中学数学「１次関数」ｙ＝２ｘ＋１のグラフ

中学数学「１次関数」ｙ＝２ｘ＋１のグラフ

◆問題

１次関数ｙ＝２ｘ＋１のグラフを描け。


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◆解答

ｙ＝２ｘ＋１は、切片が１，傾きが２です。
だから、まずはｙ軸上の１の所に点をとり、そこから右に１進んだら上に２進む。つまり、(１，３)に点を取ることができます。
そこからさらに右に１進んだら上に２進みます。つまり、(２，５)を通ります。
反対に、左に１進んだら、下に２進みます。
このようにして点を取り、直線で結ぶと、以下のようなグラフができます。




表の問題に戻る


１次関数まとめ


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中学数学「１次関数」ｙ＝ｘ−５のグラフ

中学数学「１次関数」ｙ＝ｘ−５のグラフ

◆問題

１次関数ｙ＝ｘ−５のグラフを描け。


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◆解答

ｙ＝ｘ−５は、切片が−５なので、まずはｙ軸上のｙ＝−５のところに点を取ります。
そして、傾きは１だから、右に１進んだら、上に１進みます。そして、さらに右に１進んだら、また上に１進む・・・
といったかんじで、できるだけ離れた２点をとり、直線で結びます。
この場合は、ｘ軸上の点が取りやすいので、(５，０)を通るように引くとわかりやすいと思います。

グラフはこのようになります。



次の問題→ｙ＝２ｘ＋１のとき


１次関数まとめ


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中学数学「１次関数」ｙ＝２ｘ＋１のグラフ上の座標を表にする問題

中学数学「１次関数」ｙ＝２ｘ＋１のグラフ上の座標を表にする問題

◆問題

１次関数ｙ＝２ｘ＋１について、表の空欄を埋めよ。

ｘ	…	−２	−１	０	１	２	３	４	…
ｙ	…								…

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◆解答

ｙ＝２ｘ＋１の、ｘにそれぞれの値を代入して出た数値を記入していきます。
例えば、ｘ＝−２のとき、ｙ＝２×(−２)＋１＝−３ですね。

ｘ	…	−２	−１	０	１	２	３	４	…
ｙ	…	−３	−１	１	３	５	７	９	…

次の問題→グラフ


１次関数まとめ


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中学数学「１次関数」ｙ＝ｘ−５のグラフ上の座標を表にする問題

中学数学「１次関数」ｙ＝ｘ−５のグラフ上の座標を表にする問題

◆問題

１次関数ｙ＝ｘ−５について、表の空欄を埋めよ。

ｘ	…	−１	０	１	２	３	４	５	…
ｙ	…								…

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◆解答

ｙ＝ｘ−５の、ｘにそれぞれの値を代入して出た数値を記入していきます。
例えば、ｘ＝−１のとき、ｙ＝−１−５＝−６ですね。

ｘ	…	−１	０	１	２	３	４	５	…
ｙ	…	−６	−５	−４	−３	−２	−１	０	…

次の問題→グラフ


１次関数まとめ


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中学数学「１次関数」グラフから式を求める問題�A

中学数学「１次関数」グラフから式を求める問題�A

◆問題

次のグラフの�@〜�Dの１次関数の式を求めよ。




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◆解答

１次関数の式は、ｙ＝ａｘ＋ｂで表されます。
ａは傾き、ｂは切片です。

今回はグラフから傾きと切片を読み取って、式を答える問題です。

�@まずｙ軸上の点を見て、切片を読み取る
ｙ軸との交点のｙ座標が切片でｂです。

�A増減の仕方を見て、傾きを読み取る
傾きは、ｘが１増えたときのｙの増加量が傾きです。
グラフ上では、ある点から右に１進んだときに、ｙがいくつ増えているかを読み取ります。
傾きはａです。

傾きと切片がともに整数の場合は、以上の方法で良いですが、分数が含まれると、もう少し考える必要があります。

・傾きが分数のとき

「分母の数だけ右に進んで、分子の数だけ縦に進む」と考えればＯＫです。

・切片が分数のとき

ｙ軸を見ても、正確な数値が読み取れない場合は、そのほかの場所でｘ，ｙがともに整数の点を探します。
傾きは、その点から「横にいくつ進んで縦にいくつ進むか」を見て読み取ります。
点と傾きがわかれば、ｙ＝ａｘ＋ｂに代入して計算して、切片を求める。という流れです。


�@
ｙ軸との交点は２
→ｂ＝２

ｙ軸から右に２進むと上に１進んでいるので、傾きは１２

→ａ＝１２

求める直線は、ｙ＝１２ｘ＋２

�A
ｙ軸との交点は整数ではないので、他の点を探します。
例えば、(１，−１)を通っています。
この点から、右に２進むと上に１進んでいるので、傾きは１２です。
→ａ＝１２

ｙ＝ａｘ＋ｂに、ａ＝１２，(１，−１)を代入して

−１＝１２×１＋ｂ
ｂ＝−１−１２
ｂ＝−３２


求める直線は、ｙ−１２ｘ−３２

�B
原点を通っているので、ｂ＝０
(または比例と見てもＯＫ！)

