高校数学「微分」双曲線の接線を導関数を用いて求める

高校数学「微分」双曲線の接線を導関数を用いて求める

■　問題

双曲線ｘ²１６−ｙ²８＝１上の点Ｐ(１２，８)における接線の方程式を求めよ。


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■　解答解説

接線の傾きは導関数です。
曲線のグラフの接線を考えると、場所によって傾きが変わります。その傾きを式で表すと導関数になる。ということができます。

今回の問題では、ｘ²１６−ｙ²８＝１の接線について考えるので、まずはこの双曲線の式の導関数を求めます。

２ｘ１６−２ｙ８ｙ'＝０
ｘ８−ｙ４ｙ'＝０

これをｙ'について解いて、

ｙ４ｙ'＝ｘ８
ｙ'＝ｘ８・４ｙ
　＝ｘ２ｙ

これに接点の座標を入れれば接線の傾きがわかりますね。

ｙ'＝１２２×８
　＝３４

つまり、求める接線は、傾きが３４，点Ｐ(１２，８)を通る直線です。

あとは直線の式ｙ−ｙ₁＝ｍ(ｘ−ｘ₁)に代入して計算すればＯＫです！

ｙ−８＝３４(ｘ−１２)
　　ｙ＝３４ｘ−９＋８
　　ｙ＝３４ｘ−１


◆関連項目
法線、接線
双曲線
楕円の接線・法線
微分積分(数学３)まとめ


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高校数学「微分」ｅx上の点Ｐにおける接線・法線

高校数学「微分」ｅ^x上の点Ｐにおける接線・法線

■　問題

ｙ＝ｅ^x上の点Ｐ(２，ｅ²)における接線と法線の方程式を求めよ。


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■　解答解説

接線の傾きは導関数です。
曲線のグラフの接線を考えると、場所によって傾きが変わります。その傾きを式で表すと導関数になる。ということができます。

今回の問題では、ｙ＝ｅ^xの接線・法線について考えるので、まずはｙ＝ｅ^xの導関数を求めます。

ｙ'＝ｅ^x

ですね。
これが接線の傾きを表します。
Ｐのｘ座標は２なので、これを代入すると、ｍ＝ｅ²です。

次に法線の傾きを考えておきましょう！

法線は接線の垂線です。
傾きｍの直線と垂直な直線の傾きをｍ'とすると、ｍｍ'＝−１の関係が成り立ちます。
だから、法線の傾きは、

ｅ²・ｍ'＝−１
　　ｍ'＝−１ｅ²

ですね！
これで接線と法線の傾きがわかりました。
通る点の座標はわかっているので、あとは直線の式ｙ−ｙ₁＝ｍ(ｘ−ｘ₁)に代入して計算すればＯＫです！

(i) 接線
ｍ＝ｅ²，(２，ｅ²)を代入して、
ｙ−ｅ²＝ｅ²(ｘ−２)
　　ｙ＝ｅ²ｘ−２ｅ²＋ｅ²
　　ｙ＝ｅ²ｘ−ｅ²

(ii) 法線
ｍ＝−１ｅ²，(２，ｅ²)を代入して、
ｙ−ｅ²＝−１ｅ²(ｘ−２)
　　ｙ＝−１ｅ²ｘ＋２ｅ²＋ｅ²


◆関連項目
法線、接線
楕円の接線・法線
微分積分(数学３)まとめ


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高校数学「平面上の曲線」媒介変数表示→ｘ，ｙの関係式�A

高校数学「平面上の曲線」媒介変数表示→ｘ，ｙの関係式�A

■　問題

次の媒介変数表示で示された曲線を、ｘ，ｙの関係式で表し、どのような曲線を表すか求めよ。

(1)
ｘ＝２ｔ＋１　・・・�@
ｙ＝４ｔ²−２ｔ　・・・�A

(2)
ｘ＝３ｃｏｓθ−２　・・・�@
ｙ＝３ｓｉｎθ＋１　・・・�A


解答解説はこのページ下


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■　解答解説

基本的な方針は(1)と同じです。
今回はｘ，ｙがθで表されているので、θを消去するという方針です。
とは言っても、�@，�Aの式どちらも、「θ＝●●」の形にするのは難しそうなので、三角関数の公式を用いることを考えます。

