2017年の問題は、3月頃配信スタート予定です。
■ 問題
2015年センター試験数２Ｂより
第１問
[ 1 ] Ｏを原点とする座標平面上の２点Ｐ(２ｃｏｓθ，２ｓｉｎθ)，
Ｑ(２ｃｏｓθ＋ｃｏｓ７θ，２ｓｉｎθ＋ｓｉｎ７θ)を考える。
ただし、π／８≦θ≦π／４とする。
(1) ＯＰ＝[ア]，ＰＱ＝[イ]である。また
ＯＱ^2＝[ウ]＋[エ](ｃｏｓ７θｃｏｓθ＋ｓｉｎ７θｓｉｎθ)
＝[ウ]＋[エ]ｃｏｓ([オ]θ)
である。
よって、π／８≦θ≦π／４の範囲で、ＯＱはθ＝π／[カ]のとき最大値√[キ]
をとる。
(2) ３点Ｏ，Ｐ，Ｑが一直線上にあるようなθの値を求めよう。
直線ＯＰを表す方程式は[ク]である。[ク]に当てはまるものを、次の{0}〜{3}の
うちから一つ選べ。
{0} (ｃｏｓθ)ｘ＋(ｓｉｎθ)ｙ＝０ {1} (ｓｉｎθ)ｘ＋(ｃｏｓθ)ｙ＝０
{2} (ｃｏｓθ)ｘ−(ｓｉｎθ)ｙ＝０ {3} (ｓｉｎθ)ｘ−(ｃｏｓθ)ｙ＝０
このことにより、π／８≦θ≦π／４の範囲で、３点Ｏ，Ｐ，Ｑが一直線上に
あるのはθ＝π／[ケ]のときであることがわかる。
(3) ∠ＯＱＰが直角となるのはＯＱ＝√[コ]のときである。したがって、
π／８≦θ≦π／４の範囲で、∠ＯＱＰが直角となるのはθ＝([サ]／[シ])πの
ときである。
※分数は(分子)／(分母)、ｘの２乗はｘ^2、マーク部分の□は[ ]で表記して
います。
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■ 解説目次
◆１ まずは問題文を良く読もう
◆２ ２点間の距離は三平方の定理
(以下略)
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■ 解説
◆１ まずは問題文を良く読もう
全ての問題に共通しますが、まずは問題文を良く読んで条件を確認し、わかって
いること、わかっていないことを良く整理してください。
この問題をちょっとでも読めば、θとかπとかｓｉｎ，ｃｏｓなどと言っている
ので、三角関数の問題であることがわかります。
半径が１の円周が２πなので、２π＝３６０°→π＝１８０°です。
慣れないうちはπは角度に変換して考えるとわかりやすいはずです。
問題文には、「Ｏを原点とする座標平面上の２点Ｐ(２ｃｏｓθ，２ｓｉｎθ)，
Ｑ(２ｃｏｓθ＋ｃｏｓ７θ，２ｓｉｎθ＋ｓｉｎ７θ)を考える。
ただし、π／８≦θ≦π／４とする。」
とあります。
点Ｐと点Ｑが座標平面上のどこかにあって、その座標がサインやコサインで表され
θの範囲はπ／８からπ／４、つまり、２２．５°から４５°である。という
わけですね！
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◆２ ２点間の距離は三平方の定理
まずはＯＰとＰＱの長さを聞いています。
これは要するに「２点間の距離」です。
２点間の距離を求めるには、三平方の定理を応用して、
★ ｌ＝√{(ｘ2−ｘ1)^2＋(ｙ2−ｙ1)^2}
という式で求められます。
つまりは、「ｘ座標の差を横、ｙ座標の差を縦とする直角三角形の斜辺」という
ことです。
では、実際にやってみましょう！
Ｏは原点、Ｐ(２ｃｏｓθ，２ｓｉｎθ)なので、
ＯＰ＝√{(２ｃｏｓθ)^2＋(２ｓｉｎθ)^2}
＝√{４(ｃｏｓθ)^2＋４(ｓｉｎθ)^2}
＝√４{(ｃｏｓθ)^2＋(ｓｉｎθ)^2}
ここで、数学１でも登場した三角比の相互関係を用います。
★ (ｓｉｎθ)^2＋(ｃｏｓθ)^2＝１なので、√の中が一気に簡単になります。
＝２√１
＝２
よって、[ア]＝２
(以下略)
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