ｙ軸から右に４進むと下に３進んでいるので、傾きは−３４

求める直線は、ｙ＝−３４ｘ

�C
ｙ軸との交点は２
→ｂ＝２

ｙ軸から右に４進むと下に３進んでいるので、傾きは−３４

求める直線は、ｙ＝−３４ｘ＋２

�D
ｙ軸との交点は整数ではないので、他の点を探します。
例えば、(１，１)を通っています。
この点から右に２進むと上に３進んでいるので、傾きは３２
→ａ＝３２

ｙ＝ａｘ＋ｂに、ａ＝３２，ｘ＝１，ｙ＝１を代入して、
１＝３２×１＋ｂ
ｂ＝１−３２
ｂ＝−１２

求める直線は、ｙ＝３２ｘ−１２


前の５問


１次関数まとめ


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中学数学「１次関数」グラフから式を求める問題�@

中学数学「１次関数」グラフから式を求める問題�@

◆問題

次のグラフの�@〜�Dの１次関数の式を求めよ。




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◆解答

１次関数の式は、ｙ＝ａｘ＋ｂで表されます。
ａは傾き、ｂは切片です。

今回はグラフから傾きと切片を読み取って、式を答える問題です。

�@まずｙ軸上の点を見て、切片を読み取る
ｙ軸との交点のｙ座標が切片でｂです。

�A増減の仕方を見て、傾きを読み取る
傾きは、ｘが１増えたときのｙの増加量が傾きです。
グラフ上では、ある点から右に１進んだときに、ｙがいくつ増えているかを読み取ります。
傾きはａです。

�@
ｙ軸との交点は３
→ｂ＝３

ｙ軸から右に１進むと上に１進んでいるので、傾きは１
→ａ＝１

求める直線は、ｙ＝ｘ＋３

�A
ｙ軸との交点は５
→ｂ＝５

ｙ軸から右に１進むと下に１進んでいるので、傾きは−１
→ａ＝−１

求める直線は、ｙ−ｘ＋５

�B
ｙ軸との交点は−３
→ｂ＝−３

ｙ軸から右に�@進むと上に２進んでいるので、傾きは２

求める直線は、ｙ＝２ｘ−３

�C
ｙ軸との交点は−１
→ｂ＝−１

ｙ軸から右に１進むと・・・のところはグラフ内では確認できないので、逆に左に進んだ場合をチェックします。
左に１進むと、上に３進んでいるので、傾きは−３
→ａ＝−３

求める直線は、ｙ＝−３ｘ−１

�Dｙ軸との交点は−２
→ｂ＝−２

ｙ軸から左に１進むと上に２進んでいるので、傾きは−２
→ａ＝−２

求める直線は、−２ｘ−２


次の５問


１次関数まとめ


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中学数学「１次関数」ｙ＝２ｘ＋１についていろいろ�C(三角形など)

中学数学「１次関数」ｙ＝２ｘ＋１についていろいろ�C(三角形など)

◆問題

１次関数ｙ＝２ｘ＋１について次の値を求めよ。

(1) 傾きと切片

(2) 変化の割合

(3) ｘが１増えたときのｙの増加量

(4) ｙ軸との交点の座標

(5) ｘ＝０のときのｙ座標

(6) ｘ＝２のときのｙ座標

(7) ｘの増加量が２のときのｙの増加量

(8) ｙ＝２のときのｘ座標

(9) −１≦ｘ≦２のときのｙの変域

(10) ０≦ｙ≦１０のときのｘの変域

(11) ｙが正の数となるようなｘの値の範囲

(12) ｘが正の数となるようなｙの値の範囲

(13) ｙ＝２ｘ＋１に平行で、原点を通る直線の式

(14) ｙ＝２ｘ＋１とｙ軸上で交わり、傾きが−３の直線の式

(15) ｙ＝２ｘ＋１とｙ軸上で交わり、点(−４，−１)を通る直線の式

(16) ｙ＝２ｘ＋１とｙ＝−ｘ＋７との交点

(17) ｙ＝２ｘ＋１とｙ＝−ｘ＋７，ｙ軸で囲まれた三角形の面積

(18) ｙ＝２ｘ＋１とｙ＝−ｘ＋７，ｙ軸で囲まれた三角形をｙ軸を中心として１回転してできた図形の体積

(19) ｙ＝２ｘ＋１とｙ＝−ｘ＋７，ｙ軸で囲まれた三角形をｙ軸を中心として１回転してできた図形の表面積

(20) ｙ＝２ｘ＋１をｙ軸に関して対象に移動した直線の式


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◆解答

１次関数の式は、ｙ＝ａｘ＋ｂで表されます。
ａは傾き、ｂは切片です。
傾きはｘが１増えたときのｙの増加量を表し、１次関数では変化の割合と同じです。
切片はｙ軸との交点のｙ座標を表します。

(16) ｙ＝２ｘ＋１とｙ＝−ｘ＋７との交点

２直線の交点は、２直線の式の連立方程式を解けば求められます。
直線の式の場合は、ｙ＝●●という形が共通しているので、右辺同士をイコールで結んで１次方程式を解くのが簡単です。

２ｘ＋１＝−ｘ＋７
２ｘ＋ｘ＝７−１
　　３ｘ＝６
　　　ｘ＝２

ｙ＝２ｘ＋１にｘ＝２を代入して
ｙ＝２×２＋１＝５

よって、交点の座標は(２，５)


(17) ｙ＝２ｘ＋１とｙ＝−ｘ＋７，ｙ軸で囲まれた三角形の面積

座標平面上の図形の面積を求めるときは、まずは頂点の座標を求めることが重要です。
２直線の交点の座標は、今(16)で求めたように、(２，５)です。
残り２点は、この場合は切片から求められます。(０，１)，(０，７)ですね。