今回の問題の条件だとしても、それ以外の条件だとしても、公式は常に成り立つはずです。
ならば、今回の条件から、ｃｏｓθとｓｉｎθを表せば、それらを公式に代入することで、θを消去することができる。というわけです。

では、まずは�@の式をｃｏｓθについて解いてみましょう！

　　　ｘ＝３ｃｏｓθ−２
３ｃｏｓθ＝ｘ＋２
　ｃｏｓθ＝(ｘ＋２)／３

続いて、�Aの式をｓｉｎθについて解きます。

ｙ＝３ｓｉｎθ＋１
３ｓｉｎθ＝ｙ−１
　ｓｉｎθ＝(ｙ−１)／３

これでｃｏｓθとｓｉｎθがわかったので、これらの関係を表す公式を使えばよいです。

ｓｉｎ²θ＋ｃｏｓ²θ＝１

という三角関数の相互関係の公式がありますね。
これに、今回の条件からわかった値(式)を代入して整理すればＯＫというわけです。

(ｙ−１３)²＋(ｘ＋２３)²＝１

両辺に９をかけて、

(ｘ＋２)²＋(ｙ−１)²＝９

この形は円ですね！

よって求める曲線は、「(ｘ＋２)²＋(ｙ−１)²＝９の円」です。


(1)に戻る→放物線の場合


◆関連項目
平面上の曲線まとめ


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高校数学「平面上の曲線」媒介変数表示→ｘ，ｙの関係式�@

高校数学「平面上の曲線」媒介変数表示→ｘ，ｙの関係式�@

■　問題

次の媒介変数表示で示された曲線を、ｘ，ｙの関係式で表し、どのような曲線を表すか求めよ。

(1)
ｘ＝２ｔ＋１　・・・�@
ｙ＝４ｔ²−２ｔ　・・・�A


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■　解答解説

ｘ，ｙがｔで表されているので、ｔを消去すればＯＫです！

まずは�@の式をｔについて解いてみましょう！

ｘ＝２ｔ＋１
−２ｔ＝−ｘ＋１
　　ｔ＝−ｘ＋１−２
　　ｔ＝ｘ−１２

これを�Aの式に代入します。

ｙ＝４(ｘ−１２)²−２・ｘ−１２
　＝４・ｘ²−２ｘ＋１４−ｘ＋１
　＝ｘ²−２ｘ＋１−ｘ＋１
　＝ｘ²−３ｘ＋２

これは放物線ですね。
答えとしては、「放物線ｙ＝ｘ²−３ｘ＋２」となります！


次の問題→ｘ＝３ｃｏｓθ−２，ｙ＝３ｓｉｎθ＋１


◆関連項目
平面上の曲線まとめ


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高校数学「平面上の曲線」放物線：ｙ2＝４ｘと直線：ｙ＝ｋｘ＋ｋ＋１の共有点の個数�A

高校数学「平面上の曲線」放物線：ｙ²＝４ｘと直線：ｙ＝ｋｘ＋ｋ＋１の共有点の個数�A

◆問題
次の放物線と直線の共有点の個数を求めよ。

放物線：ｙ²＝４ｘ，直線：ｙ＝ｋｘ＋ｋ＋１


�@はこちら
この記事は�@の続きです。

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◆解答・解説

�@で、とりあえず判別式を使って共有点が１つの場合のｋを求めました。

この記事では、そのほかの場合も考察していきます。

まず直線の式はｙ＝ｋｘ＋ｋ＋１だから、ｋ＝０のときｙ＝１となり、放物線との共有点は１つとなります。

ｋ＝−１±√５２のとき共有点は１つ、つまり接するのだから、この場合よりも内側を通れば共有点は２つ、外側を通れば共有点なし。というイメージになります。

つまり、

−１−√５２＜ｋ＜−１＋√５２のとき、共有点２つ
ですが、ｋ＝０のときは共有点１つなので、それを除外して、
−１−√５２＜ｋ＜０，０＜ｋ＜−１＋√５２のとき、共有点２つ


