or mice tend|
|to use up their energy by moving quickly and frequently. This results in|
|the need to sleep more often but for shorter periods of time. Lions are |
|carnivorous animals and have longer sleeping times because their food  |
|sources satisfy their hunger for longer periods. Large herbivores like |
|wild horses, on the other hand, sleep less than meat-eating animals   |
|because their plant-based diet has relatively few calories, resulting in|
|the need to spend most of their time searching for food.        |
| Safety is another variable in sleep patterns. Animals that can create |
|safe spaces tend to enjoy longer periods of sleep, but those that might |
|need to stay alert sleep less. Apes sleep on platforms, high above the |
|jungle floor, which keep them away from attackers. Some smaller animals |
|such as rabbits create shelters by digging into the ground where it is |
|difficult for predators to find them. As a result, they feel safer and |
|sleep longer. In contrast, elephants often travel long distances and may|
|feel exposed to danger from hunters or other animals, contributing to  |
|their short sleeping times.                       |
| The animal sleep patterns discussed so far tend to be typical. A    |
|pattern that may be less easily noticed in our daily lives is called   |
|unihemispheric sleep. In this type of sleep, some animals traveling in a|
|group keep one eye open. While one side of the animal's brain sleeps,  |
|the other side stays awake and alert to its surroundings. In this way, |
|the animal can experience the reviving effects of sleep while also    |
|watching out for threats. This unihemispheric sleep occurs in some bird |
|species when they are flying long distances in groups. Birds flying at |
|the outer edge of the group use this type of sleep to help protect the |
|other members that sleep with both eyes closed.             |
| Besides the types of sleep explained above, there are patterns that  |
|can be considered to be sleep-like activities. Hibernation, which can be|
|observed in black bears, is a long, inactive period when food is scarce |
|or the weather is severe. During this time, the animal's body      |
|temperature drops, its heart rate and breathing slow down, and it may  |
|appear dead. Creatures such as jellyfish that have no central nervous  |
|system also experience times of extreme relaxation where they remain in |
|a less responsive state.                        |
| As shown above, sleep plays an important role in the lives of animals |
|and it is much more complex than simply closing the eyes.        |
└────────────────────────────────────┘


つづく


※一部図や記号は省略または類似のものに変更、文章のレイアウトも一部変更、
マーク部分の□や下線部は[ ]、マル1は{1}で表記しています。

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■ スラッシュリーディング

You are preparing a presentation / for a science project / on animal habits.
あなたは発表の用意をしている / ある科学プロジェクトの / 動物の習性についての

You found / some interesting information / in the article below
/ and are now making your outline.
あなたは見つけた / 面白い情報を / 下の記事の中に
/ そして今アウトラインを作っている


Animal Sleep Patterns 動物の睡眠パターン

 If you ever spend all day / at home, / you might notice that
/ your pet cat sleeps a lot / during the day / and is quite active
/ in the evening and early morning.
もしあなたが一日中過ごしたら / 家で / あなたは〜に気付くかも知れない
/ あなたのペットがたくさん眠ることを / 日中 / そして非常に活動的だ
/ 夜や早朝に

Humans, / on the other hand, / are awake / during most of the daylight
/ and evening hours / and then sleep / for a long time / at night.


(以下略)


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解説の続きは、本日21時配信予定の

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