高校数学「微分」ｅx上の点Ｐにおける接線・法線

高校数学「微分」ｅ^x上の点Ｐにおける接線・法線

■　問題

ｙ＝ｅ^x上の点Ｐ(２，ｅ²)における接線と法線の方程式を求めよ。


↓解答解説はお知らせの下に↓

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■　解答解説

接線の傾きは導関数です。
曲線のグラフの接線を考えると、場所によって傾きが変わります。その傾きを式で表すと導関数になる。ということができます。

今回の問題では、ｙ＝ｅ^xの接線・法線について考えるので、まずはｙ＝ｅ^xの導関数を求めます。

ｙ'＝ｅ^x

ですね。
これが接線の傾きを表します。
Ｐのｘ座標は２なので、これを代入すると、ｍ＝ｅ²です。

次に法線の傾きを考えておきましょう！

法線は接線の垂線です。
傾きｍの直線と垂直な直線の傾きをｍ'とすると、ｍｍ'＝−１の関係が成り立ちます。
だから、法線の傾きは、

ｅ²・ｍ'＝−１
　　ｍ'＝−１ｅ²

ですね！
これで接線と法線の傾きがわかりました。
通る点の座標はわかっているので、あとは直線の式ｙ−ｙ₁＝ｍ(ｘ−ｘ₁)に代入して計算すればＯＫです！

(i) 接線
ｍ＝ｅ²，(２，ｅ²)を代入して、
ｙ−ｅ²＝ｅ²(ｘ−２)
　　ｙ＝ｅ²ｘ−２ｅ²＋ｅ²
　　ｙ＝ｅ²ｘ−ｅ²

(ii) 法線
ｍ＝−１ｅ²，(２，ｅ²)を代入して、
ｙ−ｅ²＝−１ｅ²(ｘ−２)
　　ｙ＝−１ｅ²ｘ＋２ｅ²＋ｅ²


◆関連項目
法線、接線
楕円の接線・法線
微分積分(数学３)まとめ


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