ｋ＜−１−√５２，ｋ＞−１＋√５２のとき、共有点なし

まとめると、

−１−√５２＜ｋ＜０，０＜ｋ＜−１＋√５２のとき、共有点２つ

ｋ＝−１±√５２，ｋ＝０のとき共有点１つ

ｋ＜−１−√５２，ｋ＞−１＋√５２のとき、共有点なし

となります！


�@に戻る放物線
平面上の曲線まとめ


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高校数学「平面上の曲線」放物線：ｙ2＝４ｘと直線：ｙ＝ｋｘ＋ｋ＋１の共有点の個数�@

高校数学「平面上の曲線」放物線：ｙ²＝４ｘと直線：ｙ＝ｋｘ＋ｋ＋１の共有点の個数�@

◆問題
次の放物線と直線の共有点の個数を求めよ。

放物線：ｙ²＝４ｘ，直線：ｙ＝ｋｘ＋ｋ＋１


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◆解答・解説

「平面上の曲線」の単元でも、共有点の個数を調べるときは、数学１の２次関数の場合と基本的には同様です。
つまり、２つの式を合成して判別式です。

放物線：ｙ²＝４ｘ，直線：ｙ＝ｋｘ＋ｋ＋１

直線の式をｘについて解いて、放物線の式に代入します。

ｙ＝ｋｘ＋ｋ＋１
ｋｘ＝ｙ−ｋ−１
　ｘ＝(ｙ−ｋ−１)／ｋ

これをｙ²＝４ｘに代入して、

ｙ²＝４(ｙ−ｋ−１)／ｋ
ｋｙ²＝４ｙ−４ｋ−４
ｋｙ²−４ｙ＋４ｋ＋４＝０

Ｄ＝(−４)²−４・ｋ・(４ｋ＋４)
　＝１６−１６ｋ²−１６ｋ

まずは接するときを考えます。

Ｄ＝０のとき接するのは、普通の２次関数と同じです。

１６−１６ｋ²−１６ｋ＝０
ｋ²＋ｋ−１＝０

これを解いて、ｋ＝−１±√５２

まず、この場合は共有点は１個ですね。


続きはこちら


◆関連項目
放物線
平面上の曲線まとめ


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高校数学「確率統計」１個のさいころを３０００回なげるとき

高校数学「確率統計」１個のさいころを３０００回なげるとき

◆問題

１個のさいころを３０００回投げるとき、１の目が出る回数Ｘの平均Ｅ(Ｘ)と標準偏差σ(Ｘ)を求めよ。


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◆解答解説

今回の問題では、さいころを３０００回繰り返して投げる。という試行を行います。

１個のさいころを投げて１が出る確率は１／６ですね。

つまり、このＸの確率分布は二項分布(３０００，１／６)に従う。ということができます。

Ｅ(Ｘ)＝ｎｐ，σ(Ｘ)＝√(ｎｐｑ)にそれぞれ代入すると、

Ｅ(Ｘ)＝３０００×１／６＝５００

σ(Ｘ)＝√{３０００・(１／６)・(１−１／６)}
　　＝√{３０００・(１／６)・(５／６)}
　　＝√(２５００／６)
　　＝√(１２５０／３)
　　＝２５√(２／３)
　　＝２５√６／３

