中学数学「文字式」分子に複数の項がある場合の計算

中学数学「文字式」分子に複数の項がある場合の計算

◆問題

次の計算をしなさい。

(1) ２５(１０ｘ＋２５ｙ)

(2) (８ａ−１２ｂ)÷４

(3) (２ｘ−４ｙ)÷２３

(4) ７(ａ−ｂ)−(４ａ＋６ｂ)

(5) ３(４ｘ−１３ｙ)−６(２ｘ−３ｙ)

(6) １５(２ｘ＋３ｙ)＋１３(５ｘ−２ｙ−１)

(7) ５ｘ−２ｙ３−−３ｘ＋７ｙ４


↓(7)の解答解説はお知らせの下↓

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◆解答解説

中２の内容ですが、中１のときとほとんど変わりません。
カッコがあればカッコを外して同類項同士を足し算・引き算する。というだけです。
文字が違うもの同士は、種類の違う数値なので、足したり引いたりできません。

(7) ５ｘ−２ｙ３−−３ｘ＋７ｙ４

まずは通分します。

＝２０ｘ−８ｙ１２−−９ｘ＋２１ｙ１２

あとは分子同士を足し算引き算・・・ですが、間がマイナスなので符号に注意です。
ここでは、先に間の符号をプラスにしてから計算してみます。

＝２０ｘ−８ｙ１２＋９ｘ−２１ｙ１２
＝２０ｘ−８ｙ−９ｘ＋２１ｙ１２
＝１１ｘ＋１３ｙ１２

これで完成です！

注意点としては、方程式のように、両辺に１２をかけて分母を消すことはできない。という点です。
これは方程式ではないので、１２倍すると、もとの式と値が変わってしまうので、不適切。というわけです。


次の問題→単項式のかけ算・割り算


正負の数・式の計算まとめ


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中学数学「文字式」カッコが２つで分数をかけている場合

中学数学「文字式」カッコが２つで分数をかけている場合

◆問題

次の計算をしなさい。

(1) ２５(１０ｘ＋２５ｙ)

(2) (８ａ−１２ｂ)÷４

(3) (２ｘ−４ｙ)÷２３

(4) ７(ａ−ｂ)−(４ａ＋６ｂ)

(5) ３(４ｘ−１３ｙ)−６(２ｘ−３ｙ)

(6) １５(２ｘ＋３ｙ)＋１３(５ｘ−２ｙ−１)


↓(6)の解答解説はお知らせの下↓

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◆解答解説

中２の内容ですが、中１のときとほとんど変わりません。
カッコがあればカッコを外して同類項同士を足し算・引き算する。というだけです。
文字が違うもの同士は、種類の違う数値なので、足したり引いたりできません。

(6) １５(２ｘ＋３ｙ)＋１３(５ｘ−２ｙ−１)

まずはカッコを外します。

１５×２ｘ＋１５×３ｙ＋１３×５ｘ−１３×２ｙ−１３×１
＝２ｘ５＋３ｙ５＋５ｘ３−２ｙ３−１３

通分して同類項をまとめます。

＝６ｘ１５＋９ｙ１５＋２５ｘ１５−１０ｙ１５−１３
＝３１１５ｘ−ｙ１５−１３


次の問題→分子に項が複数ある分数の場合


正負の数・式の計算まとめ


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中学数学「文字式」７(ａ−ｂ)−(４ａ＋６ｂ)など

中学数学「文字式」７(ａ−ｂ)−(４ａ＋６ｂ)など

◆問題

次の計算をしなさい。

(1) ２５(１０ｘ＋２５ｙ)

(2) (８ａ−１２ｂ)÷４

(3) (２ｘ−４ｙ)÷２３

(4) ７(ａ−ｂ)−(４ａ＋６ｂ)

(5) ３(４ｘ−１３ｙ)−６(２ｘ−３ｙ)


↓(4), (5)の解答解説はお知らせの下↓

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◆解答解説

中２の内容ですが、中１のときとほとんど変わりません。
カッコがあればカッコを外して同類項同士を足し算・引き算する。というだけです。
文字が違うもの同士は、種類の違う数値なので、足したり引いたりできません。

