■ 問題
次の媒介変数表示で示された曲線を、ｘ，ｙの関係式で表し、どのような曲線を表すか求めよ。
(1)
ｘ＝２ｔ＋１ ・・・①
ｙ＝４ｔ2－２ｔ ・・・②
(2)
ｘ＝３ｃｏｓθ－２ ・・・①
ｙ＝３ｓｉｎθ＋１ ・・・②
解答解説はこのページ下
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■ 解答解説
基本的な方針は(1)と同じです。
今回はｘ，ｙがθで表されているので、θを消去するという方針です。
とは言っても、①，②の式どちらも、「θ＝●●」の形にするのは難しそうなので、三角関数の公式を用いることを考えます。
今回の問題の条件だとしても、それ以外の条件だとしても、公式は常に成り立つはずです。
ならば、今回の条件から、ｃｏｓθとｓｉｎθを表せば、それらを公式に代入することで、θを消去することができる。というわけです。
では、まずは①の式をｃｏｓθについて解いてみましょう！
ｘ＝３ｃｏｓθ－２
３ｃｏｓθ＝ｘ＋２
ｃｏｓθ＝(ｘ＋２)／３
続いて、②の式をｓｉｎθについて解きます。
ｙ＝３ｓｉｎθ＋１
３ｓｉｎθ＝ｙ－１
ｓｉｎθ＝(ｙ－１)／３
これでｃｏｓθとｓｉｎθがわかったので、これらの関係を表す公式を使えばよいです。
ｓｉｎ2θ＋ｃｏｓ2θ＝１
という三角関数の相互関係の公式がありますね。
これに、今回の条件からわかった値(式)を代入して整理すればＯＫというわけです。
(ｙ－１３)2＋(ｘ＋２３)2＝１
両辺に９をかけて、
(ｘ＋２)2＋(ｙ－１)2＝９
この形は円ですね！
よって求める曲線は、「(ｘ＋２)2＋(ｙ－１)2＝９の円」です。
(1)に戻る→放物線の場合
◆関連項目
平面上の曲線まとめ
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