類題→１個のさいころを１０回投げるときの平均と標準偏差


◆関連項目
確率変数Ｘが二項分布Ｂ(５，１／６)に従うとき
赤球３個と白球１個を１００回の場合
確率統計まとめ


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高校数学「確率統計」信頼区間の幅を４点以下に

高校数学「確率統計」信頼区間の幅を４点以下に

◆問題
ある検定試験の母標準偏差σは１５であるとする。この試験の母平均ｍを信頼度９５％で推定するとき、信頼区間の幅を４点以下にするには、標本の大きさを少なくともいくらにすればよいか求めよ。


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◆解答解説

信頼度９５％の信頼区間の幅は、２・１．９６・σ／√ｎですね。
これが４以下になる。という条件で式を作ればよいです。

σ＝１５だから、信頼区間の幅は、

２・１．９６・１５／√ｎ＝５８．８／√ｎ

ですね。
これが４以下だから、

５８．８／√ｎ≦４
　５８．８≦４√ｎ
　　√ｎ≧１４．７
　　　ｎ≧１４．７²＝２１６．０９

標本の大きさは整数なので、少なくとも２１７にすればよい。とわかりますね！


類題→信頼区間の幅が０．４以下になる場合


◆関連項目
正規分布表、信頼区間
確率統計まとめ


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高校数学「確率統計」信頼度９５％の信頼区間の推定�A

高校数学「確率統計」信頼度９５％の信頼区間の推定�A

◆問題
ある工場で作っている部品から４００本を無作為に抜き出して、その長さを調べたところ、平均が１５．４５ｃｍ、標準偏差が０．５５ｃｍであったという。この部品の平均の長さを信頼度９５％で推定せよ。


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◆解答解説

要するに、信頼度９５％の信頼区間を求めればＯＫです。

信頼度９５％なので、１．９６×σ／√ｎを計算します。

σ＝０．５５，ｎ＝４００だから、
　１．９６×０．５５／√４００
＝１．０７８／２０
＝０．０５３９

平均から信頼区間の両端までの距離がこの値だから、求める信頼区間は、

　[１５．４５−０．０５３９，１５．４５＋０．０５３９]
＝[１５．３９６１，１５．５０３９]

あとは必要に応じて概数にします。
桁数の指定がありませんが、与えられた数字に合わせると、小数第３位を四捨五入するのが標準的だと思います。

≒[１５．４０，１５．５０]