(4) ７(ａ−ｂ)−(４ａ＋６ｂ)

まずはカッコを外します。

＝７ａ−７ｂ−４ａ−６ｂ

同類項(文字の部分が同じ項)同士を足し算・引き算します。

＝７ａ−４ａ−７ｂ−６ｂ
＝３ａ−１３ｂ


(5) ３(４ｘ−１３ｙ)−６(２ｘ−３ｙ)

分数があってもやることは変わりません。まずはカッコを外します。

＝３×４ｘ−３×１３ｙ−６×２ｘ−６×(−３ｙ)
＝１２ｘ−ｙ−１２ｘ＋１８ｙ

同類項同士を足し算・引き算します。

＝１２ｘ−１２ｘ−ｙ＋１８ｙ

１２ｘから１２ｘを引いたらゼロです。だから消えてしまいます。

＝１７ｙ


説明を抜きにして計算式だけを書くと以下のようになります。

　３(４ｘ−１３ｙ)−６(２ｘ−３ｙ)
＝３×４ｘ−３×１３ｙ−６×２ｘ−６×(−３ｙ)
＝１２ｘ−ｙ−１２ｘ＋１８ｙ
＝１２ｘ−１２ｘ−ｙ＋１８ｙ
＝１７ｙ

次の問題→カッコが２つで係数が分数の場合


正負の数・式の計算まとめ


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中学数学「文字式」(８ａ−１２ｂ)÷４など

中学数学「文字式」(８ａ−１２ｂ)÷４など

◆問題

次の計算をしなさい。

(1) ２５(１０ｘ＋２５ｙ)

(2) (８ａ−１２ｂ)÷４

(3) (２ｘ−４ｙ)÷２３


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◆解答解説

中２の内容ですが、中１のときとほとんど変わりません。
カッコがあればカッコを外す。というだけです。
文字が違うもの同士は、種類の違う数値なので、足したり引いたりできません。

(1) ２５(１０ｘ＋２５ｙ)

