【高校数学】読むだけでわかる！共通テスト数学の考え方
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■ 問題
2026年共通テスト数１Ａより
第３問
空間内に、ＡＢ＝ＡＣ＝１０，ＢＣ＝１２である二等辺三角形ＡＢＣがある。
△ＡＢＣの内心をＩとし, △ＩＢＣの重心をＧとする。Ｇを通り、△ＡＢＣを含む
平面と垂直な直線上に、Ｇと異なる点Ｐがある。このとき、△ＡＢＣを底面とする
三角錐ＰＡＢＣについて考えよう。
参考図
直線ＡＩと辺ＢＣの交点をＤとし、また、辺ＰＡ上の点Ｅは、∠ＰＥＤ＝∠ＰＩＤ
を満たしているとする。なお、以下の問題において比を解答する場合は、最も簡単な
整数の比で答えよ。
(1) 直線ＢＩが[ア]ことに注意すると, △ＡＢＤにおいて線分ＡＩとＩＤの長さの
比を求めることができる。よって、線分ＡＤの長さに着目すると
ＡＩ＝[イ]，ＩＤ＝[ウ]
であることがわかる。また、４点Ｅ，Ｉ，Ｄ，[エ]は同一円周上にある。よって
ＡＥ・ＡＰ＝[オカ]
[ア]の解答群
┌―――――――――――――――――――――――――――――――――――┐
｜{0} 直線ＡＣと垂直に交わる {1} 直線ＡＣとねじれの位置にある ｜
｜{2} ∠ＡＢＣを２等分する {3} 辺ＡＣの中点を通る ｜
└―――――――――――――――――――――――――――――――――――┘
[エ]の解答群
┌―――――――――――――――――――――――――――――――――――┐
｜{0} Ａ {1} Ｂ {2} Ｃ {3} Ｇ {4} Ｐ ｜
└―――――――――――――――――――――――――――――――――――┘
(2) 線分ＰＩとＤＥの交点をＦとする。このとき、線分ＩＦとＦＰの長さの比と、
三角錐ＰＡＢＣの体積との関係について考えよう。
(i) 次の[仮定１]のもとで三角錐ＰＡＢＣの体積Ｖ1について考える。
┌―[仮定１]――――――――――――――――――――――――――――――┐
｜ 線分ＩＦとＦＰの長さの比がＩＦ：ＦＰ＝３：２である。 ｜
└―――――――――――――――――――――――――――――――――――┘
このとき
ＰＥ：ＥＡ＝[キ]：[ク]
であるから、(1)での考察に注意すると、ＡＰ＝[ケ]√[コ]となる。
したがって、直線ＰＧが△ＡＢＣを含む平面に垂直であることに注意すると、
Ｖ＝[サシ]であることがわかる。
(ii) (i)の[仮定１]の代わりに次の[仮定２]をおき、三角錐ＰＡＢＣの体積の変化に
ついて考える。
┌―[仮定２]――――――――――――――――――――――――――――――┐
｜ 線分ＩＦとＦＰの長さの比がＩＦ：ＦＰ＝１：３である。 ｜
└―――――――――――――――――――――――――――――――――――┘
[仮定２]のもとでの三角錐ＰＡＢＣの体積Ｖ2を、(i)で求めたＶ1と比較すると、
Ｖ2とＶ1の比は
Ｖ2：Ｖ1＝[ス]：[セ]
であるから、[ソ]。
[ソ]の解答群
┌―――――――――――――――――――――――――――――――――――┐
｜{0} Ｖ2はＶ1より小さい {1} Ｖ2とＶ1は等しい ｜
｜{2} Ｖ2はＶ1より大きい ｜
└―――――――――――――――――――――――――――――――――――┘
※分数は(分子)／(分母)、ｘの２乗はｘ^2、マーク部分の□や太字は[ ]で表記して
います。また、一部の記号はまぐまぐ！ではエラーとなってしまうため、言葉や
「それらしく見える記号」で代用しています。
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■ 解説目次
◆１ 第３問は図形の性質
◆２ 内心だから角の二等分線
(以下略)
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■ 解説
◆１ 第３問は図形の性質
2026年も第３問は図形の性質の問題でした。
図形の性質は、小学校や中学校の範囲も含んで、様々なものがあるので、ここで
全てに触れることはできませんが、
平行、垂直、相似
中学の範囲のこれら３つは、どんな図形の問題でも使うと考えて良いと思います。
・円と接線
・円に内接する四角形
・三角形の重心、内心、外心
・方べきの定理
・メネラウスの定理・チェバの定理
高校の内容でよく問われるのはこのあたりでしょうか。
皆さんは、これらの用語を見て、「アレだな！」と思い出すことができましたか？
もし怪しい場合は、教科書や参考書などを見て、再確認しておくことをおすすめ
します！
図形の性質まとめ→https://a-ema.seesaa.net/article/511775761.html
この単元の問題でも、三角比も使うことがあります。
三角比まとめ→https://a-ema.seesaa.net/article/478799685.html
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◆２ 内心だから角の二等分線
では今回の問題です。
「ＡＢ＝ＡＣ＝１０，ＢＣ＝１２である二等辺三角形ＡＢＣがある。」
「△ＡＢＣの内心をＩとし, △ＩＢＣの重心をＧとする。Ｇを通り、△ＡＢＣを含む
平面と垂直な直線上に、Ｇと異なる点Ｐがある。このとき、△ＡＢＣを底面とする
三角錐ＰＡＢＣ」について考えます。
さらに、
「直線ＡＩと辺ＢＣの交点をＤ」
「辺ＰＡ上の点Ｅは、∠ＰＥＤ＝∠ＰＩＤを満たしている」
という条件です。
Ｉは△ＡＢＣの内心だから、ＢＩは∠ＡＢＣの二等分線になります。
よって、[ア]＝２
つづく
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解説の続き・解答や公式一覧などは・・・
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ラベル：数学