前の問題→平均７１．７、標準偏差１９．４の場合


◆関連項目
正規分布表
確率統計まとめ


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高校数学「平面上の曲線」放物線の方程式を求める�A

高校数学「平面上の曲線」放物線の方程式を求める�A

◆問題
次の条件を満たす放物線の方程式を求めよ。

(1) 焦点(−２，０)，準線ｘ＝２

(2) 焦点(０，３)，準線ｙ＝−３


↓↓(2)の解答解説はお知らせの下↓↓

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◆解答・解説

焦点(０，ｐ)，準線ｙ＝−ｐの放物線は、ｘ²＝４ｐｙで表されます。
焦点・準線がｙ座標の場合はこっちですね。

今回の問題では、焦点(０，３)，準線ｙ＝−３だから、ｐ＝３ですね。

ｘ²＝４ｐｙにｙ＝３を代入して、

ｘ²＝４×３×ｙ
ｘ²＝１２ｙ


(1)に戻る→焦点(−２，０)，準線ｘ＝２の場合


◆関連項目
放物線
平面上の曲線まとめ


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高校数学「平面上の曲線」放物線の方程式を求める�@

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◆問題
次の条件を満たす放物線の方程式を求めよ。

(1) 焦点(−２，０)，準線ｘ＝２


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◆解答・解説

焦点(ｐ，０)，準線ｘ＝−ｐの放物線は、ｙ²＝４ｐｘで表されます。

今回の問題では、焦点(−２，０)，準線ｘ＝２だから、ｐ＝−２ですね。

ｙ²＝４ｐｘにｐ＝−２を代入して、

ｙ²＝４×(−２)×ｘ
ｙ²＝−８ｘ


次の問題→焦点(０，ｐ)，準線ｙ＝−ｐの場合


◆関連項目
放物線
平面上の曲線まとめ


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高校数学「平面上の曲線」放物線の焦点と準線�A

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◆問題
次の放物線の焦点、準線を求めよ。

(1) ｙ²＝６ｘ

(2) ｘ²＝−ｙ


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◆解答・解説

今回の放物線の式は、ｘ²＝−ｙです。
これは少し変形すれば、数学１で登場した簡単な２次関数の形に変形できますが、
焦点と準線を求めるためには、

ｘ²＝４ｐｙ

の形します。このとき、焦点は(０，ｐ)，準線はｙ＝−ｐです。

与式をこの形に合わせると、

ｘ²＝４・(−１／４)・ｙ

となります。つまり、ｐ＝−１／４ですね。

というわけで、求める焦点と準線は、

(０，−１／４)，ｙ＝１／４

です。


(1)に戻る→(1) ｙ²＝６ｘ


◆関連項目
放物線
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高校数学「平面上の曲線」放物線の焦点と準線�@

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◆問題
次の放物線の焦点、準線を求めよ。

(1) ｙ²＝６ｘ


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◆解答・解説

「平面上の曲線」の単元での放物線は、

ｙ²＝４ｐｘで表され、焦点は(ｐ，０)，準線はｘ＝−ｐです。

今回の問題の式は、ｙ²＝６ｘだから、これをｙ²＝４ｐｘの形に合わせると、

ｙ²＝４・(３／２)・ｘ

となります。つまり、ｐ＝３／２ですね。

というわけで、求める焦点と準線は、

(３／２，０)，ｘ＝−３／２

です。


次の問題→ｘ²＝４ｐｙのとき


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放物線
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高校数学「平面上の曲線」双曲線の接線

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◆問題

次の２次曲線上の点Ｐにおける接線の方程式を求めよ。

(1) ｙ²＝４ｘ，Ｐ(１，−２)

(2) ｘ²／２＋ｙ²／４＝１，Ｐ(１，−√２)

(3) ｘ²／５−ｙ²／３＝−１，Ｐ(√５，√６)


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◆解答・解説

接線の方程式の求め方は、いくつかありますが、ここでは公式を使って求めてみます。

(3) ｘ²／５−ｙ²／３＝−１，Ｐ(√５，√６)

双曲線の接線の方程式も、円の接線と似ていて、

ｘ₁ｘ／ａ²−ｙ₁／ｂ²＝±１

この式で求めることができます。

今回は、ｘ₁＝√５，ｙ₁＝√６ですね。
これらを代入して、

√５・ｘ／５＋√６・ｙ／３＝−１
(√５／５)・ｘ−(√６／３)・ｙ＝−１

さらに変形することもできますが、これ以上変形してもあまり簡単にならないので、これで終わりでＯＫだと思います！


(1)に戻る→放物線の場合


◆関連項目
双曲線
平面上の曲線まとめ


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高校数学「平面上の曲線」楕円の接線

高校数学「平面上の曲線」楕円の接線

◆問題

次の２次曲線上の点Ｐにおける接線の方程式を求めよ。

(1) ｙ²＝４ｘ，Ｐ(１，−２)

(2) ｘ²／２＋ｙ²／４＝１，Ｐ(１，−√２)


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◆解答・解説

接線の方程式の求め方は、いくつかありますが、ここでは公式を使って求めてみます。

(2) ｘ²／２＋ｙ²／４＝１，Ｐ(１，−√２)