カッコの中を先に足せれば足しますが、文字の部分が違うので足せません。
だからまずはカッコを外します。

＝２５×１０ｘ＋２５×２５ｙ
＝４ｘ＋１０ｙ

カッコを外しましたが、文字の部分が違うので、これ以上計算できません。これで終わりです。


(2) (８ａ−１２ｂ)÷４

今度は割り算ですが、やることは同じです。カッコを外します。

＝８ａ÷４−１２ｂ÷４
＝２ａ−３ｂ

やはり、文字の部分が違うので、これで終わりです。


(3) (２ｘ−４ｙ)÷２３

分数で割るときは、逆数をかけると考えます。

＝(２ｘ−４ｙ)×３２
＝２ｘ×２３−４ｙ×２３
＝３ｘ−６ｙ

やはりこれで終わりです。


次の問題→同類項がある場合


正負の数・式の計算まとめ


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中学数学「データの活用」１０人の第１，第３四分位数

中学数学「データの活用」１０人の第１，第３四分位数

◆問題
あるクイズ大会の予選問題の得点について問いに答えよ。

１問１点で５０問あった。

Ａチームの１０人の得点は

３０，３１，３５，３８，４０，４１，４２，４４，４４，４５

だった。

(1) Ａチームの得点の平均値を求めよ。

(2) Ａチームの得点の中央値を求めよ。

(3) Ａチームの得点の第１四分位数、第３四分位数を求めよ。


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◆解答解説

四分位数とは、データを順位に基づいて４つに分割した区切りの値です。

まず中央値でデータを半分に分けて、その下位半分と上位半分それぞれの中央値が第１四分位数、第３四分位数となります。

今回の10人の中央値は(2)で求めたように、４０．５点です。

それより下の５人と、それより上の５人にわけたときのそれぞれの中央値を考えます。

３０，３１，３５，３８，４０
４１，４２，４４，４４，４５

まずはこの２つのグループに分けます。

それぞれのグループは５人で奇数なので、ちょうど真ん中の順位の人がいますね。

３０，３１，３５，３８，４０
これの中央値は３５だから、第１四分位数は３５点です。

４１，４２，４４，４４，４５
これの中央値は４４だから、第３四分位数は４４点です。


次の問題→範囲、四分位範囲


◆関連項目
階級値、最頻値、中央値、四分位数
データの活用(資料の整理)まとめ


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中学数学「データの活用」１０人の中央値

中学数学「データの活用」１０人の中央値

◆問題
あるクイズ大会の予選問題の得点について問いに答えよ。

１問１点で５０問あった。

Ａチームの１０人の得点は

３０，３１，３５，３８，４０，４１，４２，４４，４４，４５

だった。

(1) Ａチームの得点の平均値を求めよ。

(2) Ａチームの得点の中央値を求めよ。

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◆解答解説

中央値は、順位が真ん中の値のことです。
今回の問題のように、全体の人数が偶数の場合は、中央に最も近い２つの値の平均値が中央値となります。

つまり、今回は５位と６位の平均です。
４０点と４１点ですね。

(４０＋４１)÷２＝４０．５

よって、中央値は４０．５点です。


次の問題→第１，第３四分位数


◆関連項目
階級値、最頻値、中央値
データの活用(資料の整理)まとめ


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中学数学「データの活用」１０人の平均値

中学数学「データの活用」１０人の平均値

◆問題
あるクイズ大会の予選問題の得点について問いに答えよ。

１問１点で５０問あった。

Ａチームの１０人の得点は

３０，３１，３５，３８，４０，４１，４２，４４，４４，４５

だった。

(1) Ａチームの得点の平均値を求めよ。


◆解答解説

どの単元の問題だとしても、平均(値)は、「合計÷人数(個数など)」です。

今回の問題では１０人なので、合計して１０で割ればＯＫです。

　(３０＋３１＋３５＋３８＋４０＋４１＋４２＋４４＋４４＋４５)÷１０
＝３９０÷１０
＝３９

よって平均値は３９点です。


次の問題→中央値


◆関連項目
階級値、最頻値、中央値、分散
データの活用(資料の整理)まとめ


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中学数学「データの活用まとめ」

中学数学「データの活用まとめ」

中学数学のデータの活用(資料の整理)に関する、このブログに掲載した解説・問題の一覧です。


◆　解説

平均値、中央値、最頻値

階級値

ヒストグラム

四分位数

範囲、四分位範囲

箱ひげ図


◆　問題

１０人の平均値



まだまだ追加していきます！
リクエストがあればお気軽にどうぞ！


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中学数学「空間図形」半球の表面積・体積

中学数学「空間図形」半球の表面積・体積

◆問題

半径が９ｃｍの半球について、次のものを求めよ。

(1) 表面積

(2) 体積


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◆解答解説

半球は、球をちょうど半分に切った立体です。


参考図

体積は、単に球を半分にすればＯＫですが、表面積は、切り口の円の面積を足すことを忘れないようにしましょう！


球の表面積・体積は、それぞれ公式に代入して計算します。

(1) 表面積

Ｓ＝４πｒ²に、ｒ＝９を代入して、

Ｓ＝４π×９²
　＝４π×８１

半球の曲面部分の面積は、この半分ですね。

よって、Ｓ_曲面＝４π×８１÷２＝１６２π

断面は半径が９ｃｍの円だから、Ｓ_断面＝π×９²＝８１π

これらの合計が表面積です。

１６２π＋８１π＝２４３πｃｍ³


(2) 体積

Ｖ＝(４／３)πｒ³に、ｒ＝９を代入して、半分にすればＯＫです。

Ｖ＝(４／３)π×９³÷２
　＝(２／３)π×７２９
　＝２π×２４３
　＝４８６π

よって、４８６πｃｍ³


球の表面積・体積
図形まとめ(中学)


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中学数学「空間図形」半径６ｃｍの球の表面積・体積

中学数学「空間図形」球の表面積・体積

◆問題

半径が６ｃｍの球について、次のものを求めよ。

(1) 表面積

(2) 体積


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◆解答解説

球の表面積・体積は、それぞれ公式に代入して計算します。

(1) 表面積

Ｓ＝４πｒ²に、ｒ＝６を代入して、

Ｓ＝４π×６²
　＝４π×３６
　＝１４４π

よって、１４４πｃｍ²

(2) 体積

Ｖ＝(４／３)πｒ³に、ｒ＝６を代入して、

Ｖ＝(４／３)π×６³
　＝(４／３)π×２１６
　＝２８８π

よって、２８８πｃｍ³


球の表面積・体積
図形まとめ(中学)


