高校物理「力学」「惑星の運動」「運動方程式」「ケプラーの第３法則」

高校物理「力学」「惑星の運動」「運動方程式」「ケプラーの第３法則」

惑星が、太陽のまわりを等速円運動しているとする。太陽の質量をＭ，惑星の質量をｍ，惑星の公転の速さをｖ，軌道半径をｒ，万有引力定数をＧとする。

(1) 惑星の等速円運動の運動方程式を示せ。

(2) (1)の運動方程式を用いて、ケプラーの第３法則Ｔ²／ｒ³＝ｋを導け。ただし、Ｔは公転周期、ｋは定数とする。

(1)で、「ＧＭ＝ｖ²ｒ」を求めました。

この式を利用して、ケプラーの第３法則を導きます。

惑星の速さをｖとすると、等速円運動の公式から、Ｔ＝２πｒ／ｖという関係式が得られます。
これをｖについて解いて、「ＧＭ＝ｖ²ｒ」に代入すれば、まずはｖを消去することができます。
やってみましょう！

Ｔ＝２πｒ／ｖより、ｖ＝２πｒ／Ｔ

ＧＭ＝(２πｒ／Ｔ)²・ｒ
ＧＭ＝(４π²・ｒ²／Ｔ²)・ｒ
ＧＭ＝(４π²・ｒ³／Ｔ²)

両辺に、Ｔ²／ｒ³を掛けると、

ＧＭ(Ｔ²／ｒ³)＝４π²
　　Ｔ²／ｒ³＝４π²／ＧＭ

４π²／ＧＭ＝ｋとすると、

Ｔ²／ｒ³＝ｋ

ということで、ケプラーの第３法則Ｔ²／ｒ³＝ｋを導くことができました。


(1)に戻る→惑星の等速円運動の運動方程式


円運動まとめ


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