高校数学「微分」３次方程式２ｘ3＋３ｘ2−１２ｘ−ａ＝０の解の個数と範囲�@

高校数学「微分」３次方程式２ｘ³＋３ｘ²−１２ｘ−ａ＝０の解の個数と範囲�@


◆問題

３次方程式２ｘ³＋３ｘ²−１２ｘ−ａ＝０について次の問いに答えよ。

(1) この３次方程式が異なる３つの解をもつようなａの値の範囲を求めよ。

(2) この３次方程式が異なる２個の正の解と１個の負の解をもつように、定数ａの値を定めよ。


↓(1)の解答解説はお知らせの下↓

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◆解答解説

(1) この３次方程式が異なる３つの解をもつようなａの値の範囲を求めよ。

前回の問題でも書いたとおりですが、

方程式の実数解は、関数ｙ＝ｆ(ｘ)のｘ軸との交点により求めることができます。
だから、ｘ軸との共有点の個数が実数解の個数と等しくなります。

３次関数とｘ軸との共有点の個数は、極値とｘ軸との位置関係により決まる。ということができます。

極値を使うのだから、まずは微分→増減表ですね！

ｆ(ｘ)＝２ｘ³＋３ｘ²−１２ｘ−ａとおくと、
ｆ'(ｘ)＝６ｘ²＋６ｘ−１２

ｆ'(ｘ)＝０のとき極値だから、

６ｘ²＋６ｘ−１２＝０
　ｘ²＋ｘ−２＝０
　　　(ｘ＋２)(ｘ−１)＝０
よって、ｘ＝−２，１

そして増減表です。

ｘ	…	−２	…	１	…
ｙ'	＋	０	−	０	＋
ｙ	↗	極大	↘	極小	↗

極値を求めていきます。

ｆ(−２)＝２(−２)³＋３(−２)²−１２(−２)−ａ
　　　＝−１６＋１２＋２４−ａ
　　　＝２０−ａ

ｆ(１)＝２＋３−１２−ａ
　　＝−７−ａ

つまり、極大値はｘ＝−２で２０−ａ，極小値はｘ＝１で−７−ａです。

まず、解を３つもつためには、極大値がプラス、極小値がマイナスです。
つまり、

２０−ａ＞０
　　−ａ＞−２０
　　　ａ＜２０

−７−ａ＜０
　　−ａ＜７
　　　ａ＞−７

よって、−７＜ａ＜２０のとき、この３次方程式は異なる３つの解をもつ。
ことがわかりました！


次の問題→正の解２個と負の解１個をもつとき


◆関連項目
３次方程式ｘ³＋４ｘ²−３ｘ＋ａ＝０の異なる実数解の個数
微分積分(数学２)まとめ


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