楕円の接線の方程式は、円の接線と似ていて、

ｘ₁ｘ／ａ²＋ｙ₁／ｂ²＝１

この式で求めることができます。

今回は、ｘ₁＝１，ｙ₁＝−√２ですね。
これらを代入して、

１・ｘ／２＋(−√２)・ｙ／４＝１
２ｘ−√２・ｙ＝４
　　−√２・ｙ＝−２ｘ＋４
　　　　　ｙ＝(−２ｘ＋４)／(−√２)
　　　　　ｙ＝√２・ｘ−２√２


次の問題→双曲線の場合


◆関連項目
楕円
平面上の曲線まとめ


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高校数学「平面上の曲線」放物線の接線

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◆問題

次の２次曲線上の点Ｐにおける接線の方程式を求めよ。

(1) ｙ²＝４ｘ，Ｐ(１，−２)


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◆解答・解説

接線の方程式の求め方は、いくつかありますが、ここでは公式を使って求めてみます。


ｙ²＝４ｐｘの形の方程式は、放物線ですね。

そして、放物線上の点Ｐ(ｘ₁，ｙ₁)における接線は、

ｙ₁ｙ＝２ｐ(ｘ＋ｘ₁)で表されます。

今回は、(1) ｙ²＝４ｘ，Ｐ(１，−２)と与えられているので、
ｐ＝１，ｘ₁＝１，ｙ₁＝−２を代入すればＯＫです！

−２ｙ＝２・１(ｘ＋１)
−２ｙ＝２ｘ＋２
　　ｙ＝−ｘ−１

よって、求める接線の方程式は、ｙ＝−ｘ−１です！


次の問題→楕円の場合


◆関連項目
放物線
平面上の曲線まとめ


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高校数学「三角関数」３ｔａｎθ／(１＋ｔａｎ2θ)の計算

高校数学「三角関数」３ｔａｎθ／(１＋ｔａｎ²θ)の計算

■問題

次の式の空欄に入る適切な値を求めよ。

３ｔａｎθ１＋ｔａｎ²θ＝[　][　]ｓｉｎ２θ


↓三角方程式などの三角関数の問題の解き方がマスターできるテキストです↓

１０秒でわかる高校数学２Ｂ「三角関数」の考え方

「久しぶりの三角関数、分かりやすく直感で問題の解く方向が分かり楽しかった」などのコメントいただいています。ありがとうございます！


■解答解説

等式の証明に関する問題です。
イコールになることはわかっているので、とにかく計算です。

右辺はｓｉｎ２θとなっているので、タンジェントを消して、２倍角の公式を使う方針で考えていきます。

まず、三角比の相互関係を使って、タンジェントを消します。

ｔａｎ²θ＋１＝１／ｃｏｓ²θだから、ｃｏｓ²θ＝１／(ｔａｎ²θ)なので、与式の分母をｃｏｓ²θに置き換えることができます。

　３ｔａｎθ１＋ｔａｎ²θ
＝３ｔａｎθ・ｃｏｓ²θ

ｔａｎθ＝ｓｉｎθ／ｃｏｓθだから、

＝３(ｓｉｎθ／ｃｏｓθ)・ｃｏｓ²θ
＝３ｓｉｎθ・ｃｏｓθ

２倍角の公式より、ｓｉｎ２θ＝２ｓｉｎθ・ｃｏｓθを使いたいので、

＝３２・２ｓｉｎθ・ｃｏｓθ
＝３２・ｓｉｎ２θ

というわけで、空欄に入る数字は、３，２です。


◆関連項目
三角関数の加法定理、２倍角の公式
三角関数まとめ


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高校数学「確率統計」信頼度９５％の信頼区間の推定�@

高校数学「確率統計」信頼度９５％の信頼区間の推定�@

◆問題
ある田の稲の穂１００本について、その穂の粒数を調べたら、１つの穂の平均粒数は７１．７粒、標準偏差は１９．４粒であった。この田の稲の１つの穂あたりの平均粒数を、信頼度９５％で推定せよ。


