高校数学「積分」ｙ＝ｘ2＋ｘとｙ＝２で囲まれた図形の面積

高校数学「積分」ｙ＝ｘ²＋ｘとｙ＝２で囲まれた図形の面積

■　問題

ｙ＝ｘ²＋ｘとｙ＝２で囲まれた図形の面積を求めよ。


解答解説はこのページ下です。

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■　解答解説

ｙ＝ｘ²＋ｘとｙ＝２で囲まれた図形の面積

放物線とｘ軸に平行な直線の間の図形の面積を考えます。

この放物線は下に凸なので、放物線が下、直線が上となります。
つまり面積は、「直線−放物線で定積分」で求めることができます。

積分の区間を求めるために、まずはこれら２つの関数の共有点を求めましょう。
関数の交点なら連立方程式ですね。

ｘ²＋ｘ＝２
ｘ²＋ｘ−２＝０
(ｘ＋２)(ｘ−１)＝０
よって、ｘ＝−２，１

つまり、−２〜１の区間で定積分を計算すれば、それが面積になる。というわけです。

Ｓ＝∫[-2〜1](２−ｘ²−ｘ)ｄｘ
　＝[−(１／３)ｘ³−(１／２)ｘ²＋２ｘ][-2〜1]
　＝−(１／３)−(１／２)＋２−{−(１／３)・(−２)³−(１／２)・(−２)²＋２・(−２)}
　＝−１／３−１／２＋２−(８／３−２−４)
　＝−１／３−８／３−１／２＋２＋６
　＝−３−１／２＋８
　＝９／２


◆関連項目
ｙ＝ｘ²＋ｘ−４とｙ＝３ｘ−１で囲まれた図形の面積
微分積分(数学２)まとめ

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