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中学数学「空間図形」球の表面積・体積

中学数学「空間図形」球の表面積・体積

ボールのように、どこから見ても円形に見える形が球です。

球の表面積Ｓは、半径ｒを用いて次の式で表されます。

Ｓ＝４πｒ²

そして、球の体積Ｖは、半径ｒを用いて次の式で表されます。

Ｖ＝４３πｒ³

面積は２乗、体積は３乗であることを意識して覚えましょう！


図形まとめ(中学)


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中学数学「文字式」計算の手順と注意点

中学数学「文字式」計算の手順と注意点

この記事では、中１数学の文字式の計算の手順と注意点について解説します。

文字式でも、基本的には正負の数とやることは変わりません。

つまり、

�@指数
�Aカッコ
�Bかけ算・割り算
�C足し算・引き算

の順にやっていきます。

でももちろん、文字が入ると少しややこしくなります。
その重要なポイントは、

数字と文字は足したり引いたりできない

という点です。

例えば、２ｘ＋３＝５ｘとはなりません。

「２ｘはｘが２個を意味していて、３は１が３個を意味している。これらを足しても、ｘが５個にはならない」

ですよね。

簡単に言えば「別々のものなので足せない」です。

それならどうするのかと言えば、「それで終わり」です。
計算した結果が「２ｘ＋３」になったなら、それ以上足せないから、それが答えです。


この点にだけ注意してもらえば、主な計算方法は、正負の数と同じです！


正負の数・式の計算まとめ


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中学数学「正負の数」計算の順番と注意点

中学数学「正負の数」計算の順番と注意点

この記事では、中１数学の正負の数の計算の順番について解説します。

計算の順番は、基本的に、

�@指数
�Aカッコ
�Bかけ算・割り算
�C足し算・引き算

の順にやっていきます。


�@指数
３²は、「３の２乗」で、「３×３」を意味します。

(−５)³なら、−５を３回かけることを意味します。つまり、
(−５)³＝(−５)×(−５)×(−５)＝−１２５

−０．１²なら、０．１を２回かけてからマイナスをつけます。
−０．１²＝−０．１×０．１＝−０．０１

(−０．１)²のように、カッコの外に２乗なら、カッコの中身の−０．１を２回かけます。
(−０．１)²＝(−０．１)×(−０．１)＝０．０１

このように、カッコのあるなしで、符号が変わることがあるので注意しましょう！


�Aカッコ
カッコがあれば、その中身を先に計算します。

カッコの外にもう一つカッコを使いたければ、中括弧{　}を使います。

例：
　３−{−２×(−５)}
＝３−(＋１０)
＝３−１０
＝−７

中括弧の中を先に計算して、カッコが１つになったので、小括弧(　)にしました。
そして、最後まで計算すると以上のようになります。


�Bかけ算・割り算
中学以上では、かけ算の×の記号のかわりに・を使ったり、文字式の計算では×を省略することも多いです。

−(−７)のカッコの前のマイナスと、カッコの間には×の記号が省略されていると考えることもできます。
「マイナスとマイナスはプラス」と考えるのが標準ですが、

−(−７)＝−１×(−７)＝７

このようにかけ算と捉えても同じです。


�C足し算・引き算
分数が含まれる場合は、この段階で通分します。
正の数・負の数の、数値の増加・減少に注意して計算しましょう！


正負の数・式の計算まとめ


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中学数学「文字式」ｘ＝−２のときの式の値(分母にｘ)

中学数学「文字式」ｘ＝−２のときの式の値(分母にｘ)

◆問題

ｘ＝−２のとき、次の式の値を求めよ。

(1) ｘ²＋１０ｘ

(2) ２４ｘ²


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◆解答解説

「式の値」とは、式の文字に数字を代入したときの計算結果です。
だから、与えられた値をとにかくｘに代入して計算すればＯＫです。
今回の問題では、分母にｘが入っていますが、特に変わりません。とにかく代入して計算です。