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◆解答解説

要するに、信頼度９５％の信頼区間を求めればＯＫです。

信頼度９５％なので、１．９６×σ／√ｎを計算します。

σ＝１９．４，ｎ＝１００だから、
　１．９６×１９．４／√１００
＝３８．０２４／１０
＝３．８０２４

平均から信頼区間の両端までの距離がこの値だから、求める信頼区間は、

　[７１．７−３．８０２４，７１．７＋３．８０２４]
＝[６７．８９７６，７５．５０２４]
≒[６７．９，７５．５]


次の問題→平均１５．４５，標準偏差０．５５の場合


正規分布表
確率統計まとめ


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高校数学「確率統計」偏差値に関する問題�C

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◆問題
テストの得点Ｘについて、Ｘの期待値Ｅ(Ｘ)，標準偏差σ(Ｘ)を用いて、Ｘの偏差値Ｘ'は以下の式で表される。

Ｘ'＝Ｘ−Ｅ(Ｘ)σ(Ｘ)×１０＋５０

テストの得点Ｘが正規分布に従うとして、次の問いに答えよ。

(1) 平均点６０点、標準偏差６点のテストにおいて、得点が６９点の受験生の偏差値を求めよ。

(2) 偏差値が６０以上であるとき、全体の上位何％に入っていると考えられるか求めよ。

(3) 上位１０％以内に入っている受験生の偏差値を求めよ。

(4) 偏差値７０以上の受験生は、５万人が受験したテストでは上位何位以内に入っているか求めよ。


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◆解答解説

偏差値７０以上ということは、Ｘ'≧７０ですね。

Ｚ＝(７０−５０)／１０＝２だから、

Ｐ(Ｘ'≧７０)＝Ｐ(Ｚ≧２)
　　　　　＝０．５−Ｐ(０≦Ｚ≦２)

これを求めればよいです。
正規分布表を確認して、

　　　　　＝０．５−０．４７７２
　　　　　＝０．０２２８

つまり、偏差値７０以上は、上位２．２８％以内ということです。

今回の問題では、５万人が受験した。という設定なので、

０．０２２８×５００００＝１１４０

よって求める順位は、１１４０位以内です！


この問題の最初に戻る→得点が６９点の受験生の偏差値


正規分布表
確率統計まとめ


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高校数学「確率統計」偏差値に関する問題�B

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◆問題
テストの得点Ｘについて、Ｘの期待値Ｅ(Ｘ)，標準偏差σ(Ｘ)を用いて、Ｘの偏差値Ｘ'は以下の式で表される。

Ｘ'＝Ｘ−Ｅ(Ｘ)σ(Ｘ)×１０＋５０

テストの得点Ｘが正規分布に従うとして、次の問いに答えよ。

(1) 平均点６０点、標準偏差６点のテストにおいて、得点が６９点の受験生の偏差値を求めよ。

(2) 偏差値が６０以上であるとき、全体の上位何％に入っていると考えられるか求めよ。

(3) 上位１０％以内に入っている受験生の偏差値を求めよ。


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◆解答解説

今回の問題では、上位１０％の偏差値を求めます。
上位１０％ということは、正規分布の右端の１０％というイメージです。
ちょうど１０％の位置をｚ₀とすると、

０．５−Ｐ(０≦Ｚ≦ｚ₀)≦０．１

ですね。つまり、

Ｐ(０≦Ｚ≦ｚ₀)≧０．４

です。
正規分布表を見て、０．４に近いところを探すと、

Ｐ(０≦Ｚ≦１．２８)＝０．３９９７
Ｐ(０≦Ｚ≦１．２９)＝０．４０１５

です。
ということは、ｚ₀≧１．２９とわかります。

これを偏差値の公式に当てはめると、

Ｘ'＝１０×１．２９＋５０＝６２．９

つまり、上位１０％は偏差値６２．９以上ということがわかります。
もし偏差値を整数値とするならば、６３以上ですね。


次の問題→偏差値７０以上の場合


正規分布表
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