ｙ軸を底辺とすると、頂点は２直線の交点です。この交点からｙ軸までの距離は２ですね。

底辺は(０，１)から(０，７)までの距離だから、７−１＝６です。

よって三角形の面積は、６×２÷２＝６です。


(18) ｙ＝２ｘ＋１とｙ＝−ｘ＋５，ｙ軸で囲まれた三角形をｙ軸を中心として１回転してできた図形の体積

この図形をｙ軸を中心として１回転すると、円錐を２つくっつけた形になります。
だから、体積は２つの円錐の合計になります。

上の円錐は、高さが２，底面の半径が２です。
Ｖ_上＝(１／３)×２²π×２
　＝(８／３)π

下の円錐は、高さが４，底面の半径が２です。
Ｖ_下＝(１／３)×２²π×４
　＝(１６／３)π

これらの合計は、(８／３)π＋(１６／３)π＝(２４／３)π＝８π


(19) ｙ＝２ｘ＋１をｙ軸方向に−６平行移動した直線の式

ｙ軸方向に−６平行移動したら、切片が−６変わります。
傾きは、１−６＝−５になりまする

平行移動なので、傾きは変わりません。

ｙ＝２ｘ−５


(20) ｙ＝２ｘ＋１をｙ軸に関して対象に移動した直線の式

つまり、左右対称に移動します。
ｙ軸に関して対象移動なので、切片は変わりません。

左右対称に移動すると、傾きが反対になるので、傾きの符号が変わります。
つまり移動後の直線の傾きは−２です。

ｙ＝−２ｘ＋１


(1)に戻る


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中学数学「１次関数」ｙ＝２ｘ＋１についていろいろ�B(平行な直線の式など)

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◆問題

１次関数ｙ＝２ｘ＋１について次の値を求めよ。

(1) 傾きと切片

(2) 変化の割合

(3) ｘが１増えたときのｙの増加量

(4) ｙ軸との交点の座標

(5) ｘ＝０のときのｙ座標

(6) ｘ＝２のときのｙ座標

(7) ｘの増加量が２のときのｙの増加量

(8) ｙ＝２のときのｘ座標

(9) −１≦ｘ≦２のときのｙの変域

(10) ０≦ｙ≦１０のときのｘの変域

(11) ｙが正の数となるようなｘの値の範囲

(12) ｘが正の数となるようなｙの値の範囲

(13) ｙ＝２ｘ＋１に平行で、原点を通る直線の式

(14) ｙ＝２ｘ＋１とｙ軸上で交わり、傾きが−３の直線の式

(15) ｙ＝２ｘ＋１とｙ軸上で交わり、点(−４，−１)を通る直線の式




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◆解答

１次関数の式は、ｙ＝ａｘ＋ｂで表されます。
ａは傾き、ｂは切片です。
傾きはｘが１増えたときのｙの増加量を表し、１次関数では変化の割合と同じです。
切片はｙ軸との交点のｙ座標を表します。

(11) ｙが正の数となるようなｘの値の範囲

ｙの値が正ということは、ｘ軸の上側です。
ｘ軸上はｙ＝０なので、ｙ＝０をｙ＝２ｘ＋１に代入して計算します。

　０＝２ｘ＋１
２ｘ＝−１
　ｘ＝−１２

傾きが正の数だから、右に行くほどｙは大きくなるので、この−１２よりｘが大きければ、ｙも正の数になります。

よって、ｘ＞−１２


(12) ｘが正の数となるようなｙの値の範囲

ｘの値が正ということは、ｙ軸の右側です。
ｙ軸上はｘ＝０で、ｙ軸上の場所は切片ｂの値でわかります。ｙ＝１ですね。

これより右に行けば、ｙ座標も増えるので、求める範囲は、ｙ＞１です。


(13) ｙ＝２ｘ＋１に平行で、原点を通る直線の式

平行な直線は傾きが等しいです。
つまり、求める直線の傾きも２です。

原点を通る直線の切片はゼロであり、比例の式だと見ても良いです。

よって、求める直線の式は、ｙ＝２ｘ


(14) ｙ＝２ｘ＋１とｙ軸上で交わり、傾きが−３の直線の式

ｙ軸との交点の座標は(０，１)つまり、切片が１です。

傾きは−３だから、求める直線の式は、ｙ＝−３ｘ＋１

(15) ｙ＝２ｘ＋１とｙ軸上で交わり、点(−４，−１)を通る直線の式

(14)と同様に、求める直線の切片は１です。つまり、ｂ＝１です。

他には通る点の座標がわかっているので、ｙ＝ａｘ＋ｂにわかっている値を代入して計算します。

−１＝ａ×(−４)＋１
４ａ＝１＋１
４ａ＝２
　ａ＝１２

よって、求める直線の式は、ｙ＝１２ｘ＋１


次の５問


１次関数まとめ


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中学数学「１次関数」ｙ＝２ｘ＋１についていろいろ�A(座標、変域など)

中学数学「１次関数」ｙ＝２ｘ＋１についていろいろ�A

◆問題

１次関数ｙ＝２ｘ＋１について次の値を求めよ。

(1) 傾きと切片

(2) 変化の割合

(3) ｘが１増えたときのｙの増加量

(4) ｙ軸との交点の座標

(5) ｘ＝０のときのｙ座標

(6) ｘ＝２のときのｙ座標

(7) ｘの増加量が２のときのｙの増加量

(8) ｙ＝２のときのｘ座標

(9) −１≦ｘ≦２のときのｙの変域

(10) ０≦ｙ≦１０のときのｘの変域


↓解答解説はこのページ下↓


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◆解答

１次関数の式は、ｙ＝ａｘ＋ｂで表されます。
ａは傾き、ｂは切片です。
傾きはｘが１増えたときのｙの増加量を表し、１次関数では変化の割合と同じです。
切片はｙ軸との交点のｙ座標を表します。

