◆問題
次の関数を微分せよ。ｙ＝(ｘ2＋２)3(ｘ－３)5
このように、式が複雑な場合は、「対数微分法」を使うと微分しやすい場合があります。
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１０秒でわかる高校数学３「微分」基本問題の考え方
◆解答解説
対数微分法とは、まず両辺の自然対数をとり、その対数を微分するという方法です。
まずは両辺の対数をとると、
ｌｏｇ|ｙ|＝ｌｏｇ|(ｘ2＋２)3(ｘ－３)5|
ですね。
単にｌｏｇをつけただけです。底はｅで正の数なので、真数は正の数になります。
だから、整式の対数の場合は、絶対値をつけるのが原則です。
そして、右辺を対数の計算法則に従って変形します。
ｌｏｇ|ｙ|＝ｌｏｇ|(ｘ2＋２)3|＋ｌｏｇ|(ｘ－３)5|
＝３ｌｏｇ|ｘ2＋２|＋５ｌｏｇ|ｘ－３|
これでだいぶシンプルになったので、両辺を普通に微分します。
ｙ'／ｙ＝３・２ｘ／(ｘ2＋２)＋５・１／(ｘ－３)
左辺が都合良く(?)ｙ'／ｙになったので、両辺にｙをかければ、左辺はｙ'だけになります。
つまり、それが求める導関数の式になる。というわけです。
ｙ'＝{３・２ｘ／(ｘ2＋２)＋５・１／(ｘ－３)}・ｙ
ｙ＝(ｘ2＋２)3(ｘ－３)5だから、
ｙ'＝{３・２ｘ／(ｘ2＋２)＋５・１／(ｘ－３)}{(ｘ2＋２)3(ｘ－３)5}
あとは計算をがんばって、式を整理すれば完成です。
ここでは計算は省略しますが、できるだけ簡単な形にすると・・・
ｙ'＝(ｘ2＋２)2(ｘ－３)4(１１ｘ2－１８ｘ＋１０)
これで完成です！
数学３微分積分まとめ
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