■ 問題
ｓｉｎｘ＞ｘ－ｘ3／３！であることを証明せよ。ただし、ｘ＞０とする。
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■ 解答解説
今回は数学３の微分の単元ですが、この単元かどうかにかかわらず、不等式の証明は「大きい方－小さい方＞０」を示せば良い場合が多いです。
この通りに式を立てると、
Ｆ(ｘ)＝(左辺)－(右辺)
＝ｓｉｎｘ－ｘ＋ｘ3／３！
この式の値がゼロより大きいことを示せば、証明完成！というわけです。
ただし、このままではよくわからないので、まずは１回微分してみます。
Ｆ'(ｘ)＝ｃｏｓｘ－１＋３ｘ2／３・２・１
＝ｃｏｓｘ－１＋ｘ2／２
さらに微分すると、
Ｆ''(ｘ)＝－ｓｉｎｘ－２ｘ／２
＝－ｓｉｎｘ＋ｘ
この時点でも式の値の符号がわかりにくいので、もう一回微分します。
Ｆ'''(ｘ)＝－ｃｏｓｘ＋１
これでわかりやすくなりました。
－１≦ｃｏｓｘ≦１だから、Ｆ'''(ｘ)≧０ですね。
Ｆ'''(ｘ)はＦ''(ｘ)の導関数だから、Ｆ'''(ｘ)はＦ''(ｘ)の増減を表し、Ｆ'''(ｘ)＞０ということは、Ｆ''(ｘ)は減少はしない。ことがわかります。
特に、ｘ≠２ｎπならば、Ｆ''(ｘ)は増加します。
Ｆ''(０)＝－ｓｉｎ０－０＝０で、Ｆ''(ｘ)は増加するということは、Ｆ''(０)＞０ですね。
Ｆ''(ｘ)はＦ'(ｘ)の導関数なので、Ｆ'(ｘ)は増加することがわかります。
同様に、Ｆ'(０)＝ｃｏｓ０－１＋０／２＝１－１＝０であり、Ｆ'(ｘ)は増加するということは、Ｆ(ｘ)は増加します。
Ｆ(０)＝ｓｉｎ０－０＋０／３！＝０であり、Ｆ(ｘ)は増加するということは、Ｆ(ｘ)＞０です。
つまり、ｓｉｎｘ－ｘ＋ｘ3／３！＞０であるので、与式が証明できた。ということになります。
◆関連項目
ｌｏｇ(１＋ｘ)＜ｘを証明
微分積分(数学３)まとめ
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ラベル：数学