(6) ｘ＝２のときのｙ座標

ｘ＝２とわかっているので、その値をｙ＝２ｘ＋１に代入して計算します。

ｙ＝２×２＋１＝５

よって、求めるｙ座標は５


(7) ｘの増加量が２のときのｙの増加量

増加量は座標ではないことに注意してください。
増加量は「増えた量」です。

この問題では、「ｘが２だけ増えたら、ｙはいくつ増えるか？」を求めます。

変化の割合は、ｘが１増えたときのｙの増加量だから、
ｘが２増えたら、ｙは変化の割合の２倍だけ増えます。

ｙ＝２ｘ＋１の変化の割合は２なので、求めるｙの増加量は、２×２＝４


(8) ｙ＝２のときのｘ座標

ｙ＝２ｘ＋１にｙ＝２を代入して、
２＝２ｘ＋１
２ｘ＝２−１
２ｘ＝１
　ｘ＝１２


(9) −１≦ｘ≦２のときのｙの変域

変域とは変化する範囲です。
要するに「いくつからいくつまで変化するか？」を意味します。
だから最小でいくつ、最大でいくつなのかを求めればＯＫです。

ｘの変域は−１≦ｘ≦２だから、ｘ＝−１の場合と、ｘ＝２の場合のｙ座標を求めればＯＫです。

ｘ＝−１のとき、ｙ＝２×(−１)＋１＝−１
ｘ＝２のとき、ｙ＝２×２＋１＝５

よって、ｙの変域は−１≦ｙ≦５


(10) ０≦ｙ≦１０のときのｘの変域

今度はｙの変域が決まっている場合です。
ｙ座標を代入して計算すればＯＫです。

ｙ＝０のとき、０＝２ｘ＋１よりｘ＝−１２
ｙ＝１０のとき、１０＝２ｘ＋１よりｘ＝−９２

よって、ｘの変域は、−９２≦ｘ≦−１２


次の５問


１次関数まとめ


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中学数学「１次関数」ｙ＝２ｘ＋１についていろいろ�@

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◆問題

１次関数ｙ＝２ｘ＋１について次の値を求めよ。

(1) 傾きと切片

(2) 変化の割合

(3) ｘが１増えたときのｙの増加量

(4) ｙ軸との交点の座標

(5) ｘ＝０のときのｙ座標


↓解答解説はこのページ下↓


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◆解答

１次関数の式は、ｙ＝ａｘ＋ｂで表されます。
ａは傾き、ｂは切片です。
傾きはｘが１増えたときのｙの増加量を表し、１次関数では変化の割合と同じです。
切片はｙ軸との交点のｙ座標を表します。

(1) 傾きと切片

ｙ＝２ｘ＋１だから、ａ＝２，ｂ＝１です。
つまり、傾きは２，切片は１です。


(2) 変化の割合

１次関数では傾きと変化の割合は同じです。
つまり、変化の割合は２です。


(3) ｘが１増えたときのｙの増加量

ｘが１増えたときのｙの増加量は、変化の割合です。
変化の割合は傾きと同じです。
つまり、この場合、

ｘが１増えたときのｙの増加量は２です。


(4) ｙ軸との交点の座標

１次関数とｙ軸との交点のｙ座標が切片です。
この場合切片は１だから、

求める座標は(０，１)です。


(5) ｘ＝０のときのｙ座標

ｘ＝０はｙ軸上です。
つまり、ｘ＝０のときのｙ座標は切片です。

だから、ｘ＝０のときのｙ座表は１です。


次の５問


１次関数まとめ


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中学数学「１次関数」計算せずに式がわかる場合�A(ちょっと難しい)

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◆問題

次の条件を満たす１次関数の式を求めよ。

(1) 傾きが２，切片が−１

(2) 傾きが−３，切片が２７

(3) 傾きが２で、(０，５)を通る

(4) ｘが１増えたときのｙの増加量が−１で、(０，２)を通る

(5) ｙ＝−３ｘ＋８に平行で、(０，−４)を通る

(6) 傾きが−２３で、原点を通る

(7) 傾きが４５、切片が３

(8) ｙ軸上の点(０，１)を通り、ｘが２増えたときｙが３減る

(9) ｘの増加量が−４のときのｙの増加量が１で、(０，−１２)を通る

(10) ｙ＝−２９ｘ＋７７３に平行で、ｙ軸上の点(０，ｐ)を通る


↓(6)〜(10)の解答解説はこのページ下↓


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◆解答

１次関数の式は、ｙ＝ａｘ＋ｂで表されます。
ａは傾き、ｂは切片です。
傾きはｘが１増えたときのｙの増加量を表し、１次関数では変化の割合と同じです。
切片はｙ軸との交点のｙ座標を表します。

「１次関数の式を求める」とは、つまり、ａ，ｂの値を求めて、その値をｙ＝ａｘ＋ｂに代入した式を答えることです。
今回は何かしらの分数を含みますが、問題の条件を読み取れば、計算するまでもなく式がわかる問題なのは(1)〜(5)と同様です。

(6) 傾きが−２３で、原点を通る

ａ＝−２３，ｂ＝０だから、

ｙ＝−２３ｘ

ちなみにこれは、原点を通る直線なので、比例の式ｙ＝ａｘに代入する。と考えても良いです。


(7) 傾きが４５、切片が３

ａ＝４５，ｂ＝３だから、

ｙ＝４５＋３


(8) ｙ軸上の点(０，１)を通り、ｘが２増えたときｙが３減る

「ｘが２増えたときｙが３減る」ということは、傾きが−３２です。
「傾き＝ｙの増加量ｘの増加量」ですね。

ａ＝−３２，ｂ＝１だから、

ｙ＝−３２ｘ＋１


(9) ｘの増加量が−４のときのｙの増加量が１で、(０，−１２)を通る

「ｘの増加量が−４のときのｙの増加量が１」ということは、ａ＝−１４です。
さらに、ｂ＝−１２だから、

ｙ＝−１４ｘ−１２


(10) ｙ＝−２９ｘ＋７７３に平行で、ｙ軸上の点(０，ｐ)を通る

平行な直線は傾きが等しいので、求める直線の傾きも、−２９です。
そして切片はｐだから、
ｙ＝ａｘ＋ｂに、ａ＝−２９，ｂ＝ｑを代入して、

ｙ＝−２９ｘ＋ｐ


(1)〜(5)に戻る


１次関数まとめ


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中学数学「１次関数」計算せずに式がわかる場合�@

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◆問題

次の条件を満たす１次関数の式を求めよ。

(1) 傾きが２，切片が−１

(2) 傾きが−３，切片が２７

(3) 傾きが２で、(０，５)を通る

(4) ｘが１増えたときのｙの増加量が−１で、(０，２)を通る

(5) ｙ＝−３ｘ＋８に平行で、(０，−４)を通る


↓解答解説はこのページ下↓


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◆解答

１次関数の式は、ｙ＝ａｘ＋ｂで表されます。
ａは傾き、ｂは切片です。
傾きはｘが１増えたときのｙの増加量を表し、１次関数では変化の割合と同じです。
切片はｙ軸との交点のｙ座標を表します。

