【高校数学】読むだけでわかる！共通テスト数学の考え方
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■ 問題
2026年共通テスト試作数１Ａより
第２問
[1] ２次関数の最大値、最小値について考えよう。
(1) ２次関数ｙ＝２ｘ^2−８ｘ＋５は０≦ｘ≦３において、ｘ＝[ア]で最大値[ イ ]
をとり、ｘ＝[ウ]で最小値[エオ]をとる。
(2) 太郎さんと花子さんは、(1)を振り返って２次関数の最大値、最小値について
話している。
┌―――――――――――――――――――――――――――――――――――┐
｜太郎: (1) では、２次関数とｘのとり得る値の範囲が与えられて、最大値と ｜
｜ 最小値を求めることができたね。 ｜
｜花子: じゃあ, ｘの値の範囲とそのときの最大値と最小値に関する条件が ｜
｜ 与えられている場合に、条件を満たす２次関数を求めることはできるの｜
｜ かな。具体的な例で考えてみよう。 ｜
└―――――――――――――――――――――――――――――――――――┘
(i) ２次関数ｙ＝ｆ(ｘ)は次の[条件１]を満たすとする。
┌[条件１]―――――――――――――――――――――――――――――――┐
｜ｙ＝ｆ(ｘ)は−３≦ｘ≦０において ｜
｜・ｘ＝−１で最大値３をとる。 ｜
｜・ｘ＝−３で最小値−５をとる。 ｜
└―――――――――――――――――――――――――――――――――――┘
このとき、ｙ＝ｆ(ｘ)のグラフの頂点の座標は[カ]であり
ｆ(ｘ)＝[キク]ｘ^2−[ケ]ｘ＋[コ]
である。
[カ]の解答群
┌―――――――――――――――――――――――――――――――――――┐
｜{0} (０，３) {1} (１，３) {2} (３，３) ｜
｜{3} (−１，３) {4} (−３，３) {5} (０，−５) ｜
｜{6} (１，−５) {7} (３，−５) {8} (−１，−５) ｜
｜{9} (−３，−５) ｜
└―――――――――――――――――――――――――――――――――――┘
(ii) ２次関数ｙ＝ｇ(ｘ)は次の[条件２]を満たすとする。
┌[条件２]―――――――――――――――――――――――――――――――┐
｜ ａを正の定数とし、ｙ＝ｇ(ｘ)の０≦ｘ≦ａにおける最大値をＭ， ｜
｜最小値をｍとすると ｜
｜・０＜ａ＜３ならば、ｍ＞−２である。 ｜
｜・ａ≧３ならば、ｍ＝−２である。 ｜
｜・０＜ａ≦６ならば、Ｍ＝７である。 ｜
｜・ａ＞６ならば、Ｍ＞７である。 ｜
└―――――――――――――――――――――――――――――――――――┘
このとき、２次関数ｙ＝ｇ(ｘ)のグラフは[サ]の放物線であり
ｇ(ｘ)＝[シ]
である。
[サ]の解答群
┌―――――――――――――――――――――――――――――――――――┐
｜{0} 下に凸 {1} 上に凸 ｜
└―――――――――――――――――――――――――――――――――――┘
[シ]の解答群
┌―――――――――――――――――――――――――――――――――――┐
｜{0} ２ｘ^2−１２ｘ＋１６ {1} −２ｘ^2＋１２ｘ−１６ ｜
｜{2} ２ｘ^2−１２ｘ−１６ {3} −２ｘ^2＋１２ｘ−２０ ｜
｜{4} ｘ^2−７ {5} −ｘ^2＋７ ｜
｜{6} ｘ^2−６ｘ＋７ {7} −ｘ^2＋６ｘ−７ ｜
｜{8} ２ｘ^2−９ｘ＋７ {9} −２ｘ^2＋３ｘ＋７ ｜
└―――――――――――――――――――――――――――――――――――┘
(3) ２次関数ｙ＝ｈ(ｘ)は次の[条件３]を満たすとする。
┌[条件３]―――――――――――――――――――――――――――――――┐
｜ ｂを定数とし、ｙ＝ｈ(ｘ)のｂ−１≦ｘ≦ｂ＋１における最大値をＭと ｜
｜すると ｜
｜・１≦ｂ≦７ならば、Ｍ≧０である。 ｜
｜・ｂ＜１または７＜ｂならば、Ｍ＜０である。 ｜
└―――――――――――――――――――――――――――――――――――┘
太郎さんと花子さんはｈ(ｘ)について話している。
┌―――――――――――――――――――――――――――――――――――┐
｜太郎: (2)の[条件１]や[条件２]からは関数が一つに決まったけど、[条件３] ｜
｜ だけでは、ｈ(ｘ)が一つに決まりそうにないね。 ｜
｜花子: でも、ｙ＝ｈ(ｘ)のグラフとｘ軸の共有点の座標はわかりそうだね。 ｜
└―――――――――――――――――――――――――――――――――――┘
２次関数ｙ＝ｈ(ｘ)のグラフとｘ軸の共有点のｘ座標は[ス]および[セ]である。
ただし、[ス]，[セ]の解答の順序は問わない。
※ｘの２乗はｘ^2、マーク部分の□や太字は[ ]で表記しています。また、一部の
記号はまぐまぐ！ではエラーとなってしまうため、言葉や「それらしく見える記号」
で代用しています。
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■ 解説目次
◆１ 2026年第２問[1]は２次関数
◆２ まずは頂点
◆３ 下に凸だから頂点が最小
(以下略)
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■ 解説
◆１ 2026年第２問[1]は２次関数
2026年共通テスト数学１Ａ第２問[1]は２次関数でした。
高校数学で最も重要な分野と言っても過言ではないですし、数学を使う人なら、
理系でも文系でも必ずマスターしておくべき分野です。
今回の問題でも登場しますが、ほとんどの問題では最大最小を扱います。
最大最小を求めるには頂点が必要。頂点を求めるには平方完成。
ですね！
その他にもよくあるパターンは多数あります。
ブログでもいろいろ解説しているので、よかったらご覧ください。
「２次関数まとめ」→http://a-ema.seesaa.net/article/478441371.html
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◆２ まずは頂点
では今回の問題です。
まずはノーマルな最大最小ですね。最大最小なら頂点を求めます。
頂点(ｐ，ｑ)の２次関数は、ｙ＝ａ(ｘ−ｐ)^2＋ｑの形になるので、この形を
目指して変形するには、平方完成というわけです。
ｙ＝２ｘ^2−８ｘ＋５
＝２(ｘ^2−４ｘ)＋５
＝２(ｘ^2−４ｘ＋４−４)＋５
＝２{(ｘ−２)^2−４}＋５
＝２(ｘ−２)^2−８＋５
＝２(ｘ−２)^2−３
というわけで、頂点は(２，−３)です。
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◆３ 下に凸だから頂点が最小
頂点がわかれば、グラフと定義域を考えて最大最小を求めます。
頂点は(２，−３)だから、定義域０≦ｘ≦３の中にあります。
そして２次関数の式のｘの２乗の係数はプラスなので、グラフは下に凸です。
だから・・・
つづく
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解説の続き・解答や公式一覧などは・・・
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ラベル：数学