(1) ｘ²＋１０ｘ

ｘ＝−２を代入すると、

＝(−２)²＋１０−２
＝４−５
＝−１

(2) ２４ｘ²

ｘ＝−２を代入すると、

＝２４(−２)²
＝２４４
＝６


正負の数・式の計算まとめ


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中学数学「文字式」ｘ＝−４のときの式の値

中学数学「文字式」ｘ＝−４のときの式の値

◆問題

ｘ＝−４のとき、次の式の値を求めよ。

(1) (７ｘ−３)＋(−３ｘ−６)

(2) −４(ｘ＋２)−３(２ｘ−５)


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◆解答解説

「式の値」とは、式の文字に数字を代入したときの計算結果です。
だから、与えられた値をとにかくｘに代入して計算すればＯＫです。

ｘ＝−４のとき、次の式の値を求めよ。

(1) (７ｘ−３)＋(−３ｘ−６)

いきなりｘ＝−４を代入しても、もちろん問題ありませんが、式の計算をしてから代入した方が簡単になる場合が多いです。

＝７ｘ−３−３ｘ−６
＝４ｘ−９

ここまで変形してから、ｘ＝−４を代入します。

＝４×(−４)−９
＝−１６−９
＝−２５


(2) −４(ｘ＋２)−３(２ｘ−５)

こちらも同様に、式の計算をしてからｘ＝−４を代入してみます。

＝−４ｘ−８−６ｘ＋１５
＝−１０ｘ＋７

ここでｘ＝−４を代入します。

＝−１０×(−４)＋７
＝４０＋７
＝４７


正負の数・式の計算まとめ


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中学数学「文字式」−(４ｘ−８)−６(ｘ＋３)など

中学数学「文字式」−(４ｘ−８)−６(ｘ＋３)など

◆問題

次の計算をせよ。

(3) −(４ｘ−８)−６(ｘ＋３)

(4) ３４(１２ｘ−８)＋１２(６ｘ−４)


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◆解答解説

文字式でも、正負の数の計算と同様に、計算の順番は、基本的に、

�@指数
�Aカッコ
�Bかけ算・割り算
�C足し算・引き算

の順にやっていきます。

基本は正負の数と同じですが、
・文字は文字同士、数字は数字同士で計算すること
・方程式ではないので、移行したり、式全体に何かをかけたり割ったりはできないこと
にも注意しておきましょう！

(3) −(４ｘ−８)−６(ｘ＋３)

カッコがあるので、まずはカッコを外します。

＝−４ｘ＋８−６ｘ−１８

あとは同類項同士を足し算・引き算すればＯＫです！

＝−４ｘ−６ｘ＋８−１８
＝−１０ｘ−１０


(4) ３４(１２ｘ−８)＋１２(６ｘ−４)


係数が分数でも、やることは基本的には同じです。まずはカッコを外します。

＝３４×１２ｘ−３４×８＋１２×６ｘ＋１２×４
＝９ｘ−６＋３ｘ−２

あとはこれまでと同様に同類項をまとめて完成です！

＝１２ｘ−８


正負の数・式の計算まとめ


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中学数学「文字式」０．３ａ＋０．２−０．５ａ−０．８など