「１次関数の式を求める」とは、つまり、ａ，ｂの値を求めて、その値をｙ＝ａｘ＋ｂに代入した式を答えることです。
今回は、問題の条件を読み取れば、計算するまでもなく式がわかる問題ばかりです。

(1) 傾きが２，切片が−１

ａ＝２，ｂ＝−１だから、
ｙ＝２ｘ−１


(2) 傾きが−３，切片が２７

ａ＝−３，ｂ＝２７だから、
ｙ＝−３ｘ＋２７


(3) 傾きが２で、(０，５)を通る

(０，５)を通るということは、ｂ＝５です。

ｙ＝２ｘ＋５


(4) ｘが１増えたときのｙの増加量が−１で、(０，２)を通る

ｘが１増えたときのｙの増加量は傾きです。つまり、ａ＝−１です。
(０，２)を通ることから、ｂ＝２がわかります。

ｙ＝−ｘ＋２

(5) ｙ＝−３ｘ＋８に平行で、(０，−４)を通る

平行な直線は増え方減り方が一緒だから、傾きが同じです。つまり、求める直線の傾きも−３です。だからａ＝−３です。
(０，−４)を通ることから、ｂ＝−４がわかります。

ｙ＝−３ｘ−４


次の５問


１次関数まとめ


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中学数学「１次関数」２直線の交点を求める問題�B

中学数学「１次関数」２直線の交点を求める問題�B

◆問題

２直線の交点の座標を求めよ。

(1)〜(3)はこちら

(4)〜(7)はこちら

(8) ｙ＝−３ｘ＋１，ｙ＝２ｘ

(9) ｙ＝１２ｘ−２，ｙ＝−２ｘ＋５

(10) ｙ＝−３ｘ＋１，ｙ＝１３ｘ−４


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◆解答

２直線の交点は、２つの直線を同時に満たすｘ，ｙだから、
２直線の式を連立方程式として解けば求めることができます。

今回は解き方は(1)〜(3)と同じですが、どこかに分数が含まれる問題としてみました。

(8) ｙ＝−３ｘ＋１，ｙ＝２ｘ

２直線の右辺同士をイコールで結んで、
　−３ｘ＋１＝２ｘ
−３ｘ−２ｘ＝−１
　　　−５ｘ＝−１
　　　　　ｘ＝１５

ｘ＝１５をｙ＝２ｘに代入して、
ｙ＝２×１５
ｙ＝２５

よって、求める座標は(１５，２５)


(9) ｙ＝１２ｘ−２，ｙ＝−２ｘ＋５

右辺同士をイコールで結んで、
１２ｘ−２＝−２ｘ＋５
　ｘ−４＝−４ｘ＋１０
ｘ＋４ｘ＝１０＋４
　　５ｘ＝１４
　　　ｘ＝１４５

ｘ＝１４５を、ｙ＝−２ｘ＋５に代入して、
ｙ＝−２×１４５＋５
ｙ＝−２８５＋２５５
ｙ＝−３５

よって、求める座標は、(１４５，−３５)


(10) ｙ＝−３ｘ＋１，ｙ＝１３ｘ−４

右辺同士をイコールで結んで、
−３ｘ＋１＝１３ｘ−４
−９ｘ＋３＝ｘ−１２
−９ｘ−ｘ＝−１２−３
　−１０ｘ＝−１５
　　　　ｘ＝１５１０
　　　　ｘ＝３２

ｘ＝３２をｙ＝−３ｘ＋１に代入して、
ｙ＝−３×３２＋１
ｙ＝−９２＋２２
ｙ＝−７２

よって、求める座標は(３２，−７２)


(1)に戻る


１次関数まとめ


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中学数学「１次関数」２直線の交点を求める問題�A

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◆問題

２直線の交点の座標を求めよ。

(1)〜(3)

(4) ｙ＝ｘ＋２とｘ軸

(5) ｙ＝−３ｘ−８とｙ軸

(6) ｙ＝２ｘ＋２とｘ＝−４

(7) ｙ＝２ｘ＋２とｙ＝−４


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◆解答

２直線の交点は、２つの直線を同時に満たすｘ，ｙだから、
２直線の式を連立方程式として解けば求めることができます。

今回の４問も基本的にはこの考えですが、問題の条件から、もっと簡単に考えることができます。

(4) ｙ＝ｘ＋２とｘ軸
ｘ軸上はｙ＝０だから、１次関数の式にｙ＝０を代入します。

０＝ｘ＋２
ｘ＝−２

よって、求める座標は(−２，０)


(5) ｙ＝−３ｘ−８とｙ軸
ｙ軸上はｘ＝０だから、１次関数の式にｘ＝０を代入します。

ｙ＝−８

よって、求める座標は(０，−８)


(6) ｙ＝２ｘ＋２とｘ＝−４
ｘ＝−４とあるので、その通りに代入します。

ｙ＝２×(−４)＋２
ｙ＝−８＋２
ｙ＝−６

よって、求める座標は(−４，２)


(7) ｙ＝２ｘ＋２とｙ＝−４
ｙ＝−４とあるので、その通りに代入します。

　−４＝２ｘ＋２
−２ｘ＝２＋４
−２ｘ＝６
　　ｘ＝−３

よって、求める座標は(−３，−４)


