■ 問題
ｌｏｇ(１＋ｘ)＜ｘであることを証明せよ。ただし、ｘ＞０とする。
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■ 解答解説
今回は数学３の微分の単元ですが、この単元かどうかにかかわらず、不等式の証明は「大きい方－小さい方＞０」を示せば良い場合が多いです。
この通りに式を立てると、
(右辺)－(左辺)＝ｘ－ｌｏｇ(１＋ｘ)
ですね。これをＦ(ｘ)として、Ｆ(ｘ)＝ｘ－ｌｏｇ(１＋ｘ)とおきます。
Ｆ(０)＝０－ｌｏｇ(１＋０)
＝－ｌｏｇ１
＝０
Ｆ'(ｘ)＝１－１１＋ｘ
ｘ＞０ということは、１１＋ｘ＜１であり、Ｆ'(ｘ)＞０です。
さらに、Ｆ'(０)＝１－１＝０だから、
ｘ＝０のときｘ－ｌｏｇ(１＋ｘ)＝０であり、Ｆ'(ｘ)は常にプラスだから、ｘ＞０のときＦ(ｘ)＞０が成り立ちます。
だから、もとの式のｌｏｇ(１＋ｘ)＞ｘが成り立つ。というわけです。
◆関連項目
微分積分(数学３)まとめ
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ラベル：数学