中学数学「文字式」０．３ａ＋０．２−０．５ａ−０．８など

◆問題

次の計算をせよ。

(1) ５ｘ＋３−４ｘ−８

(2) ０．３ａ＋０．２−０．５ａ−０．８


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◆解答解説

(1) ５ｘ＋３−４ｘ−８

(2) ０．３ａ＋０．２−０．５ａ−０．８

文字式でも、正負の数の計算と同様に、計算の順番は、基本的に、

�@指数
�Aカッコ
�Bかけ算・割り算
�C足し算・引き算

の順にやっていきます。

一つだけ注意点としては、文字は文字同士、数字は数字同士で計算する。ということです。

(1) ５ｘ＋３−４ｘ−８

ｘを含む項と、数字だけの項があるので、同じ種類の項をまとめます。

　５ｘ＋３−４ｘ−８
＝５ｘ−４ｘ＋３−８
＝ｘ−５


(2) ０．３ａ＋０．２−０．５ａ−０．８

小数がありますが、(1)とやることは同じです。同類項同士をまとめます。

　０．３ａ＋０．２−０．５ａ−０．８
＝０．３ａ−０．５ａ＋０．２−０．８
＝−０．２ａ−０．６


正負の数・式の計算まとめ


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中学数学「正負の数」４０÷{１６−(５−９)}

中学数学「正負の数」４０÷{１６−(５−９)}

◆問題

４０÷{１６−(５−９)}を計算せよ。


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◆解答解説

４０÷{１６−(５−９)}

計算の順番は、基本的に、

�@指数
�Aカッコ
�Bかけ算・割り算
�C足し算・引き算

の順にやっていきます。

計算の順番について詳しくはこちら

今回の問題では、中括弧{ }があります。

小括弧とも言う普通のカッコ( )がすでに使われていて、その外側にさらにカッコを使いたいときは中括弧{ }で書きます。
中括弧のはたらきは普通のカッコと同じです。

だから、基本的には、まず中括弧の中身を計算してから、次に残ったカッコの中身、そしてかけ算・割り算をやって、足し算・引き算。という順番になります。

まずは中括弧の中身を計算します。

　４０÷{１６−(５−９)}
＝４０÷{１６−(−４)}

マイナスとマイナスはプラスなので、

＝４０÷(１６＋４)
＝４０÷２０

そして割り算ですね。

＝２

これで完成です！


説明を抜きにして、式だけ書くと以下のようになります。(実際の計算式は以下のように書けばＯＫです)

　　４０÷{１６−(５−９)}
＝４０÷{１６−(−４)}
＝４０÷(１６＋４)
＝４０÷２０
＝２

正負の数・式の計算まとめ


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中学数学「正負の数」{３−(−１)}×(−２)−５

中学数学「正負の数」{３−(−１)}×(−２)−５

◆問題

{３−(−１)}×(−２)−５を計算せよ。


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◆解答解説

{３−(−１)}×(−２)−５

計算の順番は、基本的に、

�@指数
�Aカッコ
�Bかけ算・割り算
�C足し算・引き算

の順にやっていきます。

計算の順番について詳しくはこちら

今回の問題では、中括弧{ }があります。

小括弧とも言う普通のカッコ( )がすでに使われていて、その外側にさらにカッコを使いたいときは中括弧{ }で書きます。
中括弧のはたらきは普通のカッコと同じです。

だから、基本的には、まず中括弧の中身を計算してから、次に残ったカッコの中身、そしてかけ算・割り算をやって、足し算・引き算。という順番になります。

まずは中括弧の中身を計算します。

　{３−(−１)}×(−２)−５
＝(３＋１)×(−２)−５
＝４×(−２)−５

次はかけ算ですね。

＝−８−５

そしてこれら２つの数をまとめて、

＝−１３

これで完成です！


説明を抜きにして、式だけ書くと以下のようになります。(実際の計算式は以下のように書けばＯＫです)

　{３−(−１)}×(−２)−５
＝(３＋１)×(−２)−５
＝４×(−２)−５
＝−８−５
＝−１３

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中学数学「正負の数」７＋(１１−４2)×２

中学数学「正負の数」７＋(１１−４²)×２

◆問題

７＋(１１−４²)×２を計算せよ。


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◆解答解説

７＋(１１−４²)×２

計算の順番は、基本的に、

�@指数
�Aカッコ
�Bかけ算・割り算
�C足し算・引き算

の順にやっていきます。

計算の順番について詳しくはこちら

まずは指数の部分を計算して、

　７＋(１１−４²)×２
＝７＋(１１−１６)×２

カッコの中身は引き算できるので、引いてみます。

＝７＋(−５)×２

続いてかけ算。

＝７−１０

そして最後に引き算。

＝−３

これで完成です！

説明を抜きにして、式だけ書くと以下のようになります。(実際の計算式は以下のように書けばＯＫです)

　７＋(１１−４²)×２
＝７＋(１１−１６)×２
＝７＋(−５)×２
＝７−１０
＝−３

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