次の３問


１次関数まとめ


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中学数学「１次関数」２直線の交点を求める問題�@

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◆問題

２直線の交点の座標を求めよ。

(1) ｙ＝ｘ＋２，ｙ＝−ｘ−４

(2) ｙ＝ｘ＋２，ｙ＝２ｘ−４

(3) ｙ＝−３ｘ−８，ｙ＝２ｘ＋２


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◆解答

２直線の交点は、２つの直線を同時に満たすｘ，ｙだから、
２直線の式を連立方程式として解けば求めることができます。

さらに、２直線がｙ＝●●の形で表されているなら、ｙが等しいので、右辺同士をイコールで結ぶことができます。


(1) ｙ＝ｘ＋２，ｙ＝−ｘ−４

ｘ＋２＝−ｘ−４
ｘ＋ｘ＝−４−２
　２ｘ＝−６
　　ｘ＝−３

ｙ＝−３＋２
ｙ＝−１

よって交点の座標は(−３，−１)


(2) ｙ＝ｘ＋２，ｙ＝２ｘ−４

　ｘ＋２＝２ｘ−４
ｘ−２ｘ＝−４−２
　　−ｘ＝−６
　　　ｘ＝６

ｙ＝６＋２
ｙ＝８

よって、交点の座標は(６，８)


(3) ｙ＝−３ｘ−８，ｙ＝２ｘ＋２

　−３ｘ−８＝２ｘ＋２
−３ｘ−２ｘ＝２＋８
　　　−５ｘ＝１０
　　　　　ｘ＝−２

ｙ＝２×(−２)＋２
ｙ＝−４＋２
ｙ＝−２

よって、交点の座標は(−２，−２)


次の４問


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中学数学「１次関数」２点の座標がわかっていて式を求める問題�A

中学数学「１次関数」２点の座標がわかっていて式を求める問題�A

◆問題

次の条件を満たす１次関数の式を求めよ。

(1) 原点Ｏと点Ａ(１，２)を通る

(2) 点Ａ(１，２)と点Ｂ(３，８)の２点を通る

(3) 点Ａ(１，２)と点Ｃ(−２，５)の２点を通る

(4) 点Ｂ(３，８)と点Ｃ(−２，５)の２点を通る

(5) 点Ｃ(−２，５)と点Ｄ(３，０)の２点を通る

(6) 点Ｂ(３，８)と点Ｄ(３，０)の２点を通る

(7) 点Ｄ(３，０)と点Ｅ(０，５)の２点を通る

(8) 点Ａ(１，２)と点Ｅ(０，５)の２点を通る

(9) 原点と点Ｄ(３，０)を通る

(10) 点Ａ(１，２)と点Ｆ(−３，４)を通る


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(6)〜(10)の解答解説はこのページ下


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◆解答

１次関数は、ｙ＝ａｘ＋ｂで表すことができます。ｘ，ｙは座標、ａは傾き、ｂは切片です。
与えられた条件をこの式に代入して計算すれば、ａ，ｂの値がわかり、式を求めることができます。

今回は２点の座標が与えられています。
２点の座標がわかっているなら、それぞれの座標をｙ＝ａｘ＋ｂに代入して、式を２つ作り、それらの連立方程式を解くことでａ，ｂの値を求めて、１次関数の式を求めることができます。

ただし、条件次第では、連立方程式を作るまでもなかったり、別の方法が適している場合もあります。

(6) 点Ｂ(３，８)と点Ｄ(３，０)の２点を通る
２点のｘ座標が等しいので、ｙ軸に平行な直線だから、

ｘ＝３


(7) 点Ｄ(３，０)と点Ｅ(０，５)の２点を通る
点Ｅはｙ軸上の点だから、(０，５)より、ｂ＝５がわかる。
点Ｄより、ｘ＝３，ｙ＝０もわかっている。

これらをｙ＝ａｘ＋ｂに代入して、
０＝３ａ＋５
−３ａ＝５
　　ａ＝−５３

よって、求める１次関数の式は、ｙ＝−５３ｘ＋５


(8) 点Ａ(１，２)と点Ｅ(０，５)の２点を通る
(7)と同様に、ｙ切片がわかっているので、
ｙ＝ａｘ＋ｂに、ｘ＝１，ｙ＝２，ｂ＝５を代入して、
２＝ａ＋５
ａ＝２−５
ａ＝−３

よって、求める１次関数の式は、ｙ＝−３ｘ＋５


(9) 原点と点Ｄ(３，０)を通る
２点のｙ座標が等しいので、ｘ軸に平行な直線になる。

ｙ＝０


(10) 点Ａ(１，２)と点Ｆ(−３，４)を通る
これは連立方程式にして解くのが適している。

ｙ＝ａｘ＋ｂに(１，２)を代入して、
２＝ａ＋ｂ　・・・�@

ｙ＝ａｘ＋ｂに(−３，４)を代入して、
４＝−３ａ＋ｂ　・・・�A

�@−�Aより、

４ａ＝−２
　ａ＝−２÷４
　ａ＝−１２・・・�B

�Bを�@に代入して、
−１２＋ｂ＝２
　　ｂ＝２＋１２
　　ｂ＝５２

よって、ａ＝−１２，ｂ＝５２だから、求める１次関数の式は、ｙ＝−１２ｘ＋５２


(1)〜(5)に戻る


１次関数まとめ


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中学数学「１次関数」２点の座標がわかっていて式を求める問題�@

中学数学「１次関数」２点の座標がわかっていて式を求める問題�@

◆問題

次の条件を満たす１次関数の式を求めよ。

(1) 原点Ｏと点Ａ(１，２)を通る

(2) 点Ａ(１，２)と点Ｂ(３，８)の２点を通る

(3) 点Ａ(１，２)と点Ｃ(−２，５)の２点を通る

(4) 点Ｂ(３，８)と点Ｃ(−２，５)の２点を通る

(5) 点Ｃ(−２，５)と点Ｄ(３，０)の２点を通る


この問題の印刷用pdf→中２＿１次関数の式＿２点から.pdf


↓解答解説はこのページ下↓


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◆解答

１次関数は、ｙ＝ａｘ＋ｂで表すことができます。ｘ，ｙは座標、ａは傾き、ｂは切片です。
与えられた条件をこの式に代入して計算すれば、ａ，ｂの値がわかり、式を求めることができます。

今回は２点の座標が与えられています。
２点の座標がわかっているなら、それぞれの座標をｙ＝ａｘ＋ｂに代入して、式を２つ作り、それらの連立方程式を解くことでａ，ｂの値を求めて、１次関数の式を求めることができます。


(1) 原点Ｏと点Ａ(１，２)を通る
原点を通る直線は比例なので、ｙ＝ａｘにＡ(１，２)を入れると考えるのが標準的です。
でも、２つの式を作って連立すると考えても解けます。

原点Ｏの座標は(０，０)だから、これをｙ＝ａｘ＋ｂに代入して、
０＝０ａ＋ｂより、ｂ＝０　・・・�@

(１，２)をｙ＝ａｘ＋ｂに代入して、
２＝ａ＋ｂ　・・・�A

�@を�Aに代入して、
２＝ａ

よって、ａ＝２，ｂ＝０だから、求める１次関数の式は、ｙ＝２ｘ


(2) 点Ａ(１，２)と点Ｂ(３，８)の２点を通る
ｙ＝ａｘ＋ｂに(１，２)を代入して、
２＝ａ＋ｂ　・・・�@

ｙ＝ａｘ＋ｂに(３，８)を代入して、
８＝３ａ＋ｂ　・・・�A

�A−�@より、
６＝２ａ
ａ＝３　・・・�B

�Bを�@に代入して、
２＝３＋ｂ
ｂ＝２−３
ｂ＝−１

よって、ａ＝３，ｂ＝−１だから、求める１次関数の式は、ｙ＝３ｘ−１


(3) 点Ａ(１，２)と点Ｃ(−２，５)の２点を通る
ｙ＝ａｘ＋ｂに(１，２)を代入して、
２＝ａ＋ｂ　・・・�@

ｙ＝ａｘ＋ｂに(−２，５)を代入して、
５＝−２ａ＋ｂ　・・・�A

�@−�Aより、
３ａ＝−３
　ａ＝−１　・・・�B

�Bを�@に代入して、
２＝−１＋ｂ
ｂ＝２＋１
ｂ＝３

よって、ａ＝−１，ｂ＝３だから、求める１次関数の式は、ｙ＝−ｘ＋３


(4) 点Ｂ(３，８)と点Ｃ(−２，５)の２点を通る
ｙ＝ａｘ＋ｂに(３，８)を代入して、
８＝３ａ＋ｂ　・・・�@

ｙ＝ａｘ＋ｂに(−２，５)を代入して、
５＝−２ａ＋ｂ　・・・�A

�@−�Aより
５ａ＝３
　ａ＝３５　・・・�B

�Bを�Aに代入して、
５＝−２×３５＋ｂ
ｂ＝５＋６５
ｂ＝３１５

よって、ａ＝３５，ｂ＝３１５だから、求める１次関数の式は、ｙ＝３５ｘ＋３１５


(5) 点Ｃ(−２，５)と点Ｄ(３，０)の２点を通る
ｙ＝ａｘ＋ｂに(−２，５)を代入して、
５＝−２ａ＋ｂ　・・・�@

ｙ＝ａｘ＋ｂに(３，０)を代入して、
０＝３ａ＋ｂ　・・・�A

�@−�Aより、
−５ａ＝５
　　ａ＝−１　・・・�B

�Bを�Aに代入して、
０＝３×(−１)＋ｂ
ｂ＝３

よって、ａ＝−１，ｂ＝３だから、求める１次関数の式は、ｙ＝−ｘ＋３


次の５問


１次関数まとめ


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中学数学「１次関数」傾きがわかっていて式を求める問題�A

中学数学「１次関数」傾きがわかっていて式を求める問題�A

◆問題

次の条件を満たす１次関数の式を求めよ。


(1)〜(6)はこちら(傾きが与えられている場合)


(7) ｙ＝２ｘ−１に平行で、点(５，０)を通る

(8) ｙ＝１３ｘ−１０に平行で、原点を通る

(9) ｙ＝−８ｘ−１０３に平行で、点(３，１)を通る

(10) ｙ＝ｘ＋ｂに平行で、点(ｓ，ｔ)を通る


この問題の印刷用pdf→中２１次関数の式＿傾きと点.pdf


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◆解答

１次関数は、ｙ＝ａｘ＋ｂで表すことができます。ｘ，ｙは座標、ａは傾き、ｂは切片です。
与えられた条件をこの式に代入して計算すれば、ａ，ｂの値がわかり、式を求めることができます。

今回の問題は全て、求める直線に平行な直線の式がわかっています。
平行な直線は傾きが等しいので、つまりは、前回の問題と同様に、傾きと通る点の座標がわかっていることになります。
つまり、ａ，ｘ，ｙの３つの値がわかっているので、これらの値をｙ＝ａｘ＋ｂに代入して、残ったｂについて解けばＯＫです！


(7) ｙ＝２ｘ−１に平行で、点(５，０)を通る
ｙ＝２ｘ−１に平行ということは、求める直線の傾きも２です。だから、

ｙ＝ａｘ＋ｂに、ａ＝２，ｘ＝５，ｙ＝０を代入して

０＝２×５＋ｂ
ｂ＝−１０

よって、ｙ＝２ｘ−１０


(8) ｙ＝１３ｘ−１０に平行で、原点を通る
ｙ＝ａｘ＋ｂに、ａ＝１３，ｘ＝０，ｙ＝０を代入して、

０＝１３×０＋ｂ
ｂ＝０

よって、ｙ＝１３ｘ

ちなみにこの問題は、「原点を通る」ことから、比例であると考えて、いきなりｙ＝１３ｘと求めることができます。


(9) ｙ＝−８ｘ−１０３に平行で、点(３，１)を通る
ｙ＝ａｘ＋ｂに、ａ＝−８，ｘ＝３，ｙ＝１を代入して、

１＝−８×３＋ｂ
ｂ＝１＋２４
ｂ＝２５

よって、ｙ＝−８ｘ＋２５


(10) ｙ＝ｘ＋ｂに平行で、点(ｓ，ｔ)を通る

座標が文字で与えられていますが、数字の場合と同様にやれば問題ありません！

ｙ＝ａｘ＋ｂに、ａ＝１，ｘ＝ｓ，ｙ＝ｔを代入して、

ｔ＝１×ｓ＋ｂ
ｂ＝ｔ−ｓ

よって、ｙ＝ｘ＋ｔ−ｓ


傾きがわかっていて式を求める問題�@に戻る


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中学数学「１次関数」傾きがわかっていて式を求める問題�@

中学数学「１次関数」傾きがわかっていて式を求める問題�@

◆問題

次の条件を満たす１次関数の式を求めよ。

(1) 点(１，０)を通り、傾きが２

(2) 点(−１，０)を通り、傾きが２

(3) 点(２，１)を通り、傾きが１

(4) 点(２，１)を通り、傾きが−１

(5) 点(−３，２)を通り、傾きが−２

(6) 点(−３，２)を通り、傾きが１２


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↓解答解説はお知らせの下↓


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◆解答解説

１次関数は、ｙ＝ａｘ＋ｂで表すことができます。ｘ，ｙは座標、ａは傾き、ｂは切片です。
与えられた条件をこの式に代入して計算すれば、ａ，ｂの値がわかり、式を求めることができます。

今回の問題は全て、傾きと通る点の座標がわかっています。
つまり、ａ，ｘ，ｙの３つの値がわかっているので、これらの値をｙ＝ａｘ＋ｂに代入して、残ったｂについて解けばＯＫです！

(1) 点(１，０)を通り、傾きが２
ｘ＝１，ｙ＝０，ａ＝２だから、

０＝２×１＋ｂ
ｂ＝−２

よって、ｙ＝２ｘ−２


(2) 点(−１，０)を通り、傾きが２
ｙ＝ａｘ＋ｂに、ｘ＝−１，ｙ＝０，ａ＝２を代入して、

０＝２×(−１)＋ｂ
ｂ＝２

よって、ｙ＝２ｘ＋２


(3) 点(２，１)を通り、傾きが１
ｙ＝ａｘ＋ｂにｘ＝２，ｙ＝１，ａ＝１を代入して、

１＝１×２＋ｂ
ｂ＝１−２
ｂ＝−１

よって、ｙ＝ｘ−１


(4) 点(２，１)を通り、傾きが−１
ｙ＝ａｘ＋ｂにｘ＝２，ｙ＝１，ａ＝−１を代入して、

１＝−１×２＋ｂ
ｂ＝１＋２
ｂ＝３

よって、ｙ＝−ｘ＋３


(5) 点(−３，２)を通り、傾きが−２
ｙ＝ａｘ＋ｂにｘ＝−３，ｙ＝２，ａ＝−２を代入してね

２＝−２×(−３)＋ｂ
ｂ＝２−６
ｂ＝−４

よって、ｙ＝−２ｘ−４


(6) 点(−３，２)を通り、傾きが１２
ｙ＝ａｘ＋ｂにｘ＝−３，ｙ＝２，ａ＝１２を代入して、

２＝１２×(−３)＋ｂ
ｂ＝２＋３２
ｂ＝７２

よって、ｙ＝１２ｘ＋７２


次の問題→平行な直線の場合


１次関数まとめ


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中学数学「連立方程式」連立方程式を解くときの基本的な流れ

中学数学「連立方程式」連立方程式を解くときの基本的な流れ

連立方程式の問題を解くときの、基本的な流れを説明しておきます。

�@連立方程式かどうか？
ｘ，ｙなど、文字が２つ(以上)ある方程式が２つ(以上)ならんでいれば、連立方程式として解きます。

�A代入法か加減法か？
連立方程式の主な解き方は、代入法と加減法の２つです。
片方または両方の式が、「ｘ＝●●」「ｙ＝●●」のように、左辺か右辺に文字が１つだけになっているならば、代入法が適しています。

２つの式のｘ，ｙなどの２つの文字が、左辺に固まっていたり、全体にばらけているなら加減法が適している場合が多いです。


以下、加減法の場合の基本的な流れを説明します。

�B式を変形する
文字の種類を減らすには、ｘかｙどちらかを差し引きゼロにしたいので、係数が同じになるように、２つの式に適切な数を掛けます。

�C１つの文字を消す
係数が同じになったら、２つの式を足すか引くかして、ちょうどプラマイゼロにして消します。

�D残った文字について解く
文字が１種類だけ残ったならば、あとは普通の１次方程式だから、残った式を、必要に応じて、両辺に何かを掛けたり割ったりして、残った文字の値を求めます。

�Eもう片方の文字の値を求める
１つの文字の値が出たら、そこまでのどれかの式に、その値を代入して、残りの文字の値を求めます。

�F答えを書く
全ての文字の値が出たら、それらの値を並べて書いて終わりです。


ちなみに、難しい問題では、�Bの式の変形のところが複雑になっています。
カッコがあったり、小数があったり、分数があったり・・・

でも、とにかく「�C１つの文字を消す」という方針を見失わずに計算すると、最終的に、何とか解けることもあると思います！
基本的なイメージがわかったら、あとは練習が必要です！


◆関連項目
基本的な解き方(加減法)、基本的な解き方(代入法)
基本的な計算
２点を通る直線の式(中学)


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